2024年高考数学终极押题密卷3（全国乙卷文科）含答案

2024年高考数学终极押题密卷3（全国乙卷文科）一．选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2＜0}，且a∈A，则a可以为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是（3，﹣1），则z＝（）A．1+3i B．3+i C．﹣3+i D．﹣1﹣3i3．下列函数中是增函数的为（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝4．养过蜂的人都知道，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是有母无父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第n代祖先数目如图所示：若用Fn表示一只雄蜂第n代祖先的个数，给出下列结论，其中正确的是（）A．F8+F10＞F11 B．F9+F10＜F8+F11 C．F9+F11＜2F10 D．4F6+F10＞F115．已知球O的一个截面的面积为2π，球心O到该截面的距离比球的半径小1，则球O的表面积为（）A．8π B．9π C．12π D．16π6．执行如图所示的程序，输出S的值为（）A．﹣228 B．﹣100 C．﹣64 D．﹣367．在△ABC中，，b＝2c，，则S△ABC＝（）A． B．4 C． D．8．已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B﹣A＝45，2A＝B+615，则an＝（）A．3n﹣2 B．3n﹣1 C．3n+1 D．3n+29．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．或210．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为BB1，CC1的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面AB1N，则动点P的轨迹面积为（）A． B．5 C． D．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a+c）（sinA﹣sinC）+bsinB＝asinB，b+2a＝4，，则线段CD长度的最小值为（）A．2 B． C．3 D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（2x﹣2）为偶函数，f（x﹣3）+f（﹣x+1）＝0，当x∈[﹣2，﹣1]时，（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＝4．则＝（）A．28 B．32 C．36 D．40二．填空题（共4小题）13．已知函数，则f（f（﹣3））＝．14．在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AD上，且，，则λx﹣y＝．15．过直线x+y﹣4＝0上的任意一点M作圆C：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点N（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）到直线AB距离的最大值为．16．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，若xf'（x）﹣f（x）＝，f（1）＝﹣，且x≥1时，f（xex）≤f（x+lnx﹣a）恒成立，则a的取值范围是．三．解答题（共7小题）17．已知数列{an}的前n项和为Sn，当n≥2时，Sn（Sn﹣an+1）＝Sn﹣1．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，数列的前n项和为Tn，若恒成立，求正整数m的最大值．18．2022年，随着最低工资标准提高，商品价格上涨，每个家庭的日常消费也随着提高，某社会机构随机调查了200个家庭的日常消费金额并进行了统计整理，得到数据如表：消费金额（千元）[2，3）[3，4）[4，5）[5，6）[6，7）[7，8]人数406040302010（1）求这200个家庭消费金额的平均数及方差s2（同一区间的花费用区间的中点值替代）；（2）通过进一步调查发现这200个家庭中收入不低于5千的有100个家庭，这些家庭成员到商场购物时驻留时间互不相同，通过调查得到如表联表：驻留时间少于1小时驻留时间不少于1小时低于5千7030不低于5千4060能否有99.9%的把握认为家庭成员在商场驻留的时间与家庭收入有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82819．如图，四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是全等的矩形，，若P是AA1的中点．（1）求证：平面PB1C1⊥平面PB1C；（2）如果AC＝1，求三棱锥B1﹣A1C1P与多面体ABCPB1的体积比值．20．已知抛物线y2＝2px（x＞0）的焦点F到准线的距离与双曲线的离心率相等．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点P（t，﹣2）在抛物线上，过P作抛物线的两弦PM与PN，若两弦所在直线的斜率之积为﹣4，求证：直线MN过定点．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣x﹣ax2，a∈R．（Ⅰ）当a＝时，证明：f（x）≤0；（Ⅱ）若函数H（x）＝f（x）﹣（x﹣1）ex+ax2+x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C1的极坐标方程为．（1）求直线C1的一个参数方程；（2）在极坐标系中，方程ρ＝3﹣3sinθ表示曲线C2，若直线C1与曲线C2相交于M，O，N三点，求线段MN的长．23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．（1）求f（x）≥5的解集；（2）设f（x）的最小值为m，若正数a，b，c满足a+b+c＝m，求ab+ac+bc的最大值．

