2024届福建省十一校高三年级上册期末联考 数学试题（学生版+解析版）

2024届福建省十一校高三上学期期末联考数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2i

z=---

1.若复数1+i,则z-5=（）

A2B.-2ic.-2D.2i

2.已知集合A={x|%2-6x+8>。},8={x|x-3<0},则AB=()

A.(2,3)B.(—*3)C.(-oo,2)D.(4,+oo)

3.已知向量方=(3,5),b-(m-l,2m+V),若W/〃，则加=（）

28

A.8B.-8C.——D.--

137

02

4.已知a=log()32,b=3-,C=0.2"3,则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

5.已知函数/(x)=2及cos([+qcos停-x]，要得到函数g（x）=sin2x-2cos2x+1的图象，只需

将/（x）的图象（）

,,兀a、，，上3兀.,、

A.向左平移上个单位长度B.向左平移三个单位长度

84

3兀3兀

C.向右平移一个单位长度D.向右平移三个单位长度

48

6.抛物线。:尸=2〃以2>0）的焦点为凡M是抛物线C上的点，。为坐标原点，若△OfM的外接圆与

抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36兀，则。=（）

A4B.8C.6D.10

7.已知是边长为8的正三角形，。是AC的中点，沿3。将△88折起使得二面角A—60-C

TT

为一，则三棱锥C—A8O外接球的表面积为（）

3

“52〃208

A.52兀B.—71C.---7TD.

333

,、111号

8.在数列｛。〃｝中，4=1,且。/〃+]=〃，当〃22时，一+—++—<an+an+i-T,则实数X的

取值范围为（）

A.y,i]B.[l,+00)C.(O,1JD.(-oo,4]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是()

A.若a<匕<0,则/>a。>/

B.若xeR,则f+2+丁］最小值为2

x+2

C,若a+b=2,则/+"的最大值为2

D.若xe(0,2),则工+----->2

x2-x

10.《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时(23点到次日凌晨1点)的睡眠对一天至关重要.相关数

据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体

的睡眠指数各取10个.如下表：

编号12345678910

早睡群体睡眠指数65687585858588929295

晚睡群体睡眠指数35405555556668748290

根据样本数据，下列说法正确的是()

A.早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高

B.早睡群体的睡眠指数的众数为85

C.晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66

D.早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小

11.已知点4(0,5),3(—5,0),动点p在圆C：(x+3『+(y—4『=8上，则()

A.直线AB截圆。所得的弦长为遥

B.B钻的面积的最大值为15

C.满足到直线AB的距离为血的P点位置共有3个

D.P8的取值范围为［—2-4，^,-2+4>6］

12.己知定义在R上的函数f(x)满足/(x+2)+/(x)=/(2026),且/(x+1)-1是奇函数.则()

A.〃1)+〃3)=2B./(2023)+/(2025)=/(2024)

2024

c./（2023）是/（2022）与/（2024）等差中项D.£/（，）=2024

/=1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数/（x）=；x2—2*—的图象在点（0,7（0））处的切线平行于x轴，则。=.

14.如图，在长方体ABCD-AMGA中，AB=S,A£>=6,异面直线6。与AG所成角的余弦值为

立，则cq=.

10

15.某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同

款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有种.

16.法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的

切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆

V2V2,,7,

C:鼻+方=13>力>0）的蒙日圆为一+丁=，则c的离心率为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛%｝的前n项和S,,满足2S„+4-1=0.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）设勿=log”a“，求数列J」一!的前N项和

［她+J

18.已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M（单位：g）服从正态分布

N（250,/）,且尸（“<248）=0.1.

（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g的概率；

（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K（K为正整数）包，记质量在248g~252g内的包数为X,

且。（X）〉320,求K的最小值.

19.在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3上，asin8=bsin（A+.

（1）求角A；

（2）作角A的平分线与BC交于点Q,且AO=G，求b+c.

20.如图，在四棱锥产一A5c。中，底面ABC。为矩形，P。1平面ABC。，垂足为0,E为PC的中点,

（2）若A»=2A8=4,OC1OD,PC与平面ABCD所成的角为60。，求平面P8c与平面PCD夹

角的余弦值.

