2023-2024学年山西省阳泉一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山西省阳泉一中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=2+i1−A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,2)，b=A.−4 B.1 C.2 D.3.以下说法正确的是(

)

①棱柱的侧面是平行四边形；

②长方体是平行六面体；

③长方体是直棱柱；

④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

⑤直四棱柱是长方体；

⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A.①②④⑥ B.②③④⑤4.底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为(

)A.1 B.2 C.2 D.5.已知i是虚数单位，i−1是关于x的方程x2+pA.4 B.−4 C.2 D.6.△ABC中，已知(AB|ABA.三边互不相等的三角形 B.等边三角形

C.等腰直角三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形7.已知点A(−2,1)，B(−1,−1A.(−12,−12) 8.已知a，b是不共线的向量，且AB=−2a+8bA.B，C，D三点共线 B.A，B，C三点共线

C.A，C，D三点共线 D.A，B，D三点共线二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.9在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则A.若A=30°，b=4，a=3，则△ABC恰有1解

B.若tanAtan10.已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=πA.△ABC面积的最大值为3

B.bcosA+a11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为A.若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心

B.若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，若斜边长为22的等腰直角△A′B′C′(B′与O′

13.已知D，E分别为△ABC的边AB、AC上的点，线段BE和CD相交于点P，若AD=3DB，且14.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB=cosC−sinCcos四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆台的上、下底面半径分别是1和2，高是1.求：

(1)圆台的表面积；

(16.(本小题15分)

已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角为2π3．

(1)17.(本小题15分)

如图，已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点．

(1)求证：18.(本小题17分)

设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinCa−sinC=bsi19.(本小题17分)

设O为坐标原点，定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+b答案和解析1.【答案】A

【解析】解：复数2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．

直接利用向量共线的坐标运算列式求解．【解答】

解：∵a=(1,2)，b=(−2,3.【答案】C

【解析】解：①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；

②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；

③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确；

④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；

⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；

⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确．

故选：C．

根据棱柱(直棱柱、平行六面体、多面体)、棱锥(正棱锥)的结构特征判断各项的正误．

本题主要考查了棱柱(直棱柱、平行六面体、多面体)、棱锥(正棱锥)的结构特征，属于基础题．4.【答案】C

【解析】解：设圆锥的母线长为l，

因为圆锥的底面圆的半径为1，所以底面积为π，

由题意，圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，

所以圆锥的侧面积为2π，

所以12×2π×1×l=2π，

解得l=2，即圆锥的母线长为2．5.【答案】A

【解析】解：i−1是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，

根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：−i−1也是原方程的一个虚根．

∴i−16.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查三角形形状的判断，考查角平分线、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

根据AB|AB|+AC|AC|表示的向量在∠BAC的角平分线上，同时利用(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，推断出∠BAC的角平分线垂直于边BC，进而可推断出三角形为等腰三角形，同时根据向量积公式及AB|AB|⋅BC|BC7.【答案】A

【解析】解：由点A(−2,1)，B(−1,−1)，C(1,2)，D(3,4)，

则AB=(1,−8.【答案】C

【解析】解：因为AB=−2a+8b，BC=3a−3b，CD=a+5b，

所以AD=2a+10b，AC=5b+a，BD=BC+CD=4a+2b，

若B，C，D三点共线，则BC=λBD，即3=4λ−3=2λ，9.【答案】BD【解析】解：对A，A=30°，b=4，a=3，因为bsinA<a<b，所以△ABC有两解，故A错误；

对B，因为tanAtanB=1，所以cosAcosB−sinAsinB=0，即cos(A+B)=0，A+B=π2，故C=π2，故B正确；

对10.【答案】AC【解析】解：对A选项，∵∠C=π3，c=2，∴cosC=12=a2+b2−42ab，

∴ab+4=a2+b2≥2ab当且仅当a=b=2时，取得等号，

∴ab≤4，∴S△ABC=12absinC=34ab≤3，∴11.【答案】AB【解析】解：对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，

由SA：SB：SC=1：1：1，则MA+MB+MC=0，

所以2MD=MB+MC=−MA，

所以A，M，D三点共线，且AM=23AD，

设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得CM=23CE，BM=23BF，

所以M为△ABC的重心，故A正确；

对于B，由M为△ABC的内心，则可设内切圆半径为r，

则有SA=12BC⋅r，SB=12AC⋅r，SC=12AB⋅r，

所以12BC⋅r⋅MA+12AC⋅r⋅MB+12AB⋅r⋅MC=0，

即BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0，故B正确；

对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，

因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，

则有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，

所以SA12.【答案】4【解析】解：根据题意，直观图△A′B′C′为斜边长为22的等腰直角三角形，则其直角边边长为2，

故直观图△A′B′C′的面积S′=213.【答案】4【解析】解：因为AP=AD+DP=34AB+λλ+1DC

=34AB+λλ+1(AC−AD)

34AB+λλ+1[14.【答案】3−【解析】解：因为tanB=cosC−sinCcosC+sinC，所以sinBcosB=cosC−sinCcosC+sinC，

所以cosCcosB−sinCsinB=sinBcosC+cosBsinC，所以cos(B+C)=sin(B15.【答案】解：(1)如图，圆台OO′是大圆锥PO上面截掉小圆锥PO′得到的几何体，

则O′，O分别为圆台上、下底面的圆心，连接PO，则O′D=1，OC=2，O′O=1．

易得△PO′D∽△PO【解析】(1)根据相似可求解长度，即可由表面积公式求解，

(216.【答案】解：(1)∵a⋅b=|a|⋅|b|cos<a【解析】(1)根据向量数量积定义和运算律可求得|a+b|2，进而得到|a17.【答案】证明：(1)由题意：四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，

点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，

∴N是AC的中点，

∴MN/​/PC，

又∵PC⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，

∴MN/​/平面PCD．

(2)由(1)，知MN//【解析】(1)推导出四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，MN//PC，由此能证明MN18.【答案】解：(1)因为csinCa−sinC=bsinBa−sinA，

由正弦定理可得c2a−c=b2a−a，即a2+c2−b2=ac，则【解析】(1)利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；

(2)由正弦定理求出C，即可得到A，再由两角和的正弦公式求出1