2024年湖南省长沙市中考数学一轮模拟试题（基础卷）（含解析）

2024年湖南省长沙市中考数学一轮模拟试题（基础卷）

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

注意事项:

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.如图，数轴上有M,N,P,。四点，则这四点中所表示的数最接近-加的是（）

MNPQ

T-4-3-2-I0I2

A.点MB.点NC.点尸D.点。

2.按下图方式摆放餐桌和椅子：则把6张桌子摆放在一起，可坐（）

A.36人B.26人C.24人D.16人

3.由于国家出台对房屋的限购令，我市某地的房屋价格原价为8400元/米2,通过连续两次降价.％后，售价

变为6000元/米2,下列方程中正确的是（）

A.8400（l-2a%）=6000B.6000(1+2a%)=8400

C.6000（1+a%）2=8400D.8400(1-a%)2=6000

4.下列关于不等式的命题正确的是（

A.如果b<c,那么a>cB.如果。>/?,那么ac>bc

C.如果a>6,那么收2>儿2D.如果℃2>儿2,那么a>6

1

A.（3,1）B.（4,1）C.（1,-2）D.（3,2）

39

6.如图,一次函数1片的图像与尸b的图像相交于点联2,%则关于X,y的方程组

3x-4y+18=0,

的解是（）

kx-y-\-b=Q

x=3,x=2,

C.D.

y=~2>=一2

7.如图，菱形OABC的边。4在无轴上,边3C交y轴于点点B的横坐标为L8=3%>,点。在反比

例函数>=幺的图象上，则左的值为（

）

A.12B.-12C.15D.-15

8.如图，。的内接四边形ABCD中，—A,ZB,/C的度数之比是4:3:5,则/O的度数是（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

二、填空题

9.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm,点尸为A3上动点，点Q在A3的延长线上，且BP=23Q,CP、DQ

2

相交于点E，当点尸从点A运动到点&时，点£运动的路线长度为cm.

10.某校学生“数学素养”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其

中成绩为"一般"（80分以下）的学生有人.

11.现有9颗外观和大小都完全相同的小球，已知8颗球的质量相等，另外一颗球的质量略大一些.小颖想用

一架托盘天平称出这颗质量较大的球.她思考后发现最少称〃次就一定能找出这颗球，则”的值等于.

•MUM/*

12.如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、8处.将木棒在数轴上水平移动，

当的中点移动到点8时，点N所对应的数为17,当的三等分点移动到点A时，点M所对应的数为6,

则木棒MN的长度为.

MN

।II________

0AB

13.《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7

钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为无，则可列方程.

14.在平面直角坐标系xQy中，直线、=履+%+2（左是常数，且ZwO）的图象经过定点.

15.在平面直角坐标系xQv中，A（/x）,3（%2，%）是抛物线〉=-（*-m）2+“上任意两点，若对于

3

0<<2,2<x2<4,都有,<%,则m的取值范围为.

16.如图，在.ABC中，点。是AC边上一点，将△ABD沿3D翻折得到AEBD,BE与AC交于点F,^AF=x,

EF=y.

(1)当8E_LAC,x=9,1=3时，A。的长是；

(2)当BD=BF,2x=7y时，DEF与△ABD的面积之比是.

三、解答题

17.计算：.--cos45°+cos245°-cos600+2cos30°+-----!--------

V42tan450+tan60°

18.在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热"持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解

文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人.

⑴求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率.

(2)如果能保持这个月平均增长率，第三季度(7月~9月)该馆接待游客总量能否达到50万人？

4

19.西安某校计划购买A,B两种树木共100棵，进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木

4棵，共需470元，购买A种树木5棵，B种树木2棵，共需410元.

