2024届河北省承德市部分高中二模数学试题（含答案）

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.若卜+0=卜—囚，。=（l,2）,b=（九3）,则m=（）

A.6B.-6C.3D,-3

2.某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70,85,90,75,95,则这5人成绩的上四分位数是

（）

A.90B.75C.95D.70

3.生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ABCDEN,其

中四边形ABFE与CDEF都为等腰梯形,ABCD为平行四边形，若AO，平面ABFE,且

所=2钻=24石=2加\记三棱锥£）—4面的体积为匕，则该五面体的体积为（）

A.8KB.5Kc.4KD.3K

4.已知tan。=2,则一sin3s_=（）

sincr+costz

7272

A.—B.—C.——D.------

915915

5.将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书

只能分给1人，其中体育书只能分给甲、乙中的1人，则不同的分配方法数为（）

A.78B.92C.100D.122

22

6.已知耳，鸟分别为双曲线・-2?=1（。〉0）〉0）的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交

cib

双曲线于点P,若|P用=3忸6|,则双曲线的离心率为（）

A.3B，V3C#D.2

7,已知函数〃x）,g（x）的定义域为R,g'（x）为g（x）的导函数,且/（x）+g'（x）=2J（x）—g'（4—x）=2,

1

若g（x）为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）

A./（4）=2B.g'⑵=0c./（-l）=/（-3）D./（1）+/（3）=4

8.已知正数"c满足e"=l.F,5〃+iob—3=0,e，=1.3,则（）

/\.a<c<bQ.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知zeC,彳是z的共辗复数，贝I］（）

什l+3i_-4-3i

A.右z=-一­—,贝nl！Jz=---

1—3i5

B.若Z为纯虚数，则z2<0

C.若z-（2+i）>0,则z>2+i

D.若M={z||z+3i|„3},则集合M所构成区域的面积为6兀

。%+0）（。>0）的图像与直线y=¥相邻的三个交点，且

10.如图，点是函数〃x）=sin（

\BC\-\AB\=^f0,则（）

A.G=4

兀71

BJ（X）在上单调递减

3J2

9兀

D.若将/（X）的图像沿％轴平移。个单位长度，得到一个偶函数的图像，贝的最小值为最

11.一个棱长为4的正四面体7^43c容器,。是？B的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）

2

TT

A.直线AE与？8所成角为一

2

B._ABE周长的最小值为4+9

C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球的半径的最大值为好

3

D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为挺二2

5

第II卷（非选择题共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.设集合4=｛引尤之-2%-3<0,%eR｝,B=｛x||x|>«,«>0）,则AuB=R,则。的取值范围为

13.已知圆x2+/=16与直线y=-限交于AB两点，则经过点A,B,C（8,0）的圆的方程为.

14.已知等差数列｛4｝（公差不为0）和等差数列也｝的前几项和分别为S",却如果关于x的实系数方程

1003/一+03%+加03=0有实数解，则以下1003个方程/—平+白=0«=1,2,,1003）中，有实数解的

方程至少有个.

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）

已知函数/（x）=g—sin%x+孚sin2（»x（ty>0）的最小正周期为4Tl.

（1）求/（%）在［0,兀］上的单调递增区间；

（2）在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且（2a-c）cosB=b-cosC,求/（A）的取值范

围.

16.（15分）

如图，在四棱锥M—ABCD中，AB=AM=A£>=2,M5=20,M£>=2G.

（1）证明：A3,平面ADM；

3

（2）若DC/AB,BE=2EM,求直线EC与平面BDM所成角的正弦值.

3

17.（15分）

王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.

王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：

到校时7:30之7:30-7:357:35-7:407:40-7:457:45-7:507:50之

间,刖>r.后

乘地铁0.10.150.350.20.150.05

乘汽车0.250.30.20.10.10.05

（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）

（1）某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，

反面向上则坐汽车，求他当天7：40-7：45到校的概率；

（2）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40,则当天

他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校，且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时

间是否早于7:40,第II天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的

次数为X,求E（x）；

（3）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早

于7:40,则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7:40,则当天他会乘坐汽车去

学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7:40,当天他都会乘坐地铁去学校.

记P„为王老师第«天坐地铁去学校的概率，求｛Pn｝的通项公式.

18.（17分）

已知"x）=ae"—2xe”（其中e=2.71828为自然对数的底数）.

（1）当a=0时，求曲线y=/（x）在点（1,7（1））处的切线方程；

（2）当a时，判断y=/（x）是否存在极值，并说明理由；

（3）VxeR,/（x）+：,,0，求。的取值范围.

19.（17分）

圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，如下方式可以得到部分的有心圆锥曲

2

线，已知动点P与定点A（m,0）的距离和P到定直线x=—的距离的比为常数竺，其中m>0,">0,且

mn

4

m#"，记点P的轨迹为曲线C.

