03 不含参数的极值点偏移问题-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册极值点偏移专题

专题03不含参数的极值点偏移问题函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数．1.已知函数，如果，且．证明：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用导数，求得函数的单调性，由，化简得，令，整理得，进而得到，转化为证明：，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，当时，；当时，，可得函数在上单调递增，在上单调递减，因为，得，化简得…①，不妨设，可得，令，则，代入①式，可得，解得，则，故要证，即证，又因为，等价于证明：…②，构造函数，则，故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，即证②式成立，也即原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．2.已知函数，证明：当时，．【答案】证明见解析.【解析】【分析】通过证明，来求证令，讨论的单调性和最值，以此来证明【详解】，所以当时，，在上单调递增，当时，在上单调递减．当时，由于，所以；同理，当时，．当时，不妨设，由函数单调性知．下面证明：，即证：，此不等式等价于．令，则，当时，，单调递减，从而，即，所以，而，所以，又，从而f．由于，且在上单调递增，所以，即证．【点睛】本题考查导数的极值点偏移问题，属于难题四、招式演练：3.已知（1）若，求的最大值；（2）若有两个不同的极值点，，证明:.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，对函数求导，判断出函数的单调性，进而可得函数的最大值；（2）对函数求导，则，即为方程的两个不同的正根，表示出，将韦达定理代入化简，并利用构造新函数判断单调性和最值的方法证得命题成立．【详解】（1）当时，，所以，则在上是单调递减函数，且有，当时，，即为上的增函数，当时，，即为上的减函数，所以.（2）证明：由题意知：由，则，即为方程的两个不同的正根，故而需满足：，解得，所以令，，令，所以；则为上的减函数，且，所以当时，，即为上的增函数；当时，，即为上的减函数，所以，所以，证毕.【点睛】本题考查导数证明不等式问题，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．4.已知函数，若有两个不同的极值点，，且.（1）求实数的取值范围；（2）证明：；（3）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）转化为为方程的两个不同实根，构造函数，利用导数可求得结果；（2）根据（1）知，在上递减，要证，只需证，构造函数，，利用导数证明即可得证；（3）先利用导数证明不等式在上成立，所以，，令，令为方程，即的两个实根，根据，，可得，结合韦达定理可证不等式成立.【详解】（1），则为方程，即的两个不同实根，令，，令，得，令，得，则在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值为，所以，且，（2）要证，因为在上递减，所以只需证，即，即要证，由（1）知，所以，令，，则，令，，则为上的增函数，所以，所以为上的增函数，所以，即在上恒成立，所以在上为增函数，所以，即，所以.（3）令，，则，，因为为上的增函数，所以，所以为上的增函数，所以，所以为上的增函数，所以，所以不等式在上成立，所以，且在上递增，上递减，令为方程，即的两个实根，，其中.由图可知，，即，所以，得证.【点睛】本题考查了根据函数的极值点个数求参数的取值范围，考查了转化化归思想，考查了数形结合思想，考查了构造函数解决导数问题，考查了利用导数证明不等式，属于难题.5.已知函数有两个零点.（1）求实数的取值范围；（2）设、是的两个零点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）令可得出，构造函数，可得出直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；（2）依题意，设，有，构造函数利用导数研究可得，结合，即可得证.【详解】（1），当时，令，可得，令，其中，则，令，可得，列表如下：单调递减单调递减极小值单调递增所以，函数的极小值为，当时，，当时，，如下图所示：由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，综上所述，实数的取值范围是；（2）由（1）中的图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，且一个交点的横坐标为正、另一个交点的横坐标为负，即当时，函数有两个零点，一个零点为正、另一个零点为负，设函数的两个零点分别为、，不妨设，有.由，令，则，所以函数在上单调递增，所以，.又，所以，即.当且时，，则函数在区间上单调递增，又，，所以，所以.又，所以，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查分类讨论思想及推理论证能力，属于中档题.6.已知函数.（1）若，求函数的单调递增区间；（2）设，是的两个不相等的正实数解，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导数，令，解出不等式即可；（2）依题意可知，是的两个不相等的正实数解，可建立不等式求出的取值范围，在利用韦达定理将化为关于的函数，再构造函数，利用导数即可证明.【详解】（1）依题意，，，，令，故，解得，故函数的单调递增区间为.（2）依题意，，所以，是的两个不相等的正实数解；则，解得，，令，，，则，∴在上单调递减.∴，即.【点睛】本题考查利用导数求单调区间，考查利用导数证明不等式，属于较难题.7.已知函数.（1）求的单调增区间和极值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明.【答案】（1）的单调增区间为，在处取得极小值，无极大值；（2），证明详见解析.【解析】【分析】（1）求函数的导数，令导函数大于0可求得单调递增区间，小于0可求得单调递减区间，从而求得极值.；（2）在（1）和题设条件使得到极小值小于0得到的范围，然后再证明在0的两端都有大于0的函数值即可，同时也找到了两个零点的范围.