⑴求A,B两种树木每棵各多少元？

(2)布局需要，决定再次购进A,8两种树木共50棵，恰逢该供应商对两种树木的售价进行调价，A种树木售

价比第一次购买时提高了8%,2种树木按第一次购买时售价的9折出售.如果这所学校此次购买48两种树

木的总费用不超过3260元，那么该校最多可购买多少B种树木？

20.某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从"羽毛球""篮球""足

球“"排球"“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项.根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根

据图中信息，解答下列问题：

人数小

足表

°羽毛嬴3或定森米表球项目

⑴此次共调查了名学生；

⑵将条形统计图补充完整；

⑶该校把最受欢迎的"羽毛球""篮球""足球"设置为选修内容.小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训

练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率.

5

21.如图，长方形Q4BC在平面直角坐标系中，其中A（6,0）,C（0,4）,点E是的中点，动点尸从。点出发,

以每秒1cm的速度沿O-A-3-E运动，最终到达点E,若点尸运动的时间为x秒，

⑴当x=2秒时，求；OPE的面积；

（2）当。PE的面积等于5cm2时，求尸点坐标.

⑶当OPE为等腰三角形时，求x的值.

22.某兴趣小组用一套尺子进行如下探究活动：如图1所示，将一把直尺/水平摆放，将含45。的三角尺ABC

的直角顶点8固定在直尺/上，将含30。,60。的三角尺。跖的较短边。户靠在直尺/上（两个三角尺都在直尺/

的同侧），三角尺D跖沿直尺/从左向右平移的过程中边所与边A3,边8C所形成的夹角分别记为

«,£（0°＜。＜90。,0。＜£＜90。），探究a,/满足的数量关系.

图1图2图3

⑴①如图2,当三角尺ABC的边8C落在直尺/上时，«=_,夕=_；

②如图3,当三角尺ABC的边AC〃/时，«=_,/=_；

6

根据以上两种特殊情况中a，夕的大小，猜想圆〃满足的数量关系:

（2）三角尺ABC的位置发生改变时（点B仍固定在直尺/上，两个三角尺都在直尺/的同侧），判断（1）中的猜

想是否仍然成立？并说明理由.

3

23.在平面直角坐标系xOy中，对于半径为「&＞。）的。和点P,给出如下定义：若则称P为

。的“近外点”.

%势

5-5-

44-

3-3

2-2

11

_!——|---

-5-4-3-2-1O-!2345*-5-4-3-2-10345%

-1-1

-2--2

-3--3

-4--4

-5-—5-

备用图

⑴当,0的半径为2时，点4（4,0）,8（一可了（0,3）,。（1,-1）中，。的"近外点”是.

（2）若点E（3,4）是。的"近外点”，求。的半径〃的取值范围;

⑶当，。的半径为2时，直线y=x+b（bHO）与无轴交于点与V轴交于点N,若线段MN上存在。的"近

外点"，直接写出匕的取值范围.

7

24.如图，直线y=T+4与无轴交于点8,与y轴交于点C,抛物线_¥=-/+加:+<?经过8,C两点，与无轴

另一交点为A点P以每秒V2个单位长度的速度在线段3C上由点8向点C运动(点尸不与点B和点C重合)，

设运动时间为f秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接交于点。，当噜=1时，求f的值;

(3汝口图②，连接AM交BC于点。，当是等腰三角形时，求出/的值.

参考答案：

1.B

【分析】本题考查的是无理数与数轴.先估算-质的值，结合数轴即可得出答案.

【详解】解：石<-9<一声，

-4<-V10<-3,

最接近的是点N

故选：B.

2.D

【分析】题目主要考查数字规律探索，理解题意，根据图形得出规律是解题关键

【详解】解：1张桌子坐：4+2xl=6人；

2张桌子坐：4+2x2=8人；

3张桌子坐：4+2x3=10人；

8

W张桌子坐：4+2x〃=（4+2”）人;

当〃=6时，4+2x6=16人，

故选：D

3.D

【分析】通过连续两次降价“％后，我省某地的房屋价格原价为8400元/米2,售价变为6000元/米,，可列方

程.

【详解】解：设连续两次降价4%,

8400（1-a%）2=6000.

故选：D.

