四边形综合复习（基础巩固）-2021年中考数学一轮基础知识复习和巩固提升训练

四边形综合复习

【知识梳理】

考点一、四边形的相关概念

1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫

做多边形.

2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)•180。；

⑵推论:多边形的外角和是360。；

(3)对角线条数公式：n边形的对角线有”"二"条;

2

(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫

做四边形.

4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360。；(2)推论：四边形的外角和是360。.

考点二、特殊的四边形

1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质

对角线相等

四个内角为90°

正平门对边平行।

方行

形四T对边相等I

边

形T对角相等

一

T对角线互相平分

T四条边相等I

-I对角线互相垂亘1

―I对角线平分各两

2.平行四边形及特殊的平行四边形的判定

方法指导：

面积公式：s菱形=1ab=ch(a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h为c边上的高).

2

S平行四边形=ah(a为平行四边形的边，h为a上的高).

考点三、梯形

1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.

(2)不平行的两边叫做梯形的腰.

(3)梯形的四个角都叫做底角.

2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

4.等腰梯形的性质：

(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角

线相等.

5.等腰梯形的判定方法：

(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；

(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.

6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

7.面积公式：S=2(a+b)h(a,b是梯形的上、下底，h是梯形的高).

2

考点四、平面图形

1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之

间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.

2.平面图形镶嵌的条件：

(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.

在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.

(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：

①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360。；

②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的

边长的整数倍.

【专项训练】

一、选择题

1.下列说法中，正确的是（）.

A.等腰梯形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等

C.矩形的对角线互相垂直D.正方形的对角线互相垂直且相等

2.如图，在口A8CZ）中，于a==且。是一元二次方程

x2+x-2=o的根，则口的周长为（）.

A.4+72B.4+20C.8+20D.2+72

3.如图（1）,把一个长为用、宽为％的长方形（掰＞界）沿虚线剪开，拼接成图（2）,

成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）.

.m-n.mn

A.-------B.m-nc.—Dn.—

222

（1）力）

4.下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互

相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边

形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（）

A.正三角形和正方形B.正方形和正六边形

C.正三角形和正六边形D.正五边形和正十边形

6.如图，梯形/6口中，AD//BC,DCLBC,将梯形沿对角线劭折叠，点/恰好落在2c

边上的点/处，若8c=15°,则劭的度数为（).

A.15°B.20°C.25°D.30

二、填空题

7.若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，

则这个平行四边形的一个最小内角是度.

8.矩形内有一点尸到各边的距离分别为1、3、5、7,则该矩形的最大面积为—

平方单位.

9.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点0,且ABWAD,过。作0ELBD交BC于点

E.若4CDE的周长为10,则平行四边形ABCD的周长为.

10.如图，点50.0），R0.1）是正方形的两个顶点，以它的对角线因为一边作

正方形。4斗弓，以正方形044G的对角线。鸟为一边作正方形以正方形

的对角线。片为一边作正方形。片互q,…，依次进行下去，则点耳的坐标是

1L如图,若AABC的边AB=3,AC=2,I、II、III分别表示以AB、AC、BC为边的正方形,

则图中三个阴影部分面积之和的最大值为.

E

12.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边AABD,连接DC,以DC当边作

等边△DCE,B、E在C、D的同侧，若AB=&,则BE的长为.

三、解答题

13.如图，过正方形/8切的顶点作3E3CX，且作=又

14.如图，已知平行四边形ABCD,过A点作AMJ_BC于M,交BD于E,过C点作CNLAD

于N,交BD于F,连接AF、CE.

(1)求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求NCBD的度数.

15.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M,过M作

ME_LCD于点E,Z1=Z2.

(1)若CE=1,求BC的长；

(2)求证:AM=DF+ME.

16.已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上,

且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立.

（1）如图（1）,当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样

的关系？（直接写出结论不必证明）；

（2）如图（2）,当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成

立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图（3）,当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件

的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）

答案与解析

一.选择题

L【答案】D.

2.【答案】B.

