2024年北京市门丰台区2024届高三一模数学试卷（含答案）

2024北京丰台高三一模

数学

2024.03

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合A={x|尤2—2xWo},B=1x|%—1>o|,则AB=()

A.｛小三。｝B.｛x10Wx<l｝C.｛小>1｝D.

2.已知公差为d的等差数列｛4｝满足：%—2%=1，且%=0,贝1Jd=（）

A.-lB.OC.1D.2

3.已知双曲线/=1（a>0）的离心率为逅，则。=（）

矿2

1

A.2B.A/2C.D.-

22

2］的展开式中，x的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.80

5.已知向量人满足b==,且〃6=1,贝（）

11

A.-B.-C.2D.4

42

6.按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以AO,A1,…等来标记纸张的幅面规

格，具体规格标准为：

A6

A7

①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为1:72；A5

A2

②将Ai（1=0,1,,9）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为A（i+1）规格纸

张（如图）.

某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸

张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格

纸张的张数为（）

A.6B.7C.8D.9

7.在平面直角坐标系xOy中，直线/:依+纱=1上有且仅有一点P，使则直线/被圆

。：必+,2=4截得的弦长为（）

A.lB.V3C.20.273

8.已知函数"X）=sin12x+；］,则“a=鼻+左万（左eZ）"是"/（x+tz）是偶函数，且/'（x—tz）是

奇函数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状

的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.图2是一

个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于该半

正多面体的四个结论：

①棱长为形；

②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大

小是60°；

③表面积为5=12+4百；

图1图2

④外接球的体积为V=4岳.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

—^n=2k,keN）

10.已知数列｛q｝满足a〃+i=<2则（）

^^（“=2左一1,左eN*）,

A.当％<0时，｛%｝为递增数列，且存在常数M>0,使得4恒成立

B.当4>1时，｛q｝为递减数列，且存在常数M>0,使得q恒成立

C.当0<〃1<1时，存在正整数N。，当〃〉N。时，<I。。

D.当0<q<l时，对于任意正整数N。，存在〃〉N0，使得4—；〉焉

第二部分（非选择题110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

l+2i_

11.

3—4i一

TT3

12.在△ABC中，若Z?=5,B=—,cosA=—,则.=.

45

13.已知厂是抛物线V=4x的焦点，A,8是该抛物线上的两点，|”|+忸尸|=8,则线段A3的中点

到y轴的距离为.

14.已知函数y(x)具有下列性质：

①当石e[0,+oo)时，都有/+々)=/(%)+/(X2)+l；②在区间(0,+8)上，/(x)单调递增；③

/(x)是偶函数.

则f(0)=；函数〃x)可能的一个解析式为f(x)=.

15.目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体

一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道.现有材料科

技条件下，对于一个〃级火箭，在第〃级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为

v=31n--------1。'444----,

(9+2(9+%)(9+4)

%+E吗

其中q=------卢-----(7=1,2,•,〃).

j=i

注：加p表示人造天体质量，加)表示第j(/=1,2,•••,〃)级火箭结构和燃料的总质量.

给出下列三个结论：

①a。<1；②当〃=1时，v<31nl0；③当〃=2时，若v=121n2,则Jq%>6.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.(本小题14分)如图，在直三棱柱ABC—中，CA=CB=Cq=2,。为AB中点.

(I)求证：AC1〃平面耳CD；

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面

角5—耳。—。的余弦值.

条件①：BC1AC1；

条件②：B、D=R.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

17.(本小题14分)已知函数/(xjnGsin&ucosox-sin20x+—(0>>0).

（I）若。=2,求/高的值;

（II）若/（x）在区间上单调递减,0,求。的值.

18.（本小题13分）某医学小组为了比较白鼠注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康

白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A,第2组注射药物B.试验结

果如下表所示.

疱疹面积（单位：mm2）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)

第1组（只）34120

第2组（只）13231

（I）现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于

60mm之的概率；

（II）从两组皮肤疱疹面积在［60,80）区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只

数X的分布列和数学期望EX；

（III）用“短=0”表示第左组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在［30,50）区间内，“费=1”表示第左组白

鼠注射药物后皮肤疱疹面积在［50,80）区间内（左=1,2）,写出方差。《，。女的大小关系.（结论不要求

证明）

19.（本小题14分）已知椭圆E:=+2r=1（。>>>0）的焦距为40,以椭圆E的四个顶点为顶点

ab

的四边形的周长为16.

