2024年高考数学终极押题密卷2（新高考Ⅰ）含答案

2024年高考数学终极押题密卷2（新高考Ⅰ）一．选择题（共8小题）1．已知U＝R，A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＞1}，则A∪∁UB＝（）A．{x|1≤x≤4} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2＜x≤3}2．设向量均为单位向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（）A．120种 B．240种 C．360种 D．480种4．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64π的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（）A．48π B．56π C．64π D．72π5．若的展开式中常数项是15，则a＝（）A．2 B．1 C．±1 D．±26．已知等差数列{an}的公差为d，数列{bn}满足，则“d＞0”是“{bn}为递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是（）A． B． C． D．8．已知点F为双曲线C：的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P，∠FPN恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．二．多选题（共3小题）（多选）9．数列的前n项和为Sn，若a1＝1，，则下列结论正确的是（）A．a3＝2 B．S10＝12 C．{Sn}为递增数列 D．{a2n﹣1}为周期数列（多选）10．下列结论中，正确的有（）A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5 B．若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21则P（ξ≤4）＝0.79 C．已知经验回归方程为，且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001（多选）11．已知b＞0，且b≠1，函数f（x）＝ex+bx，其中e为自然对数的底数，则（）A．若该函数为偶函数，则其最小值为 B．函数y＝f（x）的图像经过唯一的定点（0，2） C．若关于x的方程f（x）＝2有且只有一个解，则b＞1或 D．令g（x）＝f（x）﹣2为R上的连续函数，则当0＜b＜1时g（x）至多存在一个零点三．填空题（共3小题）12．某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N（150，σ2），已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为．13．已知数列{an}的通项公式an＝（﹣1）n（n∈N*），则ak＝a1•a2…an的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知两定点A（﹣1，0），B（1，0），则满足d（M，A）+d（M，B）＝4的点M的轨迹所围成的图形面积为．四．解答题（共5小题）15．已知等差数列{an}的公差为2，记数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝0，b2＝2且满足bn+1＝2Sn+an．（1）证明：数列{bn+1}是等比数列；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．16．2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG﹣CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB＝8m，AD＝4m，ED＝CF＝1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA＝GB＝5m，HE＝HF，平面ABG⊥平面ABCD．（Ⅰ）求点H到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．17．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件数（件）121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，则对任意正数ε，均有P（|x﹣μ|≥ε）≤成立．（i）若X，证明：P（0≤X≤25）≤；（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）18．双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点到左、右焦点的距离之差为6．（1）求C的方程；（2）已知A（﹣3，0），B（3，0），过点（5，0）的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x＝﹣2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．已知函数f（x）＝ex+xlnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，证明：f（a）+f（b）＜e+1．

2024年菁优高考数学终极押题密卷2（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知U＝R，A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＞1}，则A∪∁UB＝（）A．{x|1≤x≤4} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2＜x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合；数学抽象．【答案】A【分析】先化简集合A，B，再利用集合的补集和并集运算求解．【解答】解：因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞4或x＜2}，所以∁UB＝{x|2≤x≤4}，A∪（∁UB）＝{x|1≤x≤4}．故选：A．【点评】本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．2．设向量均为单位向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；充分条件与必要条件．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．【答案】B【分析】将两边平方转化为，从而得到与之间的关系．【解答】解：若，则，所以，，所以，满足充分性，若，两边平方得，所以，满足必要性．故选：B．【点评】本题主要考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，属于基础题．3．某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（）A．120种 B．240种 C．360种 D．480种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算．