(1)求。的方程，并说明轨迹的形状；

(2)设点8(—7%0),若曲线C上两动点均在x轴上方,AM//3N,且AN与6M相交于点。.

L11

(i)当〃z=2后,〃=4时，求证：同年+的的值及△A6Q的周长均为定值；

(ii)当机〉"时，记的面积为S,其内切圆半径为厂,试探究是否存在常数尢使得S=2厂恒成立？若存

在，求;I(用以〃表示)；若不存在，请说明理由.

参考答案及解折

一、选择题

l.B2,A3.C4.D5.C6.B7.C8,D

二、选择题

9.AB10.ABD11.ACD

三、填空题

12.(0,1)13.(x-3)2+(y-V3)2=2814.502

四、解答题

11-COS2(T)Xy/3.八

15.解：(1)/(-sin2ox+sin2®x=-------------------1----sin2cox

「22222

6.0,1o.〃J

=——sin2s:H•—cos2公r=sin2cox+—

22I6

2JT1

因为T=——=4兀,所以。=—,

2®4

故/(x)=sinj;x+g］.

由一巴+2E轰/x+工—+2kn,keZ,

2262

47T27r

解得4E—-->4E+,/eZ,

33

当左=0时,-如硼—,

33

27r

又X«0,可，所以/(力在［0,兀］上的单调递增区间为0,y

(2)由(2Q-C)COS5=Z?・COSC,

5

得(2sinA-sinC)cos5=sinBcosC,

所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA.

因为sinAw0,所以cosB=L

2

又5£(0,7l),所以3=

所以/(A)=sin(/A+£)

Lf、t兀A兀LL…兀A71571

因为:<Av”,所以:〈二十:〈)，

6242612

的“夜.吟V2+V6

所以一<sin—+-<----------,

2(26J4

所以/(A)的取值范围为.

I24J

16.(1)证明：因为==2,MB=20,

所以AA^+AB?=也2,所以.，闻奴.

又AB_LAD,且AAfcAD=A,AM,ADu平面ADM,

所以AB,平面ADM.

(2)解：因为AM=A。=2,MD=26，

4+4-121

所以cos/MAZ>=-----------=——，且0</M4D<180,可知/M4D=120.

2x2x22

在平面ADM内过点A作x轴垂直于由⑴知AB_L平面以所在直线分别为y,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则。（6-1,0）,《后-1期,5（0,0,2）,“（0,2,0）.

6

因为3石=29,所以E1O,:|

可得EC=^,-|,|j,5M=（0,2,-2）,BD=（A-l,-2）.

设平面的法向量为”=（羽％z）,

BM•〃=2y—22=0,

则.r-

BD•n={3x-y-2z=。,

取2=1,得〃=（®1,1）,

TT

设直线EC与平面5DM所成角为0,-,

4

\EC-n\3

贝i]sin。=cos<EC,n>\

-|EC||/7|-4A/55

x

3

所以直线EC与平面BDM所成角的正弦值为g.

17.解：⑴记事件A="硬币正面向上”,事件5="7:40—7:45到校”,

则由题有P（A）=0.5,P（B|A）=0.2,P（B|A）=0.1,故

P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=0.5x0.2+0.5x0.1=0.15.

（2）X可取L2,3,•,9,10,

由题得，对于1M9（JteN*）,P（X=^）=-x

+月田+呵|[,

3./s,232/3丫+8X2X（3]+9x-xf-^+10x（3]

_E（—1x_x—F2x_x_+

5v7555⑸515；5⑸⑸

77737

以上两式相减得T（X）=M+M=+^+

332

故£（X）=l+『

7

口5)、55,/3)

1-122(5)

5

所以E（X）=g—gx

32

（3）由题得《=1,/^=［匕+1_匕=_］与+1,

则匕+i_!■=_!■

5522

这说明彳q是以4—亍=亍为首项，一1为公比的等比数歹!）.

18.解:(1)当a=0时，/(x)=-2xe”,

则/'(%)=—2(x+l)e'.

因为/'⑴=Te,所以曲线y=/⑺在点(1,/(1))

处的切线方程为y=-4e(x—l)-2e=-4ex+2e.

(2)当a=g时，〃x)=ge2=2xe一定义域为(―e,+”)，

则/'(%)=e2x-2(%+l)ev=eA(ex-2x-2).

令尸(x)=e*—2x—2,贝。/，(无)=e¥-2,

当xe(-8,ln2)时，尸(x)<0；当xe(ln2,+oo)

时/(x)>0,

所以/(九)在(―8,ln2)内单调递减，在(ln2,+a)内单调递增,

F(x)n,n=F(ln2)=2-21n2-2=-21n2<0,

8

F(-l)=->0,F(2)=e2-6>0.

e

存在玉e(-l,ln2)，使得F(%)=0；存在％e(山2,2),使得F(x2)=0,

当xe(-8,%)时,歹(x)>0,f'(x)>0,/(x)单调递增；

当x«再，W)时,"％)<0,/(%)<0,/(力单调递减；

当为«々,+。)时,尸(%)>0,/'(%)>0,/(%)单调递增，

所以当时,〃力有一个极大值，一个极小值.