【详解】（1）由题意可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.故的单调增区间为，在处取得极小值，无极大值.（2）由（Ⅰ）可知在上单调递减，在上单调递增，，若有两个零点，必有，即.检验当时，函数有两个零点.由于，，，则根据函数的零点存在性定理知存在唯一，使得；，令，则，当时，，单调递增，所以，因此.又因为，，所以根据函数的零点存在性定理知存在唯一，使得.所以当时，函数有两个零点.因为，所以，即成立.【点睛】本题考查了导数在函数中的综合应用，函数的单调性以及零点的判断，考查了逻辑推理能力与计算能力.8.已知函数，．（1）讨论函数极值点的个数；（2）若函数有两个极值点，，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，研究在上解的个数，由的正负确定的单调性，确定极值点个数；（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，且，．计算并转化为关于的函数，然后求出函数的单调性证明结论成立．【详解】解：（1），．当时，，在单调递增，没有极值点；当时，令，时，或，设当时，方程的两根为，，且．若，则，注意到，，知的两根，满足．当，，，单增；当，，，单减，所以只有一个极值点；若，则，，即恒成立，在单调递增，所以没有极值点；若，则，注意到，，知的两根，满足．当，，，单增；当，，，单减；当，，，单增；所以有两个极值点．综上：当时，有一个极值点；当时，没有极值点；当时，有两个极值点．（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，且，．所以，，令，．则，所以在单调递减，所以，所以．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值问题，证明有关极值点的不等式，证明有关极值点不等式的关键是问题的转化，利用极值点与题中参数关系，把问题转化为关于参数的函数，转化为确定函数的单调性．9.已知函数，其中，.（1）当时，在上是单调函数，求的取值范围；（2）若的极值点为，且，求证：.【答案】（1）或；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）在上是单调函数，利用其导数在此区间内的函数值恒正或恒负即可求的范围；（2）由极值点的导函数为0，有即得，又知，即可证；【详解】（1）当时，，故，，令，则由题意，若有对称轴，在上恒正或恒负即可，∴或，解得：或；（2）由题意：且，又的极值点为，且，∴，即，故有，而知：，有即知：，∴，即得证.【点睛】本题考查了利用导函数研究函数的单调性，并由单调性恒正或恒负求参数范围，以及根据零点与导数的关系、已知等量关系证明不等关系；10.已知函数.（，，e是自然对数的底数）（1）若，当时，，求实数a的取值范围；（2）若，存在两个极值点，，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将代入，得，再按及讨论即可得解；（2）将代入，得，由题意可得，不妨设，则，运用导数并结合第一小问的结论即可得证．【详解】（1）当，则，当时，，在，上单调递增，；当时，在上单调递减，在上单调递增，则，不成立，实数的取值范围为．（2）证明：当时，，函数存在两个极值点，，即，由题意知，，为方程的两根，故，不妨设，则，，由（1）知，当，即（当且仅当时取等号），当时，恒有，，又，令，则，函数在上单调递增，（1），从而，综上可得：．【点睛】本题考查导数的综合运用，考查恒成立问题及不等式的证明问题，涉及了分类讨思想、转化思想及放缩思维，属于难题．11.已知函数，(a，b∈R)（1）当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；（2）当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x1<x2)，求证：x1+x2>2.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；（2）对，，都成立，则对，，，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；（3）由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数证明即可．【详解】（1）当时，时，，当时，，，当时，，曲线在处的切线方程为；（2）当时，对，，都成立，则对，，恒成立，令，则．令，则，当，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，，，的取值范围为；（3）当，时，由，得，方程有两个不同的实数解，，令，则，，令，则，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，，，又，（1），，，只要证明，就能得到，即只要证明，令，则，在上单调递减，则，，，，，即，证毕．【点睛】本题主要考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．12.已知函数，.（1）判断函数在区间上的零点的个数；（2）记函数在区间上的两个极值点分别为，，求证：.【答案】（1）2个；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，然后再结合零点判定理即可求解；（2）结合极值存在的条件及正弦与正切函数的性质进行分析可证．【详解】（1），，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，且，，，，，故函数在，上不存在零点，存在，使得，同理使得综上，在区间上的零点有2个.（2），由（1）可得，在区间，上存在零点，所以在，上存在极值点，，，因为在上单调递减，则，