2024年菁优高考数学终极押题密卷3（全国乙卷文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2＜0}，且a∈A，则a可以为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】转化思想；综合法；集合；数学运算．【答案】B【分析】根据不等式的解法求出集合A，然后求出a的范围，再对各个选项逐个判断即可求解．【解答】解：由题意可得集合A＝{x|﹣＜x＜}，因为a∈A，所以﹣＜a＜，故选项B正确，ACD错误．故选：B．【点评】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是（3，﹣1），则z＝（）A．1+3i B．3+i C．﹣3+i D．﹣1﹣3i【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】A【分析】根据复数的几何意义得到，结合复数的运算法则，即可求解．【解答】解：由题意，复平面内，复数对应的点的坐标是（3，﹣1），可得，所以z＝（3﹣i）•i＝1+3i．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．3．下列函数中是增函数的为（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝【考点】函数单调性的性质与判断．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】D【分析】结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】解：由一次函数性质可知f（x）＝﹣x在R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知f（x）＝（）x在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f（x）＝x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知f（x）＝在R上单调递增，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．4．养过蜂的人都知道，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是有母无父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第n代祖先数目如图所示：若用Fn表示一只雄蜂第n代祖先的个数，给出下列结论，其中正确的是（）A．F8+F10＞F11 B．F9+F10＜F8+F11 C．F9+F11＜2F10 D．4F6+F10＞F11【考点】归纳推理．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明；逻辑推理．【答案】B【分析】由题意得F1＝F2＝1，当n≥3时，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2，从而利用此性质，结合作差法对选项一一进行判断，得到答案．【解答】解：由题意得F1＝F2＝1，当n≥3时，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2，A选项，F11＝F10+F9＞F10+F8，A错误；B选项，F9+F10＝F11＜F8+F11，B正确；C选项，F9+F11﹣2F10＝2F9+F10﹣2F10＝2F9﹣F10＝2F9﹣F9﹣F8＝F9﹣F8＞0，故F9+F11＞2F10，C错误；D选项，F11﹣F10﹣4F6＝F9﹣4F6＝F8+F7﹣4F6＝3F6+2F5﹣4F6＝2F5﹣F6＝2F5﹣F5﹣F4＝F5﹣F4＞0，故4F6+F10＜F11，D错误．故选：B．【点评】本题考查归纳推理，考查推理论证能力，属中档题．5．已知球O的一个截面的面积为2π，球心O到该截面的距离比球的半径小1，则球O的表面积为（）A．8π B．9π C．12π D．16π【考点】球的体积和表面积．【专题】对应思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】B【分析】设截面圆的半径为r，球的半径为R，依题意得到且（R﹣1）2+r2＝R2，即可求出R，从而求出球的表面积．【解答】解：依题意设截面圆的半径为r，球的半径为R，∵截面的面积为2π，∴πr2＝2π，得，又（R﹣1）2+r2＝R2，即，解得，∴球O的表面积．故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．6．执行如图所示的程序，输出S的值为（）A．﹣228 B．﹣100 C．﹣64 D．﹣36【考点】程序框图．【专题】计算题；转化思想；综合法；算法和程序框图；数学运算．【答案】B【分析】根据程序框图循环计算即可求得结果．【解答】解：执行程序框图：S＝20，x＝4；S＝12，x＝8；S＝﹣4，x＝16；S＝﹣36，x＝32；S＝﹣100，x＝64＞40；输出S，循环结束，故输出S的值为﹣100．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的语言问题，属基础题．