【点睛】本题考查增长率问题，知道经过两次变化，知道变化前和变化后的结果，从而可列方程.

4.D

【分析】本题考查了不等式的性质：传递性、性质：同时加上或减去同一个数，不等式的符号不变；同时乘上

或除以不等于0的正数，不等式的符号不变；同时乘上或除以不等于0的负数，不等式的符号改变，据此逐项

分析，即可作答.

【详解】解：A、如果b<c,那么。，。的大小关系不确定，该选项是错误的；

B、如果。>6,且c>0,那么4c>6c,故该选项是错误的；

C、如果a>b,且«0,那么改2>历2,故该选项是错误的；

D、如果ac2>bc2,那么。>6,故该选项是正确的；

故选：D

5.D

【分析】本题考查了根据点确定坐标系，从而确定点的坐标.根据"帅"、"象"的位置可确定平面直角坐标系的

坐标轴所在的位置，从而可确定"炮"的位置即坐标.

【详解】解：如图所示："炮"位于点（3,2）.

9

故选：D.

6.B

【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解,

据此即可求解.

(39

rf3x-4y+18=0,y=-x+-

【详解】解：关于元,丁的方程组7Ln可化为：>42

i)[y=kx+b

39

故一次函数y=的图像与丁=而+〃的图像的交点坐标即为方程组的解，

42

将P(—2/)代入y=3+：Q得：n=^3x(-2)+|9=3,

/.P(—2,3)

3%—4y+18=0,x=-2,

故关于元,丁的方程组的解是

kx-y+b=O7=3

故选：B

7.B

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得点C的坐标是解

题关键.过点B作郎，。4于点E,由菱形的性质得出。4=A5,BC/QA,根据点2的横坐标为1,

OD=3BD,得出亚=OD=3,设菱形的边长为a,则。4=AB=a,利用勾股定理求得菱形的边长，即可求

得点C的坐标为(<3),所以々=—12.

【详解】解：过点2作于点E,

•••四边形。RC是菱形，

OA^AB,BC〃OA,

•・,点B的横坐标为1,OD=3BD,

BD=1,

:00=3,

/.BE=OD=3,

设菱形的边长为。，则。4=AB=a,

10

BE2+AE2=AB2

32+（々—1）2=,

解得a=5,

/.BC=5,

CD=5-1=4,

•••点。的坐标为（T3）,

「•左=Tx3=—12.

故选：B.

8.C

【分析】先根据圆内接四边形的性质列出方程求出4,再根据圆内接四边形的性质求出NO.

【详解】解：设/A为4%,则23为3x,NC为5x,

・「四边形ABC。为圆内接四边形，

NA+NC=180。，ZB+ZD=180°,

4x+5x=180°,

解得：x=20°,

ZB=3x=60°,

ZD=180°-60°=120°,

故选：c.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

9,亚

5

【分析】本题考查了正方形的综合题，关键是借助相似三角形对应边成比例解决问题.

先画出点E运动的路线EE',过E作所，AQ,交AQ于点R根据钻，可得£F=AF,设

EF=xcm,则跖=（3-x）cm,Q尸=（4.5-尤）cm,再根据EQF^tDQA,可求得£F、E'F,利用勾股定理可

得EE'.

【详解】解：当点尸在点A处时，如图，

11

DC

BP=2BQ,BP=3cm,

/.BQ=1.5cm,

当点尸运动到点B时，如图,

NE=90。,

•••四边形A3CD为正方形，

/.BC=AD=3cm,

在RtZXABC中，AC=VAB2+BC2=3V2cm

ZAFE=ZABC=90。,ZCAB=ZEAFf

EAF^,CAB,

EFAF

…苍一茄’

12

AB=BCf

:.EF=AF,

设EF=%cm,则N=（3—x）cm,2F=（4.5-x）cm,

ZEQF=ADQA,ZEFQ=ZDAQ=90°,

.：EQFsDQA,

备黑，即以3,

DAQA34.5

9

解得：x=~^f

96

/.EF=—cm,E'F=BF=—cm,

55

在RtZXEFE中，

EE'=^EF2+E'F2=（cm）.