【答案】A【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可．【解答】解：将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种．故选：A．【点评】本题考查排列相关知识，属于基础题．4．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64π的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（）A．48π B．56π C．64π D．72π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】B【分析】根据题意易得陀螺的外接球半径R＝4，球心为圆柱的中心，再利用球的几何性质，分别求出圆柱与圆锥的高，最后根据体积公式，即可求解．【解答】解：根据题意易得陀螺的外接球半径R＝4，球心为圆柱的中心，又圆柱的底面半径r＝，∴球心到圆柱底面距离d＝＝2，∴圆柱的高为2d＝4，圆锥的高为R﹣d＝2，∴该陀螺的体积为＝＝56π．故选：B．【点评】本题考查组合体的外接球问题，圆柱与圆锥的体积的求解，属基础题．5．若的展开式中常数项是15，则a＝（）A．2 B．1 C．±1 D．±2【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算．【答案】C【分析】利用二项展开式的通项化简整理再赋值即可得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：二项展开式通项为，则k＝2时常数项为，所以a＝±1．故选：C．【点评】本题考查了二项式展开式，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题．6．已知等差数列{an}的公差为d，数列{bn}满足，则“d＞0”是“{bn}为递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件；数列的函数特性；等差数列的性质．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】B【分析】由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，等差数列的单调性，得出结论．【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，数列{bn}满足，∴bn＝．若“d＞0”，则等差数列{an}是递增数列，故“{bn}不一定为递减数列”，例如当an为负值时，故充分性不成立．若“{bn}为递减数列”，则由bn＝．可得等差数列{an}一定是递增数列，故必要性成立．综上，“d＞0”是“{bn}为递减数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，等差数列的单调性，属于基础题．7．某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】D【分析】根据题意，由组合数公式计算出从8人中选出4人的情况，进而分两种情况讨论：选出的4人中2男2女，1男3女，再结合古典概型可解．【解答】解：根据题意，从8人中选出4人，有种选法，分2种情况讨论：1．选出的4人中有2名男生和2名女生，有•＝30种选法，2．选出的4人中有1名男生和3名女生，有＝30种选法，则两队中均有男生的概率是＝．故选：D．【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．8．已知点F为双曲线C：的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P，∠FPN恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】A【分析】把∠FPN恒是锐角转化为＞0解决即可．【解答】解：由题意可得c＝＝2，所以F（2，0），设N（x0，0），P（x，y），则＝（2﹣x，﹣y），＝（x0﹣x，﹣y），由∠FPN恒是锐角，得＝（2﹣x）（x0﹣x）+y2＞0，又，∴y2＝，∴不等式可化为：（2﹣x）（x0﹣x）+﹣1＞0，整理得：﹣（x0+2）x+（2x0﹣1）＞0，∴只需Δ＝（x0+2）2﹣＜0，解得2＜x0＜．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）9．数列的前n项和为Sn，若a1＝1，，则下列结论正确的是（）A．a3＝2 B．S10＝12 C．{Sn}为递增数列 D．{a2n﹣1}为周期数列【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【答案】BCD【分析】根据题意，分别求得a1，a2，a3…，得到数列{an}构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解．【解答】解：由题意，数列{an}满足a1＝1，，当n＝1时，a2＝2a1＝2，当n＝2时，，A错误；当n＝3时，a4＝2a3＝1；当n＝4时，，当n＝5时，a6＝2a5＝2，当n＝6时，＝，归纳可得数列{an}是以4为周期的数到，故S10＝a1+a2+a3+…+a9+a10＝2（a1+a2+a3+a4）+a9+a10＝2（1+2+）+1+2＝12，B正确：又由an＞0，故{Sn}递增，C正确；由上述讨论可知，{a2n﹣1}的项为1，，1，…，故是周期数列，D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了数列递推关系在数列项的求解中的应用，属于中档题．（多选）10．下列结论中，正确的有（）A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5 B．若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21则P（ξ≤4）＝0.79 C．已知经验回归方程为，且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001【考点】线性回归方程；独立性检验；命题的真假判断与应用；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】BC【分析】第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：P（ξ≤4）＝1﹣P（ξ≤﹣2）＝0.79，所以选项B正确；，所以选项C正确；此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D错误．【解答】解：数据4，1，6，2，9，5，8整理为1，2，4，5，6，8，9，7×60%＝4.2，则数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，则P（ξ≤4）＝1﹣P（ξ≤﹣2）＝0.79，所以选项B正确；经验回归方程为，且，则，所以选项C正确；根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了百分位数的计算，考查了正态分布曲线的对称性，以及线性回归方程的性质，属于中档题．（多选）11．已知b＞0，且b≠1，函数f（x）＝ex+bx，其中e为自然对数的底数，则（）A．若该函数为偶函数，则其最小值为 B．函数y＝f（x）的图像经过唯一的定点（0，2） C．