7．在△ABC中，，b＝2c，，则S△ABC＝（）A． B．4 C． D．【考点】正弦定理．【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】利用余弦定理得到c＝2，b＝4，利用同角三角函数基本公式得到，然后利用面积公式求面积即可．【解答】解：，b＝2c，，所以，解得c＝2，b＝4，因为A∈（0，π），所以，．故选：C．【点评】本题主要考查余弦定理，属于基础题．8．已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B﹣A＝45，2A＝B+615，则an＝（）A．3n﹣2 B．3n﹣1 C．3n+1 D．3n+2【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】B【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的性质分析可得d＝3，A＝＝15a15＝660，变形可得a15＝44，由此计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，若等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B﹣A＝45，即15d＝45，则有d＝3；又由2A＝B+615，变形可得A＝B﹣A+615＝45+615＝660，则有A＝＝15a15＝660，解可得a15＝44，则an＝a15+（n﹣15）d＝3n﹣1．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质以及应用，涉及等差数列的求和，属于基础题．9．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．或2【考点】双曲线的性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】B【分析】根据题意可得∠AOF＝30°，从而，再由求解．【解答】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则，所以，故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属基础题．10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为BB1，CC1的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面AB1N，则动点P的轨迹面积为（）A． B．5 C． D．【考点】棱柱的结构特征；轨迹方程．【专题】数形结合；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【答案】C【分析】取AB的中点Q，证明平面MQC∥平面AB1N得动点P的轨迹为△MQC及其内部（挖去点M）．然后计算△MQC的面积即可．【解答】解：取AB的中点Q，连接MQ，CQ，MC，由M，N，Q分别为BB1，CC1，AB的中点可得，MC∥B1N，MC⊄平面AB1N，所以B1N⊂平面AB1N，所以MC∥平面AB1N，同理MQ∥AB1得，MQ∥平面AB1N，又MC∩MQ＝M，MC，MQ⊂平面MNQ，则平面MQC∥平面AB1N，所以动点P的轨迹为△MQC及其内部（挖去点M），在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，Q为AB的中点，则CQ⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，则CQ⊥平面ABB1A1，QM⊂平面ABB1A1，所以CQ⊥QM，因为AB＝4，所以，因为侧棱长是6，所以，所以，则△MQC的面积，故动点P的轨迹面积为．故选：C．【点评】本题考查空间点的轨迹问题，考查逻辑推理能力与运算求解能力，空间点的轨迹几种常见情形：（1）平面内到空间定点的距离等于定长，可结合球面得轨迹；（2）与定点的连线与某平面平行，利用平行平面得点的轨迹；（3）与定点的连线与某直线垂直，利用垂直平面得点的轨迹；（4）与空间定点连线与某直线成等角，可结合圆锥侧面得轨迹．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a+c）（sinA﹣sinC）+bsinB＝asinB，b+2a＝4，，则线段CD长度的最小值为（）A．2 B． C．3 D．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】D【分析】先通过正弦定理得到a2+b2﹣c2＝ab，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解．【解答】解：由（a+c）（sinA﹣sinC）+bsinB＝asinB及正弦定理，得（a+c）（a﹣c）+b2＝ab，即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理得，，∵C∈（0，π），∴．由，，两边平方，得即＝＝＝，当且仅当，即时取等号，即，∴线段CD长度的最小值为．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（2x﹣2）为偶函数，f（x﹣3）+f（﹣x+1）＝0，当x∈[﹣2，﹣1]时，（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＝4．则＝（）A．28 B．32 C．36 D．40【考点】函数奇偶性的性质与判断；抽象函数及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】本题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，根据奇偶性、周期性和对称性即可求值．