故答案为：巫.

5

10.60

【分析】根据题意和直方图中的数据可以求得成绩为"一般"（80分以下）的学生人数，本题得以解决.

【详解】解：由直方图可得，

成绩为"一般"（80分以下）的学生有：10+15+35=60（人），

故答案为：60.

【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

11.2

【分析】可以把9颗小球任意分成三份，每份3颗，然后用天平称即可找出那颗质量较大的来.

【详解】解：把9颗小球任意分成三份，每份3颗.先把其中任意两份分别放在天平的两边.

如果平衡，就把剩下的一份中的任意两颗分别放在天平的两边，若平衡，说明剩下的小球即为质量较大的，若

不平衡，哪边重哪边就是那颗质量较大的；

如果不平衡，哪边重哪边那份就有质量较大的小球，从这一份中任取2颗分别放在天平的两边，若平衡，没往

天平上放的那一颗质量较大，若不平衡，哪边重哪边就是那颗质量较大的.

•••至少要称2次，才能保证找出那颗质量较大的小球.

故答案为：2.

【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答.

r66

12.6或一

13

13

【分析】本题考查了数轴，线段的和与差，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键.设

MN=AB=6x,由题意可知，MM'=MN=NN'=3X,分两种情况讨论：①当的左三等分点移动到点A

时，②当的右三等分点移动到点A时，利用线段的和差关系分别列式求解，即可得到答案.

【详解】解：设MN=A5=6x,

由题意可知，MM'=M'N=NN'=3x,

①当MN的左三等分点移动到点A时，此时W=2x,

,M二"〒M..M『'丁N"丁N一］N'

06AB17

点N'对应的数为17,点对应的数为6,

MN=MM"+MN+NN'^2x+6x+3x^n-6,

解得：x-1,

:.MN=6x=6；

②当MN的右三等分点移动到点A时，此时MM'"=4尤，

M'"MN"'M'NN'

,i「一Li.

06AB17

点N'对应的数为17,点对应的数为6,

:.M"N'=MMm+MN+NN'=4x+6x+3x=l'7-6,

解得：彳=*，

.-.MN=6x=—；

13

综上可知，木棒的长度为6或%,

故答案为：6或

13.8x—3=7x+4

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，设人数为无，根据每人

出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，列出方程即可.

【详解】解：设人数为X,根据题意得：

8x-3=7x+4,

故答案为：8x-3=7x+4.

14.(-1,2)

14

【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由丁=辰+左+2=k(尤+1)+2可知，当尸-1时，不论上取

何值，总有y=2,则可求解，图象上点的坐标适合解析式的解题的关键.

【详解】解：y=Ax+左+2=左(％+1)+2,

则当x=T时，不论左取何值，总有>=2,

直线>=履+左+2必经过点(-1,2),

故答案为：(-1,2).

15.m>3/3<m

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出A(4%),B(x,,y2)

的中点在对称轴左侧，再根据对称性求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】•：抛物线y=-(x-m)2+〃，

•••对称轴为直线x=m,

•/0<%!<2,2<x2<4,

<3,玉<x2,

%<%，a<0,

.3(马,%)离对称轴更近,

3(孙力)的中点在对称轴左侧，

X.+x

-----9-<m,

2

/.m>3,

故答案为：加23.

1

16.5-

4

【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形等知识，熟悉掌握相关的知识是解题的关键.

(1)设A£>=a,由勾股定理结合方程思想即可求出AD的长；

(2)证明△DEFs&lBD,根据面积比等于相似比的平方即可求出面积之比.