21.已知双曲线■-与=1（。＞0力＞0）的离心率为叵，且其焦点到渐近线的距离为1.

a-b-6

（1）求C的方程；

（2）若动直线/与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于P,。两点，。为坐标原点，证明：

△OP。的面积为定值.

22.已知函数y（x）=+",xe[l,+oo）.

x

（1）讨论代X）的单调性.

（2）是否存在两个正整数々，巧，使得当%＞々时，（％-々户的=片甘？若存在，求出所有满足条

件为,巧的值；若不存在，请说明理由.

2024届福建省十一校高三上学期期末联考数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2i

z=---

1.若复数1+i,则z-5=()

A.2B.-2iC.-2D.2i

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，利用复数的运算即可求出结果.

2i2i(l-i),.

【详解】因为z=+所以彳=1—i,故z—Z=2i,

l+i(l+i)(l-i)

故选：D.

2,已知集合A={x*-6x+8>。},8={x|x-3<0},则AB-()

A.(2,3)B.(-oo,3)C.(F,2)D.(4,+OO)

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式化简集合4,结合交集的概念即可得解.

【详解】因为A={x|x>4或x<2},8={目》<3},所以Ac8={x|x<2}.

故选：C.

3.已知向量方=(3,5),b=(/?j-l,2m+l),若“〃人，则加=()

28

A.8B.—8C.---D.---

137

【答案】B

【解析】

【分析】由平面向量平行的充要条件即可得解.

【详解】因为W/人,所以3(2加+1)=5(加一1),所以加=一8.

故选：B.

02

4.已知。=log(),32,b=3-，C=0.2°3,则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>h

【答案】A

【解析】

【分析】引入中间量，利用函数的单调性，进行大小的比较.

【详解】因为。=10go,32<10go,31=。，人=3°二!>3°=bc=O.203e(O,l),所以b>c>a.

故选：A

5.已知函数/(x)=2085总+》卜《(：一》),要得到函数8(幻=$由2》一2以《2》+1的图象，只需

将，(x)的图象()

7T37r

A.向左平移^个单位长度B.向左平移一个单位长度

84

3兀3兀

C.向右平移等个单位长度D.向右平移胃个单位长度

4O

【答案】D

【解析】

【分析】先把/(x)，g(x)的解析式都化成丁=:Asin(a)x+e)或y=Acos(a)x+°)的形式，再用图象

的平移解决问题.

【详解】/(-V)=2血cosg+xk)s[:一x)=2x/2cos^+xjsii[g+x)=&sin尼+2x)=V2cos2x,

g(x)=sin2x-2cos2x+1=sin2x-cos2x=V2sin^2x-^=y/2cos(2x-,

故将/(x)的图象向右平移3三个单位长度可得y=J^cos2((Xi—J=V2cos^2x——J,即为g(x)的图

象.

故选：C

6.抛物线。:^=2。道°>0)的焦点为尸，M是抛物线C上的点，。为坐标原点，若△OfM的外接圆与

抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36兀，则。=()

A.4B.8C.6D.10

【答案】B

【解析】

【分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案.

【详解】因为△ORW的外接圆与抛物线C的准线相切，

所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.

因为圆的面积为36兀，所以圆的半径为6,

又因为圆心在Ob的垂直平分线上，|。E|=£,

2

所以的外接圆的圆心到准线的距离"+"=6,可得〃=8.

24

故选：B.

7.已知ABC是边长为8的正三角形，。是AC的中点，沿3。将△88折起使得二面角A—60-C

TT

为一，则三棱锥C—A8O外接球的表面积为（）

3

c52〃208103

A.52兀B.—7tC.---兀D.---71

333

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，结合球的截面圆性质确定球心位置，再求出球半径即得.