(3)r(X)=2«e2x-2(x+l)eA=2ex(«eA-x-l),

由VxeR,/(》)+▲,,0,因为/(0)+1=a+'=4+),0,得a<0.

aaaa

令g(x)=ae*-x-1,则g(%)在R上单调递减，

当x<0时，e*e(0,l),«e¥e(a,0),

所以g(x)=ae*-x-l>a-x-L

所以g(Q-1)〉a-(Q_1)_]=。，

又g(T=aeT<0,

%使得g(Xo)=。,

即g(x0)=ae^-x0-1=0,

当xe(f飞)时,g(x)>0,即r(x)>0,

当xe(Xo，+8)时,g(x)<0,即r(x)<0,

所以/(%)在(—8,5)内单调递增，在(如+8)内单调递减，

x

所以/(x)max=/(/)=ae%-2xQe°.

x

由g(x0)=ae°-xo-l=O,«=^|^,

ie

由〃x)1mx+1,0,得(x°+l)e%—2x°e%+台,,0,

9

即(1-尤0)(1+尤0)+1n

即----------：------,,U,

%+1

由花+1<0,得片—1,,1,所以-V^,%0<—1,

因为a=个?，所以设妆x)=t卜也，x<T)，

则1(x)=-1>0,

可知〃(九)在［—0,1)内单调递增,人(%)../《—夜)=

匕£=(1-应产,〃(%)<〃(-1)=0,

e

故。的取值范围是［0-3卜夜,0).

小(x-m)+y"_m

19.(1)解：设P(x,y),依题意得萌=7'

X----

m

两边平方去分母得〃2(工一加)2+/y2=(如一〃2J,

整理得-m2jx2+n2y2-n2(^n2-m2),

22

经化简得C的方程为=+-7—=1,

n~n~-m

当机<〃时，曲线。是焦点在x轴上的椭圆；

当机>72时，曲线。是焦点在X轴上的双曲线.

(2)设点”(%,%),"(%,%)，“'(兀3，%)，其中%，%>。且尤3=一%2，％=一%•

(2也0),网-260),

(i)证明:由(1)可知。的方程为±+±=1,A

168

因为AM〃BN,

-5

所以X1—20—&+20——%-20X3-2A/2

22

因此M,A,M'三点共线，且|8N|=1+2何+£=J(-x2-2V2)+(-y2)=\AM'\.

(解法一)设直线初0'的方程为x=9+20,

联立C的方程得“2+2)/+4何-8=0,

10

画上4M8

则i=一不2一。

=4—金

由（1）可知|AM|=

2

\BN\=\AM'\=4-^X3,

11

所以/忸闾

IM+忸叫

~\AM[\BN\

4--2-4X+%)

yfl(4A/2?

______=（定值）.

8

r+2

八\AM\2A/2

（解法二）设/—，则有步,/何丁工

解得恒闾=^^?

\AM'\272

同理，由2形+|AM[c°s/丁

解得1AM卜二念彳

…11112+V2cos^

所以1-----T+1F-1-----7+l------7------------------F

\AM\网\AM\\AM'\4

2-技。sJi（定值）.

4

由椭圆定义忸。|+|。叫+|他4|=8,

n\QM\=8-\BQ\-\AM\,

因为A4〃BN,

\AM\\QM\8-\BQ\-\AM\

斤以忸N|\BQ\\BQ\

斛州QJ|AM|+忸N|'

同理可得AQ=\J|I.

11\AM\+\BN\

所以|AQ|+忸Q|

（8-|BA^|）-|AW|（8-.网

\AM\+\BN\|AM|+忸N|

8（|AM[+忸N|）-21AMl.忸N|

—MM+忸N|

=8j-------j—=8-2=6

|阿十忸N|

因为|Afi|=4五，所以的周长为6+40（定值）.

（ii）解：当机〉”时，曲线C的方程为「一一三方=1,

nm-n

轨迹为双曲线，

根据⑴的证明，同理可得MA”三点共线，^.\BN\=\AM'\.

（解法一）设直线初0'的方程为1=0+相，

联立C的方程得—〃2）$2_〃2],2+2s7〃（苏一4）y+（疗一外）'=0,

12

2

机(根2-222

2snm-n

所以％+%=—d_/'(*)

m：2-n2m2-n2

n2、m

因为=生——Xj—Tl,忸N[=\AMf\=-x-n,

nnn3

所以向+血

1i_|AM|+|AM,|

----------1----------------------------------

\AM\\AM'\|AM|-|AM,|

m2s2

%%+------r2-(%+%)+

n2n2