【详解】解：(1)当BELAC,x=9,，=3时；

得NEFD=90。,AF=9,EF=3；

设则。尸=9-a；

15

由题意可得DE=AD=a；

.,.在Rt-EFD中，由勾股定理可得；

DF2+*EF2=DE2；

即(9—6Z)2+32=〃；

解得：a=5

故AD=5；

(2)当BD=BF,2%=7y时；

BD=BF；

ZBDF=ZBFD；

又「ZADB=1SO°-ZBDF；

NEFD=180。—NBFD；

ZADB=ZEFD；

由题意可得NA=NE;

二EDFs^ABD；

.ADABBD

一~EF~~ED~~DF

'：2x=Jy-

x_7

厂于

.AF-7

一£F-2；

EF—2n,DF=mn,AF=7n；

则AD-ED=(J-rri)n

(7根一加之

:BF=BD=\--------L；

2

(4+7m-m2)n

AB=BE='-------------

2

(J-m)n_2n

「•(4+7加一加(7；

2

整理得：2m2-21m+45=0;

解得：叫=T(不符合题意，舍去);

16

叫=3；

ED=4-n,AB=8n；

uDEFED

~AB

ABD14

故的与△皿的面积之比是：:

3

17.-

2

【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，二次根式的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再

根据二次根式的混合计算法则求解即可.

【详解】解：原式

4222x1+6

+:交+凤-^

222+V3

3V2及，A,2-73

丁丁”(2+@(2—@

=4_工舟2f

22

_3

"2,

18.(1)20%

（2）能达至〕J50万人

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

（1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x,可列出关于尤的一元二次方程，解之取其符合题意的值,

即可得出结论；

（2）求出第三季度接待游客的总人数，则可得出答案.

【详解】（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为无，依题意，得：

10（1+^）2=14.4,

解得：&=0.2=20%,%=-2.2(舍去);

17

答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为20%.

（2）解：8月份接待游客人数：144x（1+2。％）=17.28（万人）

9月份接待游客人数：144x（1+20%丫=20.736（万人）

.•.第三季度接待游客总人数为：14.4+17.28+20.736=52.416（万人）

52.416>50

答：第三季度（7月〜9月）该馆接待游客总量能达到50万人.

19.（1）A种树木每棵50元，B两种树木每棵80元；

⑵31棵.

【分析】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，正确列出方

程组与不等式.

（1）设A种树木每棵需要x元，8种树木每棵需要y元，根据题意列出方程组即可求解；

（2）设购进B种树木加棵，则A种树木为（50-加）棵，根据题意列出不等式，即可求解.

【详解】（1）解：设A种树木每棵需要x元，B种树木每棵需要y元，由题意可得：

J3尤+4y=470①

[5x+2y=410@^

由②x2-①可得：7x=350,

解得：x=50,

将x=50代入①，得：150+4y=470,

解得：>=80,

答：A种树木每棵需要50元，B种树木每棵需要80元；

（2）解:设购进B种树木加棵,贝ijA种树木为（50-m）棵，由题意可得：50x（1+8%）x（50-m）+80x0.9m<3260,

解得：m<^-,

•该校最多可以购进B种树木31棵.

答：该校最多可以购进3种树木31棵.

20.（1）200

⑵统计图见解析

⑶树状图见解析，概率为g

18

【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，读懂题意并正确求解是解

题的关键.

（1）用最喜欢羽毛球的人数除以羽毛球在扇形统计图中圆心角占的百分比即可得到答案；

（2）用总人数减去已知各部分的人数得到喜欢足球的人数，补全条形统计图即可；

（3）根据题意画出树状图，用他俩选择同一项目的情况数除以总的情况数即可得到答案.

72°

【详解】（1）此次共调查的学生有：40+/=200（名）；

（2）足球的人数有：200-40-60-20-30=50（名），补全统计图如图：

（3）设"羽毛球""篮球""足球"分别为A、B、C,根据题意画树状图如图:

开始

小亮ABCABCABC

共有9种等可能的情况，其中他俩选择相同项目的有3种,

31

则尸（他俩选择相同项目）

21.(l)4cm2

⑵剂或生)

⑶6或5或台25

6

【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，长方形的性质和三角形的面积公式的应用，一元一次方

程的应用，分类讨论是解题的关键.