（I）求椭圆£的标准方程；

（II）过点S（0,l）的直线/交椭圆E于P,。两点，线段P。的中点为是否存在定点。，使得

24=1？若存在，求出。的坐标；若不存在，请说明理由.

|PQ|2

20.(本小题15分)已知函数/(X)=e*+ln(x+l)—x,曲线C:y=/(x)在点(%"(x。))处的切线为

/：V=g(x),i己〃(x)=/(x)—g(x).

(I)当x0=0时，求切线/的方程；

(II)在(I)的条件下，求函数力(力的零点并证明动(无)三0；

(III)当毛片0时，直接写出函数刈力的零点个数.(结论不要求证明)

21.(本小题15分)已知集合叫={xeN]xW2〃}(weN,4),若存在数阵

T=h%a小满足：

?!4bn_

①{4%,•.・,4}{bvb2,,bH}=Mn-,

@ak-bk=k(k=\,2,,n).

则称集合为“好集合”，并称数阵T为河〃的一个“好数阵”.

(I)已知数阵丁=x’yz6是〃4的一个“好数阵”，试写出光，y，z,w的值；

_7w12J

(II)若集合“〃为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；

(III)判断%(〃=5,6)是否为“好集合”.若是，求出满足条件〃e{a1M2，,%,}的所有“好数阵”；若

不是，说明理由.

参考答案

第一部分(选择题共40分)

题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

答案ACBADcDABD

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)—(12)4&(13)3

55

(14)-1,/(x)=|x|-l(答案不唯一)(15)②③

注：(15)题给出的结论中有多个符合题目要

求.全部选对得5分，不选或错选得。分，其他

得3分.

三、解答题共6小题，共85分。

(16)(本小题14分)

解：(I)证明：连接BG，设3。B1C=E,连接OE,

在三角形A3G中，D、E分别为A3、BQ的中点,

所以AG〃£>E.

因为AGU平面，

DEu平面与。，

所以AG〃平面

44分

(II)选择条件①：BC1AQ

在直三棱柱ABC-A笈G中，CG，底面^C,

所以CG，C4，CQ±CB,

因为BC1AC1；CCjAG=

所以BCL面ACGA，所以BCLAC.

如图建立空间直角坐标系C-孙Z,因为C4=s=CG=2,

所以C(0,0,0),4(2,0,0),3(0,2,0。耳(0,2,2).

因为。为中点，所以0(1,1,0).

易知帆=(1,0,0)是平面BCB1的法向量.

在平面CDB［内，CD=(1,1,0),CB】=(0,2,2).

设"=(x,y,z)是平面CDB］的法向量，

因为〃_LC£),n±CBX,

x+y=0

所以〃n-CB=0,即

x2y+2z=0'

取x=l,得y=—1,z=l,所以〃=(1,—1,1).

mn1_73

因为cos<m,n>=

|m||n|1XA/33

因为二面角BQ-D为锐二面角,

所以二面角B-B.C-D的余弦值为g

选择条件②：BxD=y[6

在直三棱柱ABC—4片。1中，8瓦_L底面ABC,

所以

因为BB：+BD2=8河网=2耳口=娓,

所以BD=无,

因为。为中点，所以AB=2a,

所以+=.2,所以BCLAC.

因为CG，底面ABC,故可如图建立空间直角坐标系C-孙z.

以下同解法1.……14分

(17)(本小题14分)

解：(I)因为G=2,

所以/(—)=^sin—cos--sin2—+—=—4分

633322

(II)f(x)=y/3sinGXCOScox-sin2cox+—

V3.l—cos2。％1

——sm2〃?x-----------------F—

222

=sin(2s+—)

因为/(x)在区间口二]上单调递减，

62

所以二之三—二=二，即7=善之生，

2263囱3

所以0＜。＜3.

因为/(一自)=。，

所以/(--)=sin(-—+-)=0,即。=1+6k(keZ),

1266

所以0=1.……14分

(18)(本小题13分)

解：(I)设事件C="被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm2”,

8'612

则P(C)4分

10'1025

(II)X的可能取值为1,2,3.

C工1

P(X=1)

5

X2

P(X=2)=C-C^=-3

屋5

C31

P（X=3）=/,

所以X的分布列如下:

X123

13]_

P

555

131

EX=1?-2?-3?-2.11分

555

（III）Dxx＜DXr.13分

（19）（本小题14分）

4-yja2+b2—16,

CT=12,

解：(I)由题意得《2c=4仓解得《

b2=4.

a2=b2+c2.

,22

所以椭圆E的方程为土+匕=1...........5分

124

\DM\1

(II)若存在定点D,使得，^=万，等价于以P。为直径的圆恒过定点

当直线/的斜率不存在时，P。为直径的圆的方程为炉+丁=4①，

当直线/的斜率为。时，令y=l,得x=13,

因此P。为直径的圆的方程为d+(y—1)2=9②.