【解答】解：因为f（2x﹣2）是偶函数，所以f（﹣2x﹣2）＝f（2x﹣2），所以f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2），所以f（x）＝f（﹣x﹣4），所以函数f（x）关于直线x＝﹣2对称，又因为f（x﹣3）+f（﹣x+1）＝0，所以﹣f（x﹣3）＝f（﹣x+1），所以f（x）＝﹣f（﹣x﹣2），所以f（x）关于点（﹣1，0）中心对称，所以函数f（x）的周期为4，因为当x∈[﹣2，﹣1]时，（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＝4，所以，解得a＝2或a＝﹣4（舍）．所以当x∈[﹣2，﹣1]时，，所以f（﹣2）＝4，f（﹣1）＝0，f（﹣3）＝f（﹣1）＝0，f（0）＝﹣f（﹣2）＝﹣4，f（1）＝f（1﹣4）＝f（﹣3）＝0，f（2）＝f（﹣2）＝4，f（3）＝f（﹣1）＝0，f（4）＝f（0）＝﹣4，所以|f（1）|+|f（2）|+|f（3）|+|f（4）|＝8，所以，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．已知函数，则f（f（﹣3））＝．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣3）的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，因为，所以，则．故答案为：．【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．14．在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AD上，且，，则λx﹣y＝．【考点】平面向量的基本定理．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】．【分析】由平面向量共线定理的推论求出λ，再根据平面向量基本定理求出x、y，即可得解．【解答】解：因为点D是BC的中点，所以，，因为E，A，D三点共线，所以，解得，即，所以，又，所以，，所以．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于中档题．15．过直线x+y﹣4＝0上的任意一点M作圆C：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点N（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）到直线AB距离的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．【答案】．【分析】设M（m，n）为直线x+y﹣4＝0上的一点，求出以CM为直径的圆的方程，联立可得AB所在直线方程，写出N到AB距离的最大值，再由三角函数求最值得答案．【解答】解：设M（m，n）为直线x+y﹣4＝0上的一点，则m+n﹣4＝0，过点M作圆C：x2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，则有CA⊥MA，CB⊥MB，则点A，B在以CM为直径的圆上，以CM为直径的圆的圆心为（），半径为r＝|CM|＝，则其方程为，变形可得x2+y2﹣mx﹣ny＝0，联立，可得mx+ny﹣4＝0，又m+n﹣4＝0，∴mx+（4﹣m）y﹣4＝0，变形可得m（x﹣y）+4y﹣4＝0，可知直线AB过定点（1，1），∴点N（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）到直线AB距离的最大值为：＝＝．即点N（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）到直线AB距离的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，若xf'（x）﹣f（x）＝，f（1）＝﹣，且x≥1时，f（xex）≤f（x+lnx﹣a）恒成立，则a的取值范围是[1﹣e，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】[1﹣e，1）．【分析】根据题意构造函数g（x）＝f'（x）＝+e﹣x，则g'（x）＝（）'﹣e﹣x＝，可得f（x）在（0，+∞）上单调递减，题意转化为xex≥x+lnx﹣a＞0，设y＝x+lnx﹣a，显然y＝x+lnx﹣a在定义域内单调递增，当x≥1时，x+lnx﹣a＞0，只需1﹣a＞0，解得a＜1，即xex≥ln（xex）﹣a，构造函数h（t）＝t﹣lnt+a，t∈[e，+∞），求出h（t）的最小值，即可得出答案．【解答】解：∵xf'（x）﹣f（x）＝，∴＝（xex）﹣1，又f（x）＝x•，则f'（x）＝+x•（）'＝+＝+e﹣x，令g（x）＝f'（x）＝+e﹣x，则g'（x）＝（）'﹣e﹣x＝，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当x＝1时，g（x）取得极大值也是最大值，g（1）＝f（1）+＝0，即f'（x）≤0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，又x≥1时，f（xex）≤f（x+lnx﹣a）恒成立，则xex≥x+lnx﹣a＞0，设y＝x+lnx﹣a，显然y＝x+lnx﹣a在定义域内单调递增，∴当x≥1时，x+lnx﹣a＞0，只需1﹣a＞0，解得a＜1，即xex≥ln（xex）﹣a，∴xex﹣ln（xex）+a≥0，令xex＝t，x≥1，则t≥e，转化为t≥e时，t﹣lnt+a≥0，令h（t）＝t﹣lnt+a，t∈[e，+∞），则h'（t）＝1﹣，由h'（t）＞0得t＞e，即h（t）[e，+∞）上单调递增，∴h（t）≥h（e）＝e﹣1+a≥0，解得a≥1﹣e，综上所述，a的取值范围是[1﹣e，1）．