若关于x的方程f（x）＝2有且只有一个解，则b＞1或 D．令g（x）＝f（x）﹣2为R上的连续函数，则当0＜b＜1时g（x）至多存在一个零点【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质与判断；指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】BC【分析】对于A，由f（﹣1）＝f（1）得，通过举反例即可判断错误；对于B，若y＝f（x）经过定点（x0，y0），那么对任意的b成立，从而x0＝0，由此即可判断；对于C，分b＞1或或这三种情况讨论，结合导数与函数单调性、最值的关系以及零点存在定理即可判断；对于D，由C选项分析过程即可判断．【解答】解：A：若该函数为偶函数，此时由f（﹣1）＝f（1）得，所以得eb＝1，从而，注意到，故A错误；B：显然f（0）＝2，若y＝f（x）经过定点（x0，y0），那么对任意的b成立，从而与b无关，这意味着x0＝0，故，故B正确；C：显然f（0）＝2，所以f（x）＝2必有一解x＝0，若b＞1，则f（x）单调递增，从而一定是唯一解，若，则，当且仅当x＝0时等号成立，所以一定是唯一解，如果，则f′（x）＝ex+bxlnb单调递增，且有唯一零点，由于f′（0）＝1+lnb≠0，所以u≠0，而f（x）在（﹣∞，u）递减，在（u，+∞）递增，且u≠0，所以f（u）＜f（0）＝2，若u＜0，则由，可知f（x）＝2在上还有一根t，且t＜u＜0，故t≠0，若u＞0，则由f（ln2+|u|）＞eln2+|u|＞eln2＝2，ln2+|u|＞|u|≥u，可知f（x）＝2在（ln2+|u|，u）上还有一根t，且t＞u＞0，故t≠0．无论怎样，f（x）＝2都有一个不等于0的根t，从而解不唯一，故C正确；D：根据C选项的过程，如果0＜b＜1且，那么f（x）＝2一定有两个根x＝0和x＝t，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查函数奇偶性与单调性的应用，属难题．三．填空题（共3小题）12．某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N（150，σ2），已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为450人．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】450人．【分析】先求出P（X＞170）＝＝0.2，再利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：由题意可知，P（X＞170）＝＝0.2，又因为X～N（150，σ2），所以P（130≤X≤150）＝P（150≤X≤170）＝0.5﹣P（X＞170）＝0.5﹣0.2＝0.3，所以可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为0.3×1500＝450人．故答案为：450人．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．13．已知数列{an}的通项公式an＝（﹣1）n（n∈N*），则ak＝a1•a2…an的最小值为．【考点】数列的函数特性．【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【答案】．【分析】根据题意，判断出当n≥4时，|ak|随n的增大而减小，然后比较与的大小，可求得ak的最小值．【解答】解：根据题意，可得a1＝＝﹣2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，…，＝a1•a2＝，＝a1•a2•a3•a4•a5＝，＜，当n≥4时，|an|＝，所以当n≥4时，ak＝a1•a2…an的绝对值随n的增大而减小，所以＝是绝对值最大的负数项，故ak的最小值为＝．故答案为：．【点评】本题主要考查数列的概念、用函数的观点研究数列等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．14．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知两定点A（﹣1，0），B（1，0），则满足d（M，A）+d（M，B）＝4的点M的轨迹所围成的图形面积为6．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】6．【分析】利用已知条件，求解轨迹方程，然后画出图形即可求解面积．【解答】解：设M（x，y），由题意d（M，A）+d（M，B）＝4，可知|x+1|+|x﹣1|+2|y|＝4，轨迹方程的图形如图，图形的面积为：4+2×＝6．故答案为：6．【点评】本题考查轨迹方程的求法，图形的画法，面积的求法，是中档题．四．解答题（共5小题）15．已知等差数列{an}的公差为2，记数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝0，b2＝2且满足bn+1＝2Sn+an．（1）证明：数列{bn+1}是等比数列；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【答案】（1）详见解答过程；（2）．【分析】（1）把已知和与项的递推关系转化为项与项的递推，然后结合等比数列的通项公式即可证明；（2）利用错位相减求和，结合等比数列的求和公式及分组求和即可求解．【解答】证明：（1）n≥2时，bn+1﹣bn＝2（Sn﹣Sn﹣1）+an﹣an﹣1＝2bn+2，即bn+1＝3bn+2．又b1＝0，b2＝2，所以n≥1时，bn+1＝3bn+2，即bn+1+1＝3（bn+1）．又b1+1＝1≠0，所以bn+1≠0，所以，所以数列{bn+1}成等比数列．解：（2）由（1）得．由b2＝2b1+a1可得a1＝2，因为公差d＝2，由等差数列的通项公式可得，an＝2n，所以，所以Tn＝2（1•30+2•31+3•32+⋯+n•3n﹣1）﹣2（1+2+3+…+n），即．令M＝1•30+2•31+3•32+⋯+n•3n﹣1，则3M＝1•31+2•32+3•33+⋯+n•3n，两式相减得，，所以．【点评】本题主要考查了等比数列的定义在等比数列判断中的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．16．2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG﹣CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB＝8m，AD＝4m，ED＝CF＝1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA＝GB＝5m，HE＝HF，平面ABG⊥平面ABCD．（Ⅰ）求点H到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）．【分析】（I）取AB，CD的中点M，N，连接GM，MN，HN，利用已知条件结合平行的性质及判定定理即可证明四边形AGHE为平行四边形，则GH＝AE，然后利用题中所给数据计算即可；（Ⅱ）建系，利用空间向量与空间角的关系即可求解．