X—0

联立①②得厂2猜测点D的坐标为(0,-2).

设直线/的方程为y=Ax+l,

y=kx+l,

由＜y2得（3左2+1）%2+6A%—9=0.

--1----1,

〔124

设「（办,%）,。（工2，%），则

6k9

X1+X。=--------,x.x=-----——.

1-3k2+11723k2+1

所以£＞尸・£＞。=（无],%+2）-（七,%+2）

=%/+（%+2）（%+2）

=x1x2+（何+3）（AX2+3）

=（左2+1）玉%2+3左（西+%2）+9

=（〃+l）.V）+34一

+9

=0.

综上，存在定点—2),使得"/=5.

14分

(20)(本小题15分)

解：(I)函数/XX)的定义域为(—1,+9)，

当%=0时,/(%0)=/(0)=1；

/U)=/'(0)=1

x+13

故切线/的方程为y=x+L...........5分

(II)h(x)=/(x)-g(x)=e*+ln(x+1)-x-(%+1)=e*+ln(x+l)-2x-l,

7“、x1c(x+l)e'—2x—1

h(x)=e+-----2=-------------.

x+1x+1

解法1：令m(x)=(x+l)e*-2x-l,则m'(x)=(x+2)e*-2.

l

当xe(-1,0)时，x+2e(l,2),eG(0,1),故(x+2)e'<2x1=2,m'(x)<0,

因此，当xe(-l,0)时，机(x)单调递减，m(x)>m(0)=0；

当xe(0,+co)时，x+2>2,ex>1,故(x+2)e*〉2义1=2,m'(x)>0,

因此，当尤w(0,+8)时，机(光)单调递增，m(x)>m(0)=0；

综上，加(九)20恒成立，也就是/i'(x)»0恒成立，

所以〃(%)在(-1,y)上单调递增.

又因为〃(0)=0,故函数五(功有唯一零点x=0.

且当xe(-1,0)时，h(x)<0；当xe(0,+8)时，h(x)>0；

因此当xe(-1,0)时，xh{x}>0；当xw(0,+co)时，xh{x}>0；

故xh(x)>0；

解法2：h\x)=e+—--2,

x+1

令g(x)=e、」——2,贝!|g(x)=e*1

x+1(X+1)2

当xe(—1,0)时，x+1G(0,1),—二>1,ex<1,故g'(x)<0,

(x+1)

因此，当xe(—1,0)时，g(x)单调递减，g(x)>g(0)=0；

当xw(0,+oo)时，x+l>l,---7<1,ex>1,故g'(x)>0,

(x+1)

因此，当尤w(0,+(»)时，g(x)单调递增，g(x)>g(0)=0；

综上，g(x)»0恒成立，也就是"(x)20恒成立，

以下同解法1............13分

(IID2............15分

(21)(本小题15分)

解：(I)解：x=8,y=5,2=4,w=3.........................4分

(II)证明：当集合M,为“好集合"时，设T』[的是区的一个“好数阵”,

b2bn_

构造数阵：2〃+1-42"+j],记为兀

2〃+1—42〃+1—%2〃+1—cin

因为T是“好数阵”，所以当左=1,2,.,〃时，(2«+1e(2n+1-o,)eMn,

且{2〃+1—Z?],2〃+1—Z?2,,2"十1—+1—々],2〃+1—a2、,2〃+1—an}=A7n.

因为(2n+1—bk)—(2n+1—%)=%—bk=k(k=1,2,,〃)，

r-Lr、t—2几+1—b,2〃+1—b02M+1—Z7.p-,,,人..,,

所以丁=c1c2八〃也是的一个“好数阵”，

2〃+1—％2几+1—%2n+l—an

一方面，因为(2〃+1)—(2〃+1—%)=%,(2〃+1)—(2〃+1—4)="(左=1,2,，几)，

所以7=7.

另一方面，假设2〃+1-/?2=%，因为。2—优=2,所以2〃+1—4=2+Z?2,

所以4=2亨，与仇eM.矛盾，所以了WT，

故集合”,的“好数阵”必有偶数个；............9分

(III)假设T=%的可是集合M.的一个“好数阵”

?1b2bn_

_n_n_2〃__n_“_“

由题意得：+=£i,=£i,相加得：

z=lz=lz=li=l4=1Z=1

〃2〃“(1+2n)x2n(1+n)xnn(5n+3)目口en(5n+3)

2支《=*+*=d=，即>a.=

2--------2-------------2------------------------------4

6QQ6

当〃=6时，兄4=£空=2，与之"N*矛盾；所以也不是“好集合”.

i=i42«=1

当〃=5时，