［详解】在三棱锥C-ABD中，BD1.AD,BD±CD,ADCD=D,AD,CDu平面ACD,

由二面角为1,45=8=4,得,ACD是正三角形，令其外接圆圆心为O',

则OZ>=2AOsin^=述，令三棱锥C—ABO外接球的球心为。，球半径为R,

333

则OO'_L平面AC。，即有00'/AB。，显然球心。在线段8。的中垂面上，令线段8。的中垂面交8。于

E*

则O£_L8O,显然O'DLBO,于是OE//O'。，四边形是平行四边形，且是矩形，

而。£=；BO=26，因此火2==。后2+DE2=（怨）2+（2道）2=与，

所以三棱锥C-AB。外接球的表面积5=4兀代=-n.

3

，、1I1,f

aa

8.在数列｛a“｝中，4=1,且a“a“+i=〃，当〃22时，一+—++—-„+,,+i-2,则实数X的

取值范围为（）

A.（—,1]B.[1,+℃）C.(0,11D.(-0,4]

【答案】A

【解析】

1

【分析】先根据递推关系得到一=«„+1-,把条件转化为2'W2，从而可得答案.

an

【详解】因为=〃，4=1,所以々=1,且当〃22时，-n—\,

1

所以anan+l-an_｝an=1,所以一=«„+,-,

an

111

所以一+一++一=&3—4+4—+&5-43++%+1_“"-1=+4+1=%+%+1—2.

“2aian

111.

a+a2

因为—+—++-nn+\~，

所以4+4+1-2Ma“+4+1-2',所以2'<2，故2Kl.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是（）

A.若a<〃<0,则/>">

B.若xeR,则V+2+一一的最小值为2

x+2

C.若a+b=2,则/+从最大值为2

D.若xe（0,2）,则_1+-1_22

x2-x

【答案】AD

【解析】

【分析】利用作差法比较大小判断A,利用基本（均值）不等式判断BCD,要注意“一正二定三相等”.

【详解】因为。2-。。="（。一切>0,所以a?>ab，

因为ab—/=/a—b）>0,所以ab>〃,所以">〃,>/,故A正确；

因为f+2+-->2的等号成立条件V+2=--不成立，所以B错误；

x2+2x2+2

因为《tQzf"2]=1，所以/+/N2,故C错误；

2I2）

因为，+：=：（x+2—x）[，++）=：（2+三+六）N；（2+2）=2,

x2-x2\x2-xJ2vx2-xJ2

当且仅当'=—1—,即x=l时，等号成立，所以D正确.

x2-x

故选：AD

10.《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数

据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体

的睡眠指数各取10个.如下表：

编号12345678910

早睡群体睡眠指数65687585858588929295

晚睡群体睡眠指数35405555556668748290

根据样本数据，下列说法正确的是（）

A.早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高

B.早睡群体的睡眠指数的众数为85

C.晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66

D.早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小

【答案】BD

【解析】

【分析】由样本数据可判断A；样本数据的集中程度可判断D；由众数的概念可判断B；由百分位数的概念

可判断C.

【详解】因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A错误；

因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B正确；

因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为"土殁=67,所以C错误；

2

由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D正确.

故选：BD.

11.已知点A（0,5）,B（-5,0）,动点尸在圆C：（》+3）2+（丁—4）2=8上，则（）

A.直线截圆。所得的弦长为

B./VLB的面积的最大值为15

C.满足到直线AB的距离为行的尸点位置共有3个

D.的取值范围为[-22+41^]

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A,根据三角形的面积公式，结合圆的

性质即可求解B,根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C,根据向量的数量积的运算量，结合坐标

运算即可求解D.

【详解】对于A,因为4（0,5）,8（-5,0）,所以直线的方程为x-y+5=0,圆心C（—3,4）到直线A3

|-3-44-5|/—

的距离为4=小？+（旷=.2,又因为圆C的半径厂=2夜,

所以直线A8截圆C所得的弦长为2x,8—（、历了=2后，A错误.

对于B,易知|4却=5及，要想243的面积最大，只需点P到直线AB的距离最大，而点P到直线AB

的距离的最大值为r+。=2应+拉=3及，

所以B钻的面积的最大值为，x30x5夜=15,B正确.

2

对于C,当点P在直线A3上方时，点尸到直线A5的距离的范围是（0"+⑹，即（0,3闾，由对称性

可知，此时满足到直线AB的距离为近的P点位置有2个.