【解答】解：（I）如图，取AB，CD的中点M，N，连接GM，MN，HN，则由题GM⊥平面ABCD，HN⊥平面ABCD，因为ED⊥平面ABCD，所以ED∥HN，又MN∥AD，AD∩DE＝D，MN∩HN＝N，所以平面ADE∥平面GMNH，又平面AEHG分别交平面ADE和平面GMNH于AE，GH，所以AE∥GH，易知GM∥HN，又AB∥CD，AB∩GM＝M，CD∩HN＝N，所以平面ABG∥平面CDEHF，又平面AEHG分别交平面ABG和平面CDEHF于AG，EH，所以AG∥EH，所以四边形AGHE为平行四边形，所以GH＝AE，因为，所以，在Rt△AMG中，，在直角梯形GMNH中，过G作GQ⊥HN于Q，则GQ＝MN＝4，，QN＝GM＝3，所以，因为HN⊥平面ABCD，所以点H到平面ABCD的距离为4；（II）由（I）以N为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，﹣4，1），F（0，4，1），G（4，0，3），H（0，0，4），设平面BFHG的法向量是，则即令z＝4，可得，设平面AGHE的法向量是，则即令c＝4，可得，所以＝，所以平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查空间中的线面位置关系及空间向量的应用，属于中档题．17．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件数（件）121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，则对任意正数ε，均有P（|x﹣μ|≥ε）≤成立．（i）若X，证明：P（0≤X≤25）≤；（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）不可信．【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可；（2）（i）由X～B，求出E（X）＝50，D（X）＝25，再结合切比雪夫不等式即可证明；（i）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X，X～B（100，0.9），由切比雪夫不等式判断出，进而可得出结论．【解答】解：（1）记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到两个合格品，则，∴＝＝，即从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，则另一件也为合格品的概率为．（2）（i）证明：由题：若，则E（X）＝50，D（X）＝25，又，∴或，由切比雪夫不等式可知，，∴；（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X，假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则X～B（100，0.9），∴E（X）＝90，D（X）＝9，由切比雪夫不等式知，，即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．【点评】本题主要考查条件概率的求法，二项分布的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．18．双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点到左、右焦点的距离之差为6．（1）求C的方程；（2）已知A（﹣3，0），B（3，0），过点（5，0）的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x＝﹣2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的性质．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）；（2）是定值，定值为．【分析】（1）由题意，根据题目所给信息列出等式求出a和b的值，进而可得C的方程；（2）对直线l是否垂直于x轴进行讨论，设出直线l的方程和M，N两点的坐标，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到，，推出直线AM和BN的方程，将两直线方程联立，解得点P在定直线上，进而即可求解．【解答】解：（1）因为双曲线C上一点到左、右焦点的距离之差为6，所以，解得a＝3，b＝1，则C的方程为；（2）当直线l垂直于x轴时，可得直线l的方程为x＝5，因为过点（5，0）的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，解得y＝±，不妨令M（5，），N（5，﹣），易得直线MA的方程为y＝，直线NB的方程为y＝﹣，联立，解得xP＝，则点P到直线x＝﹣2的距离d＝﹣（﹣2）＝；当直线l的斜率存在时，不妨设直线l的方程为x＝my+5，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去x并整理得（m2﹣9）y2+10my+16＝0，此时满足m2﹣9≠0，由韦达定理得，，所以直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，消去y并整理得＝＝，解得，所以点P在定直线上，因为直线与直线x＝﹣2之间的距离为，综上得，点P到直线x＝﹣2的距离为定值，定值为．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）＝ex+xlnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，证明：f（a）+f（b）＜e+1．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】转化思想；分析法；综合法；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）（e+1）x﹣y﹣1＝0；（2）证明过程见解答．【分析】（1）对f（x）求导，求出切线的斜率，再求出切线方程即可；（2）要证明f（a）+f（b）＜e+1，只需证ecosx+cosx•ln（cosx）+esinx+sinx•ln（sinx）＜e+1，构造函数g（x）＝x﹣lnx﹣1，进一步证明结论即可．【解答】解：（1）由f（x）＝ex+xlnx，得f'（x）＝ex+lnx+1，f（1）＝e，则f（x）在点（1，f（1））处的切线切线斜率k＝f'（1）＝e+1．∴切线方程为（e+1）x﹣y﹣1＝0．（2）证明：由a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，设a＝cosx，b＝sinx，，则证明f（a）+f（b）＜e+1⇔f（cosx）+f（sinx）＜e+1，，即证ecosx+cosx•ln（cosx）+esinx+sinx•ln（sinx）＜e+1．令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则，当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减，∴g（cosx）＞g（1）＝0，g（sinx）＞g（1）＝0，∴ln（cosx）＜cosx﹣1，ln（sinx）＜sinx﹣1，则ecosx+cosx•ln（cosx）+esinx+sinx•ln（sinx）＜ecosx+exinx﹣cosx﹣sinx+1．要证ecosx+cosx•ln（cosx）+esinx+sinx•ln（sinx）＜e+1，只需证ecosx+esinx﹣cosx﹣sinx＜e．令h（x）＝ecosx+esinx﹣cosx﹣sinx，则．令h'（x）＝0，则．令，x∈（0，1），则令m（x）＝（x﹣1）ex+1，x∈（0，1），则m'（x）＝xex＞0在（0，1）上恒成立，则m（x）＞m（0）＝0，则φ'（x）＞0在（0，1）上恒成立，则φ（x）单调递增．当时，sinx＞cosx，则φ（sinx）＞φ（cosx），∴h'（x）＞0，此时h（x）单调递增；当时，sinx＜cosx，则φ（sinx）＜φ（cosx），∴h'（x）＜0，此时h（x）单调递减．∵，∴h（x）＜e，即ecosx+esinx﹣cosx﹣sinx＜e在上恒成立，∴f（a）+f（b）＜e+1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属难题．