（1）利用三角形面积公式即可求解；

（2）分三种情况，分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可；

19

(3)分OE=PE,OE=OP,OP=PE三种情况讨论即可.

【详解】（1）解：•「A（6,0）,C（0,4）,

AO=6,CO=4,

四边形CMBC是长方形，

BC=OA=6,AB—OC=4,

当x=2秒时，OP=2xl=2cm,

OPE的面积为:x2x4=4cm2；

（2）解：分三种情况讨论，

当尸在Q4上时，0<xV6,

「OPE的面积等于5cm2，

一x,4=5,

2

解得x=|,

・•.P点坐标为（|，0）；

②当尸在上时，6<x<10,如图,

•••点E是3C中点,

20

CE=BE=3

一。尸石的面积等于5cm2,

S矩形OABC-S.AOp—SOCE-SEBP=5,

/.4x6一;x6（x-6）一gx3x4一;x3x（6+4-x）=5,

32

解得％=可（不符合题意，舍去）；

③当尸在的上时，10vx<13,如图,

解得％=£21，

。尸=6+4+6——=一,

22

...点尸的坐标为

综上可知，当一OPE的面积等于5cm2,尸点坐标为（叫或g，4

（3）解：由勾股定理，得OENOCCE?=5,

①当尸E=OE=5时，

连接AE,

贝UAE=^AB2+BE2=5，

21

尸和A重合,

x=6+l=6；

②当。尸=OE=5时，此时点尸在AB上,

••%=5+1=5,

③当QP=PE=x时，

过E作E〃_LQ4于H

则OH=CE=3,EH=OC=4,

：.HP=x-3,

X2=(X-3)2+42,

解得尤=台25，

6

综上，当,OPE为等腰三角形时，x的值为6或5或后25.

6

22.(I)@a=30°,6=60°；②a=15°,4=75°；1+尸=90°；

(2)当二角尺43c的位置发生改变时，仍有a+#=90。，理由见解析.

【分析】(1)①由题意可知：NE=30°,N跳'8=，=60。，&)//4氏由平行线的性质可得。=/石=30。即可解答；

②如图：延长EECB相较于G,由题意可得：NA=NC=45o,NABC=90o,/E/X>=60。,由平行线的性质可得

ZABD=ZA=45°,三角形外角的性质可得a=NEFD-NABD=15°；再根据平角的性质和对顶角的性质可得

ZFBG=45。，NBFG=NEFD=60。,最后由三角形内角和定理即可解答；

⑵分ZABZX600和60°<ZABD<90°两种情况，分别过点B作EF的平行线BP,平行线的性质、角的和差

进行推理即可解答.

【详解】(1)解：①由题意可知：NE=30°,NEFB=0=60。，EDIIAB,

■：EDIIAB,

22

a=ZE=30°

故答案为：«=30°,力=60。；

②如图：延长EECB相较于G

由题意可得：ZA=ZC=45°,ZABC=90°,ZEFD=60°,

AC//1

ZABD=ZA^45°,

：.a+ZABD=ZEFD,BPa=ZEFD-ZABD=15°；

NFBG=180°-ZABC-ZABD=45°,ZBFG=ZEFD=60°.

^=180°-ZBFG-ZFBG=75°；

猜测：a,/?满足的数量关系：«+/?=900.

故答案为：«=15°,#=75。；a+^=90°.

图3

(2)解:当三角尺A3c的位置发生改变时，仍有2+6=90。，理由如下：

①当NAB£X60。时，

如图，设边斯与边A2交于点G,平移三角尺。跖沿直尺/从左向右平移得到三角尺R耳耳，边ER交边BC

于点

由图可知，边E尸与边所形成的夹角a=N3GE,边E户与边8C所形成的夹角即为边耳耳与边BC所形成

的夹角，/3=ZBGlFl.