当点P在直线A3下方时，点P到直线A6的距离的范围是仅，一勾，即倒,夜］,此时满足到直线A3

的距离为J5的P点位置只有1个.

综上所述，满足到直线的距离为近的P点位置共有3个，C正确.

对于D,由题意知PAPB=(PC+C4)・(PC+CB)=PC2+PC(C4+C8)+C4.CB.

又因为A((),5),8(—5,0),C(-3,4),所以C4=(3,l),CB=(—2,T),

故C4.C3=3x(—2)+lx(-4)=-10,C4+CB=(l,-3).

设点0($,%)满足C4+C8=CD，

x+3=l\x=—2

则8=(%+3,%-4),故，。-「：解得广一「即。(一2,1),CD=W.

bo-4=-3,[%=L11

所以PAPB=PC2+PC(CA+CB)+CACB=S+\PC\-\CD\COSPC,CD-W

=-2+2&x厢cosPC,CD=-2+475cosPC,CD.

又因为46cosPC,CDe[-464⑸，

所以一2+46COSPUC。w[-2—4石，-2+4＞后],即pA/B取值范围为[-2-4不，-2+4石],

D正确.

故选：BCD

12.已知定义在R上的函数f(x)满足/(x+2)+/(x)=/(2026),且/(x+l)—l是奇函数.则()

A./(1)+/(3)=2B./(2023)+/(2025)=/(2024)

2024

C./(2023)是“2022)与/(2024)的等差中项D.^/(z)=2024

i=l

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/(X+2)+/(x)=/(2026),可推出/(X)的周期为4,由是奇函数可推出/⑴=1,

通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项.

【详解】因为f(x+2)+/(%)=/(2026),

所以/(x+4)+f(x+2)=/(2026),

两式相减得f(x+4)=/(x),

所以f(x)的周期为4.

因为/(犬+1)-1是奇函数，

所以f(-x+1)-1=—于(x+1)+1,所以/(-%+1)+/(x+1)=2,

即/(—x)+于(x+2)=2,

令广一1,得了⑴=1.

因为/(x+2)+/(x)=/(2026)=/(2),

令x=2,得/(4)+/(2)=/⑵，

所以f(4)=0,BP/(0)=0.

因为/(—x)+/(x+2)=2,

令x=0,得/(0)+/(2)=2,

所以〃2)=2,

所以f(x+2)+/(x)=2,

所以/(3)+/(1)=2,故A正确.

因为/(-x)+/(x+2)=2,

所以/(—1)+/(3)=2,即〃3)+。(3)=2,所以"3)=1.

因为/(2023)+/(2025)=/(3)+/⑴=2,/(2024)=/(0)=0,所以B错误.

因为/(2022)+/(2024)=/(2)+/(0)=2,/(2023)=/⑶=1,

所以/(2022)+/(2024)=2/(2023),

所以/(2023)是/(2022)与/(2024)的等差中项，故C正确.

因为/1⑴+A2)+F⑶+/(4)=(/(l)+/(3))+f(2)+/(4)=2+2+0=4,

2024

所以Z/⑴=506"⑴+/(2)+7(3)+7(4)]=506x4=2024，故D正确

<=1

故选：ACD

【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一分析

选项即可.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数/(X)=-2*_起、的图象在点(0"(0))处的切线平行于x轴，则。=.

【答案】-2

【解析】

【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.

【详解】由题意得尸(x)=x—2—ae\

由函数f(x)=^X2-2X-ae*的图象在点(0,/(0))处的切线平行于x轴，

可得尸(0)=_2_口=0,得a=_2,

故答案为：-2

14.如图，在长方体ABC。-44GA中，AB=8,AO=6,异面直线与AQ所成角的余弦值为

亘,则CC,=.

10

n

【解析】

【分析】利用直线的平移，把两条异面直线所成的角转化为平面角，再解三角形求角.

【详解】连接AC,交06于点O,取CG的中点E，连接。E,BE.

因为AC//OE,所以8。与AC所成的角为NBOE(或其补角).

令EC=x,在△8E0中，由A8=8,AD=6,得08=5.