故答案为：[1﹣e，1）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三．解答题（共7小题）17．已知数列{an}的前n项和为Sn，当n≥2时，Sn（Sn﹣an+1）＝Sn﹣1．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，数列的前n项和为Tn，若恒成立，求正整数m的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式；等差数列的性质．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）n≥2时，用an＝Sn﹣Sn﹣1代入化简，用等差数列的定义即可证明；（2）用错位相减法求出Tn，不等式可化为恒成立，再用基本不等式求得的最大值，从而可得m的最大值．【解答】证明：（1）由题意知，当n≥2时，Sn（Sn﹣an+1）＝Sn﹣1，所以Sn[（Sn﹣（Sn﹣Sn﹣1））+1]＝Sn﹣1，整理得：SnSn﹣1＝Sn﹣1﹣Sn，即，所以数列是以1为公差的等差数列；（2）解：由，由（1）知是以2为首项、1为公差的等差数列，所以，所以，所以，①所以，②①﹣②得，所以，所以．因为，所以，由于，当且仅当n＝4时等号成立，故正整数m的最大值为8．【点评】本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．18．2022年，随着最低工资标准提高，商品价格上涨，每个家庭的日常消费也随着提高，某社会机构随机调查了200个家庭的日常消费金额并进行了统计整理，得到数据如表：消费金额（千元）[2，3）[3，4）[4，5）[5，6）[6，7）[7，8]人数406040302010（1）求这200个家庭消费金额的平均数及方差s2（同一区间的花费用区间的中点值替代）；（2）通过进一步调查发现这200个家庭中收入不低于5千的有100个家庭，这些家庭成员到商场购物时驻留时间互不相同，通过调查得到如表联表：驻留时间少于1小时驻留时间不少于1小时低于5千7030不低于5千4060能否有99.9%的把握认为家庭成员在商场驻留的时间与家庭收入有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【考点】独立性检验．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）平均数4.3，方差2.06；（2）有99.9%的把握认为家庭成员在商场的驻留时间与家庭收入有关．【分析】（1）根据平均数和方差的公式求解即可；（2）用公式计算出K2的值，再根据临界值分析判断即可．【解答】解：（1）由题意得，+．（2）根据列联表可知：a＝70，b＝30，c＝40，d＝60，a+b＝c+d＝100，a+c＝110，b+d＝90，n＝a+b+c+d＝200，则，所以有99.9%的把握认为家庭成员在商场的驻留时间与家庭收入有关．【点评】本题主要考查独立性检验，考查转化能力，属于中档题．19．如图，四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是全等的矩形，，若P是AA1的中点．（1）求证：平面PB1C1⊥平面PB1C；（2）如果AC＝1，求三棱锥B1﹣A1C1P与多面体ABCPB1的体积比值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）通过证明CP⊥平面PB1C1，即可证明平面PB1C1⊥平面PB1C；（2）分别求出三棱锥B1﹣A1C1P与多面体ABCPB1的体积，即可得出三棱锥B1﹣A1C1P与多面体ABCPB1的体积比值．【解答】（1）证明：因为，所以AC⊥BC，又因为CC1⊥BC，且CC1∩AC＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又CP⊂平面ACC1A1，所以BC⊥CP．，即，所以AC＝AP，所以，同理，所以，即PC1⊥CP．又由于BC∥B1C1，所以B1C1⊥CP，因为PC1∩B1C1＝C1，PC1⊂平面PB1C1，B1C1⊂平面PB1C1，所以CP⊥平面PB1C1，因为CP⊂平面PB1C，所以平面PB1C1⊥平面PB1C．（2）解：由题意及（1）得，几何体ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，，因为，，所以，而，所以．【点评】本题主要考查面面垂直的证明，棱柱体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．20．已知抛物线y2＝2px（x＞0）的焦点F到准线的距离与双曲线的离心率相等．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点P（t，﹣2）在抛物线上，过P作抛物线的两弦PM与PN，若两弦所在直线的斜率之积为﹣4，求证：直线MN过定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】（Ⅰ）y2＝4x．（Ⅱ）直线MN恒过定点（2，2）．【分析】（Ⅰ）根据题意可得双曲线的离心率e＝＝2，则p＝2，即可得出答案．（Ⅱ）设直线PM的斜率为k，直线PN的斜率为，则直线PM的方程为y+2＝k（x﹣t），联立抛物线的方程，解得M点坐标，同理可得N点坐标，写出直线MN的方程，化简，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）因为x2﹣＝1，所以a2＝1，b2＝3，所以c2＝a2+b2＝4，所以c＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2，因为抛物线y2＝2px（x＞0）的焦点F到准线的距离与双曲线的离心率相等，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．