考点卡片1．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．2．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．4．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．5．指数函数的单调性与特殊点【知识点的认识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．6．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．7．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn＝＝（q≠1）3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【解题方法点拨】典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2＝，∵不等式an≥a4恒成立，∴，解得﹣9≤k≤﹣7，故选：B．典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（）A．310B．212C．180D．121解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，其前n项和为Sn＝，∴＝，＝1，＝，＝，∵数列{}也为等差数列，∴＝+，∴＝1+，解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，＝（2n﹣1）2，∴＝＝，由于为单调递减数列，∴≤＝112＝121，故选：D．8．等差数列的性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．【解题方法点拨】例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．9．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．10．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．11．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．12．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．13．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．14．数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识点的认识】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．【解题方法点拨】例：与向量，垂直的向量可能为（）A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；故选：C．点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．【命题方向】向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．15．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥＝Sh．16．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体＝3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．17．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣．18．点、线、面间的距离计算【知识点的认识】19．轨迹方程【知识点的认识】1．曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．2．求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【解题方法点拨】（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．（4）待定系数法（5）参数法（6）交轨法．20．双曲线的性质【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±＝0±＝021．直线与双曲线的综合【知识点的认识】直线与双曲线的位置判断：将直线方程与双曲线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与双曲线相交⇔Δ＞0；直线与双曲线相切⇔Δ＝0；直线与双曲线相离⇔Δ＜0；直线与双曲线的位置关系只有三种，不可能出现有多个解，因为直线与双曲线的交点个数最多有2个．值得注意的是，当直线方程和双曲线方程联立后，如果得到一元一次方程，说明此时直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线相交，且只有一个交点．【解题方法点拨】（1）直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：①直线平行渐近线；②直线与双曲线相切．（2）弦长的求法设直线与双曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝＝（k为直线斜率）注意：利用公式计算直线被双曲线截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．【命题方向】双曲线知识通常与圆、椭圆、抛物线或数列、向量及不等式、三角函数相联系，综合考查数学知识及应用是高考的重点，应用中应注意对知识的综合及分析能力，双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．22．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．23．离散型随机变量的期望与方差【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．24．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值；（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.6826＝0.1587．故选B．题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