又OE=《X2+25,BE=正+36，cos/BOE=架,

2

OE2+OB2-BE2%+25+5-~(-x~+36)yp]广1—

由余弦定理得--、---------L=±L,解得x=百，所以CG=2g-

20E0B2A/7725X510

故答案为：26

15.某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同

款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有种.

【答案】60

【解析】

【分析】先选菜品，再选饮品，结合分步计数原理可得答案.

【详解】由题意可知凉菜选择方案共有C；=6种，饮品选择方案共有C；+C；=l()种,

因此该套餐的供餐方案共有6x10=60种.

故答案为：60

16.法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的

切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆

A"2丫？_7o

C:3•+方=1(“>b>0)的蒙日圆为/+y-=,则C的离心率为.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】根据蒙日圆的定义得出点(。,勿一定在其蒙日圆上，从而可得离心率.

7

【详解】由题意可知点9,勿一定在其蒙日圆上，所以/+从=—/，

3

所以=2,故椭圆C的离心率为e=£=Jl—

\a）4a\\a）2

故答案为：y

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛%,｝的前〃项和S„满足25„+a„-l=0.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）设勿=log,’a”，求数列I—一|的前〃项和

【她+J

【答案】（1）匿」口

【解析】

【分析】（1）根据条件，利用/与S“间的关系，得到3a“=a,i，从而得出数列｛%｝为等比数列，即可

求出结果；

（2）由（1）得出勿=一己，从而得出三二=9'--'，再利用裂项相消法即可求出结果.

3bnbn+in+\）

【小问1详解】

因为2s,+4-1=0,所以当〃=1时，4=g,

当〃22时，2S,i+a“_i—l=0,两式相减得3%=a,i，又4=；中。，

所以数列｛%｝是以;为首项，1为公比的等比数列，

【小问2详解】

1YI

n

因为a=log27an=log27(-)=--,

19J\1>

所以T「=一―n=9------7

她+i〃(〃+D1〃n+\)

11111+上，］=9(1一，］二①

所以

22334nH+1)\n+lj〃+1

18.已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量A/(单位：g)服从正态分布

%(250,〃)，且P(M<248)=0.1.

(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g的概率：

(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取K(K为正整数)包，记质量在248g~252g内的包数为X，

且。(X)>320,求K的最小值.

【答案】(1)0.243

(2)2001

【解析】

【分析】(1)根据正态分布的性质求出P(M2248)的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案；

(2)根据正态分布的对称性求出P(248<M<252)的值，确定X~8(K,0.8),结合正态分布的方差公式,

列出不等式，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意知每包牛肉干的质量〃(单位：g)服从正态分布N(250,〃)，且P(M<248)=0.1,

所以「(Mi248)=1—0.1=0.9,

则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为C；*0守x0]=0.243.

【小问2详解】

因为P(M<248)=0.1,所以尸(248<M<252)=(0.5—0.1)x2=0.8,

依题意可得X~B(K,0.8),所以£>(X)=Kx0.8x(l—0.8)=0.16K,

因为£>(X)>320,所以0.16K>320,K>2000,

又K为正整数，所以K的最小值为2001.

19.在中，内角A,B,C的对边分别为b,c,。=3四，asinB=+

(1)求角A；

(2)作角A的平分线与BC交于点。，且求b+c.

【答案】(1)v

3

(2)6

【解析】

【分析】(1)由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得;

(2)充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得匕+。=仍，再运用余弦定理解方程即得.

【小问1详解】

因asin8=/?sin（A+巴兀],由正弦定理可得：sinB—sin>4+—^-C0ST4-sinAsin8=O,

I3j[22）

11

即sinBcosA——sinA=0.

2）

因Bw（O,兀），故sinB/O,则有《tcosA=」sinA，即tanA=6

22

因AG(0,TI),故A=

【小问2详解】

因为A£>为角平分线，所以SOAB+SDAC=SA8C，

所以,AB•ADsinNDAB+-AC-ADsinZDAC='AB-ACsinABAC.