（Ⅱ）设直线PM的斜率为k，直线PN的斜率为，直线PM的方程为y+2＝k（x﹣t），联立，得ky2﹣4y﹣8﹣4kt＝0，所以yp+yM＝，所以yM＝﹣yP＝﹣（﹣2）＝+2，所以xM＝＝＝++1，所以M（++1，+2）用﹣代替k，得N（﹣k+1，﹣k+2），所以直线MN的方程为y﹣（+2）＝（x﹣﹣﹣1），所以y﹣（+2）＝（x﹣﹣﹣1），所以y＝x﹣﹣﹣++2，所以y＝x﹣，所以y＝x﹣+﹣，所以y＝（x﹣2）+，所以y＝（x﹣2）+2，所以直线MN恒过定点（2，2）．【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣x﹣ax2，a∈R．（Ⅰ）当a＝时，证明：f（x）≤0；（Ⅱ）若函数H（x）＝f（x）﹣（x﹣1）ex+ax2+x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】（Ⅰ）证明详情见解答．（Ⅱ）（﹣∞，1]．【分析】（Ⅰ）当a＝时，f（x）＝xlnx﹣x﹣，求导分析单调性，求出f（x）max≤0，即可得出答案．（Ⅱ）根据题意可得H′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令p（x）＝，x∈（0，+∞），只需a≤p（x）min，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：当a＝时，f（x）＝xlnx﹣x﹣•x2＝xlnx﹣x﹣，f′（x）＝lnx+x•﹣1﹣＝lnx﹣，令g（x）＝lnx﹣，（x＞0），g′（x）＝﹣＝，所以在（0，）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（）＝ln﹣＝ln﹣1＝ln＞0，当x→0时，g（x）→﹣∞；x→+∞时，g（x）→﹣∞，所以在（0，）上存在x0，使得g（x0）＝0，在（，+∞）上存在x1，使得g（x1）＝0，即lnx1＝，①所以在（0，x0），（x1，+∞）上，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（x0，x1）上，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，由x→0时，f（x）→0；x→+∞时，f（x）→﹣∞，由①方程lnx＝在（，+∞）上的根为函数h（x）＝lnx﹣在（，+∞）上的根，h′（x）＝﹣＝，x∈（，+∞），所以在（，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，又h（e2）＝0，所以x1＝e2，所以f（x）极大值＝f（x1）＝x1lnx1﹣x1﹣x12＝e2lne2﹣e2﹣•（e2）2＝0，所以f（x）≤0．（Ⅱ）函数H（x）＝xlnx﹣x﹣ax2﹣（x﹣1）ex+ax2+x＝ax2+xlnx﹣（x﹣1）ex，若函数H（x）＝f（x）﹣（x﹣1）ex+ax2+x在（0，+∞）上单调递减，则H′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，所以ax+lnx+1﹣xex≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令p（x）＝，x∈（0，+∞），p′（x）＝＝＝，令q（x）＝x2ex+lnx，x∈（0，+∞），q′（x）＝2xex+x2ex+＞0，所以q（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，g（x）→﹣∞；x→+∞时，g（x）→+∞，所以存在x0∈（0，+∞），使得q（x0）＝0，即x02e+lnx0＝0，①所以在（0，x0）上，q（x）＜0，p′（x）＜0，p（x）单调递减，在（x0，+∞）上，q（x）＞0，p′（x）＞0，p（x）单调递增，所以p（x）min＝p（x0）＝＝e﹣，由①得x02e＝﹣lnx0，所以x0e＝﹣lnx0＝（﹣lnx0）•e，令t（x）＝xex（x＞0），t′（x）＝（x+1）ex＞0，所以函数t（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x0＝﹣lnx0，即e＝，所以p（x）min＝﹣＝1，所以a≤1，所以a的取值范围为（﹣∞，1]．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C1的极坐标方程为．（1）求直线C1的一个参数方程；（2）在极坐标系中，方程ρ＝3﹣3sinθ表示曲线C2，若直线C1与曲线C2相交于M，O，N三点，求线段MN的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】转化思想；转化法；坐标系和参数方程；数学运算．【答案】（1）（t为参数）；（2）6．【分析】（1）根据题意得到曲线C1表示过原点，倾斜角为的直线，进而写出一个参数方程；（2）由M，N均在直线C1和曲线C2上，得到，，即可求得MN的长．【解答】解：（1）由直线C1的极坐标方程为，可得曲线C1表示过原点，倾斜角为的直线，此时斜率为，可得曲线C1的一个参数方程为（t为参数）．（2）因为M，N均在直线C1和曲线C2上，所以，，，，故|MN|＝|ρM+ρN|＝6．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．