北京市平谷区2023-2024学年高三下学期3月质量监控试题（零模）数学

平谷区2023—2024学年度第二学期高三年级质量监控数学试卷2024．3注意事项1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．共150分，考试时间为120分钟．2．试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效．3．考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好．第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．）1．已知集合，，则=A． B．C． D．2．已知复数，则=A． B．5 C．3 D．3．在的展开式中，的系数为A．10 B．10 C．80 D．804．下列函数中，在区间上单调递减的是A． B．C． D．5．在中，“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线C：的焦点为F，O是坐标原点，点M在C上．若，则=A． B． C． D．47．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值mA、有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值8．一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为A． B． C． D．9．已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是A．2 B． C． D．10．设点，动直线l：，作AM⊥l于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为A．1 B． C． D．第Ⅱ卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上．11．函数的定义域是______12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则=______；双曲线C的渐近线方程为______13．设，．若对任意的实数x都有，则满足条件的φ所有可能的取值为______．14．若的面积为，且∠C为钝角，则∠A=______；的取值范围是______．15．已知函数，设．给出下列四个结论：①当时，不存在最小值；②当时，在为增函数；③当时，存在实数b，使得有三个零点；④当时，存在实数b，使得有三个零点．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题13分）已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）若，函数在区间上最小值为，求实数m的取值范围．条件①：对任意的，都有成立；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．（本小题14分）如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点；（Ⅰ）若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．18．（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．顾客人数商品甲乙丙丁100××√217√××200√√√×250√×√×100×××√133×√×（Ⅰ）试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；（Ⅱ）假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）19．（本小题15分）已知椭圆E：过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．20．（本小题15分）设函数，曲线在点处的切线斜率为1．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设函数，求的单调区间；（Ⅲ）求证：．21．（本小题15分）已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质：①（n=1，2，…）；②（n=1，2，…）；③（n=1，2，…）（Ⅰ）当时，若（n=1，2，…），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出k的值；（Ⅱ）若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；（Ⅲ）当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．平谷区2023—2024学年度第二学期质量监控试卷数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）D（3）A（4）C（5）B（6）A（7）A（8）B（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）2，（13）， （14），（15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：因为，所以．（Ⅰ）选择条件①：对任意的，都有成立，所以为函数最大值，得，．解得，又因为，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，．因为在上单调递增，在单调递减，且，所以，解得，实数m的取值范围是．（Ⅰ）选择条件③：因为，，所以为函数最大值，为函数最小值，以下解法同选择条件①．（17）（本小题14分）解：（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM．因为，所以，所以，N，Q，M四点共面．因为直线平面BCM，平面，平面BCM平面，所以．所以四边形是平行四边形．所以．所以F为PD的中点．（Ⅱ）因为侧面为正方形，所以，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，，又因为正方形，，以B为原点，BA，，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图）．设，所以，，，，，，则所以，．设平面的一个法向量为，由得即．取，得．设，则．设，则，因为，所以．所以，，，所以N点坐标为．因为，所以设直线与平面CDE所成角为θ，则，解得，所以，即线段的长为．（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有417位顾客同时购买了甲、乙两种商品，所以顾客只购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为．（Ⅱ）设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客个购买一种商品，事件C：顾客购买了三种商品．从统计表可以看出，可估计为，可估计为，可估计为．依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为．因此所求的概率可估计为0.1176．（Ⅲ）该顾客购买丙的可能性最大．（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得解得，．所以椭圆E的方程是．（Ⅱ）椭圆E的右焦点F的坐标为，由题意，设直线l的方程为．，整理得．设直线l交椭圆W于点，，则，．由直线l的方程，令，解得，所以，．所以直线AQ的方程为，．令，解得，所以．直线BQ的方程为，．令，解得，所以．．由于，．则所以线段CD的中点为F．（20）（本小题15分）解：（1）．因为．所以，解得．（Ⅱ）因为，的定义域为令，得．与在区间上的情况如下：x00+↘极小↗所以在的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，在时，取得最小值1，所以恒成立，所以在为增函数，又因为，当时，，所以；当时，，所以．所以．（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）；（Ⅱ）若时，数列满足条件②，得，数列满足条件③，得，得两式相加若时，数列满足条件②，得，数列满足条件③，得，得两式相加由知，，，代入得得，其中，所以，，，…是等差数列