，又因为，即，又，即，，，，，由在上单调递增可得．再由在上单调递减，得，，所以．【点睛】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性，最值与零点，同时考查了正弦函数与正切函数的性质，试题具有一定的综合性，属于难题．13.已知函数．若在上不单调，求a的取值范围；当时，记的两个零点是，.①求的取值范围；②证明：．【答案】；①；②证明见解析.【解析】【分析】先对函数求导整理得出，结合研究的区间，对的范围进行讨论，结合函数在某个区间上不单调的条件，即既有增区间，又有减区间，即在区间上存在极值点，得到结果；①将函数在区间上有两个零点转化为方程有两个解，构造新函数，利用导数求得结果；②结合①，求得两个零点所属的区间，利用不等式的性质证得结果.【详解】解：因为，所以，当，即时，可知在上恒成立，即在上单调递增，不合题意，当，即时，可知时，单调递减，当时，，单调递增，所以满足在上不单调，所以的取值范围是.①令，得，即有两个解，令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，当时，，且，所以当时，记的两个零点，时，的取值范围是；②证明：由①知，所以，所以【点睛】本题考查函数在某个区间上不单调求参数的取值范围，利用导数结合函数的零点的个数求参数的取值范围，利用导数证明不等式，考查分析问题能力，运算能力，属于难题.14.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，．且不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得，对的范围分类，即可解不等式，从而求得函数的单调区间，问题得解.（2）由题可得：，由它有两个极值点，可得：有两个不同的正根，从而求得及，将恒成立转化成：恒成立，记：，利用导数即可求得：，问题得解.【详解】（1）因为，所以，则①当时，是常数函数，不具备单调性；②当时，由；由．故此时在单调递增，在单调递减③当时，由；由．故此时在单调递减，在单调递增．（2）因为所以，由题意可得：有两个不同的正根，即有两个不同的正根，则，不等式恒成立等价于恒成立又所以，令（），则，所以在上单调递减，所以所以．【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及极值知识，考查了转化能力及函数思想，还考查了利用导数求函数值的取值范围问题，考查计算能力，属于难题.15.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数在，上的最大值；（Ⅲ）若存在，，使得，证明：．【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求导，再令解得，从而由导数的正负确定函数的单调区间；（Ⅱ）讨论与，的关系，从而确定函数的单调性，由单调性确定函数的最大值即可；（Ⅲ）可判断出，，（e），；从而可得，，从而证明．【详解】解：（Ⅰ）函数，，令，解得，当时，，此时在上单调递增，当时，，此时在，上单调递减，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知，需讨论与，的关系：①当，，即，时，在，上的最大值为；②当，即，时，由的单调性可知，在，上的最大值为；③当，即时，由的单调性可知，在，上的最大值为；综上所述，当，时，在，上的最大值为；当，时，在，上的最大值为；当时，在，上的最大值为；（Ⅲ）证明：，，，；，（e），；，，故．【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法，同时考查了零点的判断与应用，属于难题．16.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点、，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调性；（2）由韦达定理得出，将所证不等式转化为证明不等式，令，可得出要证不等式，构造函数，利用导数证明出对任意的恒成立即可.【详解】（1）函数的定义域为，.令，.①当时，即当时，对任意的，，则，此时，函数在上单调递增；②当时，即当时，方程有两个不等的实根，设为、，且，令，解得，.解不等式，可得；解不等式，可得或.此时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）由（1）可知，、是关于的二次方程的两个不等的实根，由韦达定理得，，要证，即证，即证，设，即证，，设，即证，构造函数，其中，，所以，函数在区间上单调递增，当时，，即.故原不等式得证.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调性，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于难题.17.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）当时，函数有两个零点，，其中，求证：.【答案】（1）；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据函数单调性，得到在上恒成立，进而可求出结果；（2）先由题意，得到，两式作差整理，得到，推出，令，将证明转化为证明即可，利用导数的方法，即可证明结论成立.【详解】（1）因为，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为幂函数在显然单调递减，所以，因此只需；（2）当时，，因为函数有两个零点，，所以，两式作差可得：，因此，令，则，要证，即证，即证，即证令，则在上恒成立，所以在上单调递减，因此，即在上恒成立，所以.【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数，以及导数的方法证明不等式，属于常考题型.18.已知函数，曲线在点处切线与直线垂直．（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）若函数有两个不同的零点，，证明：．【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出的导数，由两直线垂直的条件：斜率相等，即可得到切线的斜率和切点坐标，进而的解析式和导数，求出单调区间，可得，即可得到与的大小；（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义可得所以化简得，．可得，，要证明，．即证明，也就是．求出，即证，令，则，即证．令，求出导数，判断单调性，即可得证．【详解】解：（1）函数，，所以，又由切线与直线垂直，可得，即，解得．此时，，令，即，解得；令，即，解得，所以的增区间为，减区间为．所以，即即，即有：．（2）证明：不妨设，因为，所以化简得，．可得，，要证明，即证明，也就是．因为，即证，即，令，则，即证．令．由，