1 微专题：平面向量的模之求法 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：平面向量的模之求法平面向量是有方向有长度的量，因此求平面向量的模也是一个重要的考点。对于一般的向量条件，及坐标化的向量条件，我们都要熟悉，并且可以通过基本公式加以转化，进而求解。向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量；一般用或表示；向量的模的定义：向量的长度叫向量的模，记作；求向量的模的基本方法：①平方开根号：，；②坐标法：，；当题目涉及的图形特殊，适合建系，一般可以考虑建系求角；③数量积公式变形：；适用于已知两个向量的夹角与其中一个向量的模长；④若，则；⑤数形结合法：根据题意画图，从图中寻找解题突破口；【典例】【例1】设为单位向量，且，则______________.【提示】；【答案】【解析】；【说明】；归纳与理解：方法①使用背景解题步骤例2、已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为【提示】；【答案】；【解析】【说明】归纳与理解：方法②使用背景解题步骤例3、已知非零向量、，满足，向量在向量上的投影向量为：，求：向量的模；例4、已知非零向量、的夹角为，向量、，则例5、已知非零向量、，满足，且，求：向量的模；【归纳】求向量的模的常见思路及方法：（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式，求模时，勿忘记开方；（2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化；【即时练习】1、已知向量、的夹角为，且，，则（）A.B.C.D.2、已知向量、的夹角为，且，，则（）A.B.C.D.3、已知，且与的夹角为，则___________4、若向量、、两两所成的角相等，且、、，则__________.5、已知，是单位向量，且，若向量满足，则＝________6、已知平面向量，；（1）求：及其模的大小；（2）若，求：；【教师版】微专题：平面向量的模之求法平面向量是有方向有长度的量，因此求平面向量的模也是一个重要的考点。对于一般的向量条件，及坐标化的向量条件，我们都要熟悉，并且可以通过基本公式加以转化，进而求解。向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量；一般用或表示；向量的模的定义：向量的长度叫向量的模，记作；求向量的模的基本方法：①平方开根号：，；②坐标法：，；当题目涉及的图形特殊，适合建系，一般可以考虑建系求角；③数量积公式变形：；适用于已知两个向量的夹角与其中一个向量的模长；④若，则；⑤数形结合法：根据题意画图，从图中寻找解题突破口；【典例】【例1】设为单位向量，且，则______________.【提示】注意：向量与数量（向量的模）之间的互相转化；【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以；【说明】本题【2020·全国Ⅰ卷】主要考查了：利用公式法，利用，，把求向量的模的运算转化为数量积运算；归纳与理解：方法①利用，求解使用背景一般没有坐标背景.解题步骤直接代入公式，化简即可.例2、已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为【提示】注意：题设“直角梯形”与平面向量的坐标表示的关联；以为轴的正方向建立直角坐标系，设然后表示出，然后可得答案；【答案】7；【解析】以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则，当时取得最小值7；故答案为：7；【说明】本题主要考查了：根据向量的坐标表示，把所求向量先用向量表示，然后利用向量的模的坐标表示“公式化”进行运算；归纳与理解：方法②利用求解使用背景一般有坐标背景.解题步骤先求的坐标，再代入公式即可.例3、已知非零向量、，满足，向量在向量上的投影向量为：，求：向量的模；【提示】注意：理解概念“投影向量”；【答案】【解析】由题意，得：，再由已知，则，即；【说明】本题通过投影向量等概念，考查了向量数量积公式的变形：；适用于已知两个向量的夹角与其中一个向量的模长；例4、已知非零向量、的夹角为，向量、，则【提示】注意：数形结合地理解向量的模【答案】；【解析】方法1：由；方法2、（数形结合法）由知，以与为邻边可作出边长为2的菱形，如图，则，又在菱形中，，所以，；【说明】本题从数形结合两个方面，用代数与几何表示两个视角进行了解答；例5、已知非零向量、，满足，且，求：向量的模；【提示】注意：有关向量数量积的相关结论；【答案】；【解析】由，则，即，再结合，所以，，则；【说明】本题考查了向量的数量积运算与函数与方程思想的整合；【归纳】求向量的模的常见思路及方法：（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式，求模时，勿忘记开方；（2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化；【即时练习】1、已知向量、的夹角为，且，，则（）A.B.C.D.【答案】D；【解析】，，则2、已知向量、的夹角为，且，，则（）A.B.C.D.【提示】本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知，只需利用余弦定理求出即可；【答案】D；【解析】如图可得：，在中，有：即：解得或（舍）所以，3、已知，且与的夹角为，则___________【提示】题意涉及模，夹角；联想：平方开根号法；【答案】；【解析】由题意可知，且与的夹角为，所以，所以；故答案为：；【说明】本题考查了利用平面向量的数量积公式，借助“平方、开方”求解；关键是：不要忘了开方；4、若向量、、两两所成的角相等，且、、，则__________.【答案】或【解析】因为向量、、两两所成的角相等，所以向量、、两两所成的角为或0因此或5、已知，是单位向量，且，若向量满足，则＝________【答案】eq\f(2\r(3),3)；【解析】方法1：因为，所以，，所以，又因为，所以，，由，