在三角尺DEF沿直尺/从左向右平移的过程中,

ZDEF=NREFi,

23

/.EF//.

过点B作EF的平行线BPf

EF//BP,

：.ZBGF=ZABP,即1=/46尸.

•「EFEH,

：BP//ExFXt

/./BGE=/CBP,即/7=NC3P,

「ZABP+ZCBP=ZABC=90°,

/.a+/3=/BGF+/BGiK=ZABP+ZCBP=ZABC=90°.

②当60。＜//血＞«90。时，由①知a=N5GR0=/BG1G,

过点5作所的平行线P。，

EF//PQf

/BGF=NABQ,NBG、G=NCBP.................

•/ZABC=90°f

ZABQ+ZCBP=90°f

/.c+£=90。.

综上，当三角尺A3c的位置发生改变时，仍有。+力=90。.

【点睛】本题主要考查了三角板的度数计算、旋转的性质、平行线的性质、三角形外角性质、三角形内角和定

理等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

23.(1)B,C

⑵

(3)或-30〈反-2

24

【分析】⑴根据定义计算判断即可.

r<5

⑵根据定义计算。石=斤百=5,得到L3，解答即可.

5<—r

I2

⑶根据定义分别b为正和为负，两种情况解答即可.

【详解】（1）=。的半径为2时，〃近外点〃的线段长机满足2<机43,

1•点A（4,O）,B（-|,o1,C（O,3）,£>（l,-l）

OA=4>3,OB=--=-,OC=3,OD=y/2<2

22

.。的"近外点”是2,C.

故答案为：B,C.

（2）•；点矶3,4）是。的"近外点”，

r<5

OE=V32+42=5>L/3，

5<—r

I2

解得£4r<5.

（3）当Af在x轴的负半轴时，

直线y=x+6S/0）与X轴交于点与y轴交于点N,

OM=ON=\b\,

NNMO=45°,

。的半径为2时，

。的"近外点”的线段长机满足2〈相V3,

当OM=2时，点M是，：。的"近外点”，

止匕时6=2；

过点。作OGLMN于点G,

当0G=3时，点G是。的"近外点”，

ZNMO=45°,

MG=OG=3,

OM=yfiMG=3A/2,

此时6=3及；

25

故b的取值范围2WX0;

直线y=x+6(6wo)与x轴交于点V,与y轴交于点N,

OM^ON^\b\,

ZNMO=45°,

•••。的半径为2时，

.。的"近外点”的线段长机满足2V机43,

当。0=2时，点M是,：。的“近外点”，

此时6=-2；

过点。作OGLMN于点G,

当0G=3时，点G是。的"近外点”，

NNMO=45°,

MG=OG=3,

OM=y[2MG=3A/2,

此时6=一3近；

故b的取值范围-3夜W6W-2;

故b的范围是-3忘W6W-2或2W6W30.

【点睛】本题考查了新定义，圆的性质，特殊角的直角三角形，正确理解定义是解题的关键.

24.(1)y=-x2+3x+4

(2〃的值为g

⑶当PD暇是等腰三角形时，/=1或/=&-1

26

【分析】(1)求直线y=-元+4与X轴交点6,与y轴交点C,用待定系数法即求得抛物线解析式.

⑵根据点8、C坐标求得NOBC=45。，又PELx轴于点E,得到一PEB是等腰直角三角形，由=求

得BE=PE=t,即可用,表示各线段，得到点M的横坐标，进而用机表示点M纵坐标，求得M尸的长.根据

〃&V可证MPQsNCQ,故有黑=噜=；,把用t表示的〃P、NC代入即得到关于/的方程，求解

1V1VVZ乙

即得至心的值.

(3)因为不确定等腰_尸心"的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP,则NMDP=/MPD=45。，故

有/DMP=90。，不合题意；②若DA7=O尸，则NDMP=NMPD=45。，进而得AE=ME,把含/的式子代入

并解方程即可；③若上疹=。尸，则=