高中数学北师大版必修1课件第四章函数应用

第四章

函数应用§1

函数与方程1.1

利用函数性质判定方程解的存在1.了解函数的零点的概念,理解函数的零点与方程的根的关系.2.掌握函数零点的判定定理,会探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法.3.会求简单函数的零点,体会函数与方程思想及数形结合思想等数学思想的应用.1.函数的零点

【做一做1-1】

函数y=x的零点是(

)A.(0,0) B.0 C.1 D.不存在答案:B【做一做1-2】

函数f(x)=x2-2x的零点个数是

(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案:C2.函数零点的判定定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.名师点拨当函数y=f(x)同时满足:①函数的图像在闭区间[a,b]上是连续的曲线;②f(a)·f(b)<0,则可以判断函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,但是不能明确说明有几个零点.当函数y=f(x)的图像在闭区间[a,b]上不是连续的曲线,或不满足f(a)·f(b)<0时,函数y=f(x)在区间[a,b]内可能存在零点,也可能不存在零点.例如,①二次函数f(x)=x2-2x-3在区间[3,4]上有f(3)=0,f(4)>0,所以有f(3)·f(4)=0,但3是函数f(x)的一个零点.②函数f(x)=x2在区间[-1,1]上有f(-1)·f(1)=1>0,但是函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点0.③函数

在区间[-1,1]上有f(-1)·f(1)<0,但是由其图像知函数f(x)在区间[-1,1]内无零点.【做一做2-1】

已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点,则此零点所在的区间是(

)A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)解析:利用零点存在的判定条件,判断零点存在的区间.f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0.根据选项,只有区间(1,2)满足.答案:C【做一做2-2】

函数f(x)=mx-1在(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是

.

解析:由f(0)·f(1)<0得(-1)·(m-1)<0.解得m>1.答案:(1,+∞)题型一题型二题型三题型四题型一

求函数的零点【例1】

求下列函数的零点:(1)y=x-1;

(2)y=x2-x-6.分析:解答本题时,先把每一个函数解析式因式分解,化为几个因式之积的形式,最好为一次因式,然后令每一个因式等于零再求解.解:(1)令y=x-1=0,得x=1,故y=x-1的零点为1.(2)令y=x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x=3或x=-2,故y=x2-x-6的零点为3和-2.反思函数零点的求法:(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(2)几何法:与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】

若f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是

.

解析:由f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,得3a-b=0,即3a=b,又g(x)=bx2+3ax=x(bx+3a)=x(bx+b).令g(x)=0,解得x1=0,x2=-1.答案:0和-1题型一题型二题型三题型四题型二

判断函数的零点个数【例2】

求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.分析:方法一,借助函数f(x)的单调性确定;方法二,借助函数f(x)的图像确定.解:方法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在定义域(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.题型一题型二题型三题型四方法二:在同一平面直角坐标系下作出函数h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)在(-1,+∞)的图像,如图.由图像知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.题型一题型二题型三题型四反思判断函数的零点个数的方法主要有:(1)解方程:当能直接求解零点时,就直接求出.(2)用定理:零点存在性定理.(3)利用图像的交点:有些题目可先画出某两个函数y=f(x),y=g(x)的图像,其交点的横坐标是h(x)=f(x)-g(x)的零点.题型一题型二题型三题型四∵x≠0,∴x3-1=0.∴(x-1)(x2+x+1)=0.∴x=1或x2+x+1=0.∵方程x2+x+1=0的判别式Δ=12-4=-3<0,∴方程x2+x+1=0无实根.∴函数f(x)只有一个零点.题型一题型二题型三题型四题型三

判断方程的根所在的大致区间【例3】

求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.分析:证明方程5x2-7x-1=0的两个根分别位于(-1,0)和(1,2)上,即证f(x)=5x2-7x-1在(-1,0)和(1,2)上各有一个零点.证明:设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)·f(0)=11×(-1)=-11<0,f(1)·f(2)=(-3)×5=-15<0.而二次函数f(x)=5x2-7x-1的图像是连续的曲线,所以f(x)在(-1,0)和(1,2)上各有一个零点,即方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.题型一题型二题型三题型四反思判断方程的根所在的大致区间可转化为判断函数的零点所在的大致区间.判断函数f(x)是否在(x1,x2)上存在零点,除验算f(x1)·f(x2)<0是否成立外,还需考察函数的图像在(x1,x2)上是否连续.若要判断根的个数,还需结合函数的单调性.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】

函数f(x)=x+lgx-3的零点所在的大致区间是(

)答案:C题型四题型一题型二题型三题型四

易错辨析易错点:忽略对参数的分类讨论而致误【例4】

若函数f(x)=ax2-x-1只有一个零点,求实数a的值.错解:因为函数f(x)=ax2-x-1只有一个零点,所以即1+4a=0,所以a=-.错因分析:错解的原因在于没有对函数f(x)=ax2-x-1的二次项系数a进行讨论,直接把f(x)=ax2-x-1当作二次函数来处理,忽略了当a=0时,y=-x-1的情况,从而导致了漏解.题型四题型一题型二题型三正解:①当a=0时,函数f(x)=-x-1,显然,该函数图像与x轴只有一个交点,满足题意.②当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1是二次函数,因为f(x)=ax2-x-1只有一个零点.所以方程ax2-x-1=0有两个相等的实根.题型四题型一题型二题型三【变式训练4】

关于x的方程(m-1)x2+2(m+1)x-1=0有且只有一个实数根,则实数m的取值集合为

.

解析:当m=1时,原方程可化为4x-1=0,即x=,符合题意;当m≠1时,由题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0,解得m=-3或m=0,故满足题意的m的取值集合为{-3,0,1}.答案:{-3,0,1}1234561函数f(x)=-x2+5x-6的零点是(

)A.-2,3 B.2,3 C.2,-3 D.-2,-3解析:令-x2+5x-6=0,解得x1=2,x2=3.所以函数f(x)的零点为2,3.答案:B1234562下列四个区间中,函数

一定存在零点的一个区间是(

)A.(6,7) B.(7,8)C.(8,9) D.(9,10)解析:∵f(9)=lg

9-1<0,f(10)=∴f(9)·f(10)<0.又f(x)在区间[9,10]上连续,∴f(x)在(9,10)上有零点,故选D.答案:D123456A.(2,3) B.(1,2) C.(0,1) D.(-1,0)答案:C1234564已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比0大,一个零点比0小,则实数a的取值范围为

.

解析:由题意可知f(0)=a-2<0,解得a<2.答案:(-∞,2)1234565已知函数f(x)=2x-3x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么?解:有实数解.理由如下:∵f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,又函数f(x)=2x-3x2的图像是连续曲线,∴f(x)在区间[-1,0]上有零点,故f(x)=0在区间[-1,0]内有实数