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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年山西省阳泉一中高一(下)期中数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数z=2+i1−A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,2),b=A.−4 B.1 C.2 D.3.以下说法正确的是(
)
①棱柱的侧面是平行四边形;
②长方体是平行六面体;
③长方体是直棱柱;
④底面是正多边形的棱锥是正棱锥;
⑤直四棱柱是长方体;
⑥四棱柱、五棱锥都是六面体.A.①②④⑥ B.②③④⑤4.底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍,则母线长为(
)A.1 B.2 C.2 D.5.已知i是虚数单位,i−1是关于x的方程x2+pA.4 B.−4 C.2 D.6.△ABC中,已知(AB|ABA.三边互不相等的三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形7.已知点A(−2,1),B(−1,−1A.(−12,−12) 8.已知a,b是不共线的向量,且AB=−2a+8bA.B,C,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线 D.A,B,D三点共线二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.9在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则A.若A=30°,b=4,a=3,则△ABC恰有1解
B.若tanAtan10.已知△ABC三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且∠C=πA.△ABC面积的最大值为3
B.bcosA+a11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来,是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是:已知M是△ABC内一点,△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为A.若SA:SB:SC=1:1:1,则M为△ABC的重心
B.若M为△ABC的内心,则BC⋅MA+AC⋅MB+三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.如图,若斜边长为22的等腰直角△A′B′C′(B′与O′
13.已知D,E分别为△ABC的边AB、AC上的点,线段BE和CD相交于点P,若AD=3DB,且14.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanB=cosC−sinCcos四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
已知圆台的上、下底面半径分别是1和2,高是1.求:
(1)圆台的表面积;
(16.(本小题15分)
已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角为2π3.
(1)17.(本小题15分)
如图,已知四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点.
(1)求证:18.(本小题17分)
设△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csinCa−sinC=bsi19.(本小题17分)
设O为坐标原点,定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R),向量OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+b答案和解析1.【答案】A
【解析】解:复数2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查平面向量共线的坐标运算,是基础题.
直接利用向量共线的坐标运算列式求解.【解答】
解:∵a=(1,2),b=(−2,3.【答案】C
【解析】解:①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行,故侧面是平行四边形,故正确;
②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体,而长方体是各面都为矩形的平行六面体,故正确;
③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱,显然长方体的侧棱与底面都垂直,故为直棱柱,故正确;
④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥,故错误;
⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体,故错误;
⑥四棱柱、五棱锥均有六个面,都是六面体,正确.
故选:C.
根据棱柱(直棱柱、平行六面体、多面体)、棱锥(正棱锥)的结构特征判断各项的正误.
本题主要考查了棱柱(直棱柱、平行六面体、多面体)、棱锥(正棱锥)的结构特征,属于基础题.4.【答案】C
【解析】解:设圆锥的母线长为l,
因为圆锥的底面圆的半径为1,所以底面积为π,
由题意,圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍,
所以圆锥的侧面积为2π,
所以12×2π×1×l=2π,
解得l=2,即圆锥的母线长为2.5.【答案】A
【解析】解:i−1是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理,可得:−i−1也是原方程的一个虚根.
∴i−16.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角形形状的判断,考查角平分线、向量的数量积等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
根据AB|AB|+AC|AC|表示的向量在∠BAC的角平分线上,同时利用(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0,推断出∠BAC的角平分线垂直于边BC,进而可推断出三角形为等腰三角形,同时根据向量积公式及AB|AB|⋅BC|BC7.【答案】A
【解析】解:由点A(−2,1),B(−1,−1),C(1,2),D(3,4),
则AB=(1,−8.【答案】C
【解析】解:因为AB=−2a+8b,BC=3a−3b,CD=a+5b,
所以AD=2a+10b,AC=5b+a,BD=BC+CD=4a+2b,
若B,C,D三点共线,则BC=λBD,即3=4λ−3=2λ,9.【答案】BD【解析】解:对A,A=30°,b=4,a=3,因为bsinA<a<b,所以△ABC有两解,故A错误;
对B,因为tanAtanB=1,所以cosAcosB−sinAsinB=0,即cos(A+B)=0,A+B=π2,故C=π2,故B正确;
对10.【答案】AC【解析】解:对A选项,∵∠C=π3,c=2,∴cosC=12=a2+b2−42ab,
∴ab+4=a2+b2≥2ab当且仅当a=b=2时,取得等号,
∴ab≤4,∴S△ABC=12absinC=34ab≤3,∴11.【答案】AB【解析】解:对于A,取BC的中点D,连接MD,AM,
由SA:SB:SC=1:1:1,则MA+MB+MC=0,
所以2MD=MB+MC=−MA,
所以A,M,D三点共线,且AM=23AD,
设E,F分别为AB,AC的中点,同理可得CM=23CE,BM=23BF,
所以M为△ABC的重心,故A正确;
对于B,由M为△ABC的内心,则可设内切圆半径为r,
则有SA=12BC⋅r,SB=12AC⋅r,SC=12AB⋅r,
所以12BC⋅r⋅MA+12AC⋅r⋅MB+12AB⋅r⋅MC=0,
即BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0,故B正确;
对于C,由M为△ABC的外心,则可设△ABC的外接圆半径为R,
因为∠BAC=45°,∠ABC=60°,
则有∠BMC=2∠BAC=90°,∠AMC=2∠ABC=120°,∠AMB=2∠ACB=150°,
所以SA12.【答案】4【解析】解:根据题意,直观图△A′B′C′为斜边长为22的等腰直角三角形,则其直角边边长为2,
故直观图△A′B′C′的面积S′=213.【答案】4【解析】解:因为AP=AD+DP=34AB+λλ+1DC
=34AB+λλ+1(AC−AD)
34AB+λλ+1[14.【答案】3−【解析】解:因为tanB=cosC−sinCcosC+sinC,所以sinBcosB=cosC−sinCcosC+sinC,
所以cosCcosB−sinCsinB=sinBcosC+cosBsinC,所以cos(B+C)=sin(B15.【答案】解:(1)如图,圆台OO′是大圆锥PO上面截掉小圆锥PO′得到的几何体,
则O′,O分别为圆台上、下底面的圆心,连接PO,则O′D=1,OC=2,O′O=1.
易得△PO′D∽△PO【解析】(1)根据相似可求解长度,即可由表面积公式求解,
(216.【答案】解:(1)∵a⋅b=|a|⋅|b|cos<a【解析】(1)根据向量数量积定义和运算律可求得|a+b|2,进而得到|a17.【答案】证明:(1)由题意:四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形,
点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点,
∴N是AC的中点,
∴MN//PC,
又∵PC⊂平面PCD,MN⊄平面PCD,
∴MN//平面PCD.
(2)由(1),知MN//【解析】(1)推导出四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形,MN//PC,由此能证明MN18.【答案】解:(1)因为csinCa−sinC=bsinBa−sinA,
由正弦定理可得c2a−c=b2a−a,即a2+c2−b2=ac,则【解析】(1)利用正弦定理将角化边,再由余弦定理计算可得;
(2)由正弦定理求出C,即可得到A,再由两角和的正弦公式求出1
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