【解析】解方程/+*-2=0得：xi=-2,X2=L

VAE=EB=EC=a,a是一元二次方程x2+x-2=0的一个根，

・・a=1,

即AE=BE=CE=1,

VAEXBC,

AZAEB=90°,

...由勾股定理得：ABNF+F=阻,

•..四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD=0,AD=BC=1+1=2,

平行四边形ABCD的周长是2(2+0)=4+20,故选B.

3.【答案】A.

4.【答案】B.

【解析】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所

以该四边形是平行四边形，故该命题正确；

②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形(例如筝形,

如图所示)，故该命题错误；

③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等,

所以是菱形，故该命题正确；

④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为

2个，故选B.

5.【答案】B.

【解析】A、正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,

3X600+2X90°=360°,故能铺满，不合题意;

B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°,显然不能构成360。的周角，故不能铺

满，符合题意；

C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°,2X60°+2X120°=360°,故能铺

满，不合题意；

D、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°,2X108°+1X144°=360°,故能

铺满，不合题意.

故选：B.

6.【答案】D.

【解析】：梯形ABCD中，AD/7BC,DC±BC,

/.ZC=90°,VZA,BC=15",

.\ZDAZB=ZA/BC+ZC=15°+90°=105°,

由折叠的性质可得：NA=NDA'B=105°,NABD=NA'BD,

,ZABC-ZA'BC

：AD〃BC,ZABC=180°0-ZA=75°0,AZAZBD=---------------=30°0.

2

二.填空题

7.【答案】30.

8.【答案】64.

9.【答案】20.

【解析】:四边形ABCD是平行四边形，；.0B=0D,AB=CD,AD=BC,

VOEXBD,.\BE=DE,

「△CDE的周长为10,即CD+DE+EC=10,

,平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2(BC+CD)=2(BE+EC+CD)=2(DE+EC+CD)

=2X10=20.

故答案为：20.

10.【答案】(-8,0).

n.【答案】9.

【解析】把△CFH绕点C顺时针旋转90°,使CF与BC重合，H旋转到H'的位置，根据

旋转的性质和正方形的性质有A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，得到SACHF=SA

BCH'二S^ABC,同理：SABDG-SAAEM-SAABC,所以S阴影部分面积=3S^ABC=3X—ABXACXsinNBAC,艮口当AB

±AC时,

SAABC最大值为：-X2X3=3,即可得到三个阴影部分的面积之和的最大值.

2

12.【答案】1.

【解析】丫△ABC等腰直角三角形

/.AOBC,

△ABD是等边三角形

BD=AD

/.△ADC2△BDC

/.ZBCD=(360°-90°)4-2=135°

又「ZCBD=60°-45°=15°

ZCDB=180°-135°-15°=30°,ZBDE=60°-30°=30°

CD=ED,ZCDB=ZBDE,BD=BD

/.△BCD空△BED

BE=CB=J^xsin45o=l

BE=1.

三.综合题

13•【解析】提示：易证菱形AEFC,ZAEB=ZACF,

做CGJ_AC,BG〃AC,即得等腰RtZ\CBG,

等腰RtZkCBG中CG=^，故NCFG=30°

2

・•・NACF=30°，ZFCB=15°

ZBCF=-ZAEB

2

14.【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形（已知），

.,.BC/7AD（平行四边形的对边相互平行）；

又：AMJLBC（已知），

；.AM_LAD；

VCN±AD（已知），

.,.AM/7CN,

；.AE〃CF；

又由平行得/ADE=NCBD,又AD=BC（平行四边形的对边相等），

在AADE和4CBF中，

ZDAE=NBCF=9。

<AD=CB,

ZADE=ZFBC

：.AADE^ACBF（ASA）,

；.AE=CF（全等三角形的对应边相等），

...四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）;

（2）如图，连接AC交BF于点0,当AECF为菱形时，

则AC与EF互相垂直平分，

VB0=0D（平行四边形的对角线相互平分），

AC与BD互相垂直平分，

/.°ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形）,

；.AB=BC（菱形的邻边相等）；

,.,M是BC的中点，AM±BC（已知），

AABM^ACAM,

.*.AB=AC（全等三角形的对应边相等），

AABC为等边三角形，

AZABC=60°,ZCBD=30°.

15•【解析】（1）:四边形ABCD是菱形,

，AB〃CD,

.\Z1=ZACD,

VZ1-Z2,

NACD=N2,