222

因NBAC=二，ZDAB^ZDAC^-,AD=5则立A8+且AC=3AbAC，

36444

即46+AC=A6-AC,所以匕+c=cZ?.

又由余弦定理可得：a2^b2+c2-2Z?ccosy=（/?+c）2-3bc,

把a=3&，b+c="分别代入化简得：S+C）2-3S+C）-18=0,

解得：A>+c=6或8+c=-3（舍去），所以6+c=6.

20.如图，在四棱锥P—ASCO中，底面AB8为矩形，PO1平面ABCO,垂足为。，E为PC的中点,

(1)证明：PC=PD；

(2)若AD=2A3=4,OCLOD,PC与平面ABC。所成的角为60。，求平面P8C与平面PCD夹

角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）一.

7

【解析】

【分析】（1）根据线线平行可得面面平行，进而根据面面平行的性质可得线线垂直可求证线面

垂直，进而根据线面垂直的性质即可求证，

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.

【小问1详解】

证明：取CO的中点/，连接EE,PF,OF,因为E为PC的中点，所以EF//PD.

又切■平面P4。，P£）u平面Q4。，所以瓦'//平面APZ）.

因为OE//平面PA。，OEEF=E,OE,EFu平面OEF,

所以平面OEF〃平面PAD.

因为平面ABCOc平面OE尸=0/，平面ABCDc平面R4Q=AD,所以OFV/AZ）.

因为AO_LCO,所以OE_LC。.

由PO1平面ABC。，COu平面ABC。，可得R9J_CD.

又POcOF=O,PO,O/u平面20户,所以CO_L平面POf,PEu平面POb,

从而PFLCD.

因为。尸是CD的中垂线，所以PC=P£>.

【小问2详解】

因为PO1平面ABCD，所以PC与平面ABC。所成的角为ZPCO=60°,

又OCJ_OO,OC=OD,AB=CD=2,所以OC=OD=O,PO=囱CO=瓜.

作OGLBC,垂足为G,分别以OG,OF，OP的方向为x，九z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系，则£>（一1,1,0）,以1,一3,0）,C（l,l,0）,P仅,0,网，

./I—\UUU1

BC=（0,4,0）,PC=（1,1,-V6）,DC=（2,0,0）.

设平面PBC的法向量为〃7=(玉,y,zj,

m-BC=4必=0,

则〈令Z]=1,得加=（逐,0,1）.

m-PC=须+%一瓜z、-0,

设平面PCD的法向量为〃=(%2，%，22)，

n•DC—2X=0,

则《9令必=逐，得〃=(0,灰,11

n.PC=x2+y2-V6Z2=0,

/\m-n111

所以cos也,〃)=j-n-7=万万=-9即平面PBC与平面PCZ)夹角的余弦值为-.

21.已知双曲线C:二-卫•=1(4>0力>0)的离心率为逅1,且其焦点到渐近线的距离为1.

a-b-6

(1)求C的方程;

(2)若动直线/与C恰有1个公共点，且与。的两条渐近线分别交于P,Q两点，。为坐标原点，证明:

△OP。的面积为定值.

【答案】(1)—-y2=l

6-

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由点到直线的距离公式、离心率公式以及平方关系再结合已知即可求解.

(2)当直线/的斜率存在时，不妨设/:丁=束+加，且左#±也.动直线/与C相切可得△=()即

6

6公=利2+1，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形面积，结合6左2=%2+1即可得解.

【小问1详解】

设右焦点为F(c,0),一条渐近线方程为法-做=0,

be

所以该焦点到渐近线的距离为=〃=1.

\Ja2+/?2

因为e=£=,c2=a2+b2»所以a=V6,c=S.

a6

丫2

故C的方程为二->2=1.

6一

【小问2详解】

当直线/的斜率不存在时，/的方程为x=±&,此时|PQ|=2,S”°=gx2x#=J4.

当直线/的斜率存在时，不妨设/：y=丘+加，且4工±45.

6

y=kx+m,

2

联立方程组〈x2得0_6%2卜2_]2小依_64一6=0.

-^一旷=1,

o

由4=144疗左2+40—6后2）（6〉+6）=0,得6公=>+1.

y=kx+m