专题03 面积比例问题（原卷版）

专题03面积比例问题一、知识导航除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．策略一：运用比例计算类综合与探究：如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．连接，，，．（1）求抛物线的函数表达式；（2）的面积等于的面积的时，求的值；【分析】（1）可重设解析式为交点式：，展开得：，常数项对应相等，-8a=6，解得：，故抛物线解析式为：．（2）考虑△AOC和△BCD并无太多关联，并且△AOC是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD的面积．，，此问题变为面积定值问题，就不难了．【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题．策略二：转化面积比如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比．转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则．更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD交于点E，则．策略三：进阶版转化在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比．“A”字型线段比：．“8”字型线段比：．以2019连云港中考填空压轴为例：【2019连云港中考】如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是．

【分析】AP、AT均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段．构造“A”字型线段比：过点P作PQ∥DB与AB的延长线交于点Q，由平行得：，若要取到最大值，只要AQ最大即可．BC=3，，，，，，故最大值为．思路2：构造“8”字型线段比是否可行？虽然问题是的比值，为便于构造“8”字，可转化为“+1”，即求的最大值，过点P作PQ∥AB交BD延长线于Q点，可得：，考虑到AB是定线段，故只要PQ最大即可．但是本题P点在圆上运动，故很难分析出点P在何位置，PQ取到最大值，若P点换个轨迹路线，或许就很容易分析了．二、典例精析例一、已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图，连接交于点，当时，请求出点的坐标．【分析】（1）；顶点坐标为（-1,4）．（2）根据可得CD：BD=1：2，故D点是线段BC靠近点C的三等分点，又B（-3,0）、C（0,3），∴D点坐标为（-1,2）．例二、如图，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．【分析】（1）解析式：（2）显然△COF和△CDF共高，可将面积之比化为底边之比．，思路1：转化底边之比为“A”字型线段比在y轴上取点E（0，5），（为何是这个点？因此此时OC：CE=3：2）过点E作BC的平行线交x轴于G点，EG与抛物线交点即为所求D点，根据平行线分线段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2．直线EG解析式为：y=-x+5，与抛物线联立方程，得：，解得：，．故D点坐标为（1，4）或（2，3）．思路2：转化底边之比为“8”字型线段比过点D作DG∥y轴交BC边于点G，则，又OC=3，故点G满足DG=2即可．这个问题设D点坐标即可求解．也可以构造水平“8”字，过点D作DG∥x轴交BC于点G，则，又OB=3，∴DG=2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D坐标为，根据OF：DF=3：2，可得F点坐标为，点F在直线BC上，将点坐标代入直线BC解析式：y=-x+3，，解得，，故D点坐标为（1，4）或（2，3）．这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D点坐标如何得到F点坐标．三、中考真题演练1．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．2．（2023·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．

(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点在轴上时，求点的坐标；(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．3．（2023·黑龙江·中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．(1)求抛物线的解析式．(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；5．（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于