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文档简介
平谷区2023—2024学年度第二学期高三年级质量监控数学试卷2024.3注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.共150分,考试时间为120分钟.2.试题所有答案必须书写在答题纸上,在试卷上作答无效.3.考试结束后,将答题纸交回,试卷按学校要求保存好.第Ⅰ卷选择题(共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分;在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意,请将正确选项填涂在答题卡上.)1.已知集合,,则=A. B.C. D.2.已知复数,则=A. B.5 C.3 D.3.在的展开式中,的系数为A.10 B.10 C.80 D.804.下列函数中,在区间上单调递减的是A. B.C. D.5.在中,“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知抛物线C:的焦点为F,O是坐标原点,点M在C上.若,则=A. B. C. D.47.已知等差数列和等比数列,,,,,则满足的数值mA、有且仅有1个值 B.有且仅有2个值 C.有且仅有3个值 D.有无数多个值8.一个边长为10cm的正方形铁片,把图中所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,则这个容器侧面与底面的夹角正切值为A. B. C. D.9.已知,,P是曲线上一个动点,则的最大值是A.2 B. C. D.10.设点,动直线l:,作AM⊥l于点M,则点M到坐标原点O距离的最小值为A.1 B. C. D.第Ⅱ卷非选择题(共110分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请把答案填在答题卡中相应题中横线上.11.函数的定义域是______12.已知双曲线C:的左、右焦点分别为,,并且经过点,则=______;双曲线C的渐近线方程为______13.设,.若对任意的实数x都有,则满足条件的φ所有可能的取值为______.14.若的面积为,且∠C为钝角,则∠A=______;的取值范围是______.15.已知函数,设.给出下列四个结论:①当时,不存在最小值;②当时,在为增函数;③当时,存在实数b,使得有三个零点;④当时,存在实数b,使得有三个零点.其中正确结论的序号是______.三、解答题(本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.(本小题13分)已知函数,其中.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件,使存在,并完成下列两个问题.(Ⅰ)求φ的值;(Ⅱ)若,函数在区间上最小值为,求实数m的取值范围.条件①:对任意的,都有成立;条件②:;条件③:.注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.17.(本小题14分)如图,在三棱柱中,侧面和均为正方形,,平面⊥平面,点M是的中点,N为线段AC上的动点;(Ⅰ)若直线平面BCM,求证:N为线段AC的中点;(Ⅱ)若直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.18.(本小题13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.顾客人数商品甲乙丙丁100××√217√××200√√√×250√×√×100×××√133×√×(Ⅰ)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率;(Ⅱ)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)19.(本小题15分)已知椭圆E:过点,离心率为.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A,B,直线l交直线于点P,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,直线AQ交x轴于C,直线BQ交x轴于D,求证:点F为线段CD的中点.20.(本小题15分)设函数,曲线在点处的切线斜率为1.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)设函数,求的单调区间;(Ⅲ)求证:.21.(本小题15分)已知是无穷数列,对于k,,给出三个性质:①(n=1,2,…);②(n=1,2,…);③(n=1,2,…)(Ⅰ)当时,若(n=1,2,…),直接写出m的一个值,使数列满足性质②,若满足求出k的值;(Ⅱ)若和时,数列同时满足条件②③,证明:是等差数列;(Ⅲ)当,时,数列同时满足条件①③,求证:数列为常数列.平谷区2023—2024学年度第二学期质量监控试卷数学参考答案一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)(1)B(2)D(3)A(4)C(5)B(6)A(7)A(8)B(9)D(10)C二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)(11) (12)2,(13), (14),(15)②④三、解答题(共6小题,共85分)(16)(本小题13分)解:因为,所以.(Ⅰ)选择条件①:对任意的,都有成立,所以为函数最大值,得,.解得,又因为,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当时,.因为在上单调递增,在单调递减,且,所以,解得,实数m的取值范围是.(Ⅰ)选择条件③:因为,,所以为函数最大值,为函数最小值,以下解法同选择条件①.(17)(本小题14分)解:(1)在中,过点N作交BC于点Q,连接QM.因为,所以,所以,N,Q,M四点共面.因为直线平面BCM,平面,平面BCM平面,所以.所以四边形是平行四边形.所以.所以F为PD的中点.(Ⅱ)因为侧面为正方形,所以,又因平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以,,又因为正方形,,以B为原点,BA,,BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图).设,所以,,,,,,则所以,.设平面的一个法向量为,由得即.取,得.设,则.设,则,因为,所以.所以,,,所以N点坐标为.因为,所以设直线与平面CDE所成角为θ,则,解得,所以,即线段的长为.(18)(本小题13分)解:(Ⅰ)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有417位顾客同时购买了甲、乙两种商品,所以顾客只购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为.(Ⅱ)设事件A:顾客购买了两种商品,事件B:顾客个购买一种商品,事件C:顾客购买了三种商品.从统计表可以看出,可估计为,可估计为,可估计为.依题意,在随机抽取4名顾客中,求恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客个购买一种商品,一名顾客购买了三种商品的概率为.因此所求的概率可估计为0.1176.(Ⅲ)该顾客购买丙的可能性最大.(19)(本小题15分)解:(Ⅰ)由题意得解得,.所以椭圆E的方程是.(Ⅱ)椭圆E的右焦点F的坐标为,由题意,设直线l的方程为.,整理得.设直线l交椭圆W于点,,则,.由直线l的方程,令,解得,所以,.所以直线AQ的方程为,.令,解得,所以.直线BQ的方程为,.令,解得,所以..由于,.则所以线段CD的中点为F.(20)(本小题15分)解:(1).因为.所以,解得.(Ⅱ)因为,的定义域为令,得.与在区间上的情况如下:x00+↘极小↗所以在的单调递减区间为,单调递增区间为.(Ⅲ)由(Ⅱ)得,在时,取得最小值1,所以恒成立,所以在为增函数,又因为,当时,,所以;当时,,所以.所以.(21)(本小题15分)解:(Ⅰ);(Ⅱ)若时,数列满足条件②,得,数列满足条件③,得,得两式相加若时,数列满足条件②,得,数列满足条件③,得,得两式相加由知,,,代入得得,其中,所以,,,…是等差数列
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