（1）求f（x）≥5的解集；（2）设f（x）的最小值为m，若正数a，b，c满足a+b+c＝m，求ab+ac+bc的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（1）（∪[2，+∞）；（2）．【分析】（1）通过当当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜1时，当x≥1时，去掉绝对值符号，求解不等式即可；（2）求出函数的最小值m，然后转化利用基本不等式，求解即可．【解答】解：（1）当x≤﹣1时，原不等式可化为：﹣（2x﹣2）﹣（x+1）≥5，即﹣3x+1≥5，解得：，∴；当﹣1＜x＜1时，原不等式可化为：﹣（2x﹣2）+（x+1）≥5，即﹣x+3≥5，解得：x≤﹣2，∴无解；当x≥1时，原不等式可化为：2x﹣2+x+1≥5，即3x﹣1≥5，解得：x≥2，∴x≥2，综上可得，f（x）≥5的解集为（∪[2，+∞）；（2），当x≤﹣1时，f（x）∈[4，+∞）；当﹣1＜x＜1时，f（x）∈（2，4）；当x≥1时，f（x）∈[2，+∞）；∴f（x）的最小值m＝2，∴a+b+c＝2，则（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝+2ab+2ac+2bc+2ab+2ac+2bc＝ab+ac+bc+2ab+2ac+2bc＝3（ab+ac+bc），当且仅当时等号成立，即＝，∴ab+ac+bc的最大值为．【点评】本题考查绝对值不等式的求解及用基本不等式求最值等，属于中档题．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．3．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．4．抽象函数及其应用【知识点的认识】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．【解题方法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；【命题方向】抽象函数及其应用．抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．5．函数恒成立问题【知识点的认识】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单【解题方法点拨】一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．解：由题意可知：a≤恒成立即a≤x++2⇒a≤2+2【命题方向】恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．6．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域解：f′（x）＝﹣1＝∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．7．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为（11.8﹣p）万元，政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）故所求函数为y＝（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是减函数∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．8．等差数列的性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．【解题方法点拨】例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．9．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．10．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．11．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．12．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴13．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．14．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．15．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．16．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．17．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．18．复数的运算【知识点的认识】复数的加、减、乘、除运算法则19．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．20．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥＝Sh．21．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体＝3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．22．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．23．轨迹方程【知识点的认识】1．曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时