3245289315、微专题：反正弦反余弦反正切的表示与应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：反正弦反余弦反正切的表示与应用【沪教版2020】必修第二册在《6.3.2解三角形》中，为了表示例８中的角C，我们引入如下记号：一般的，我们用表示满足的角；用表示满足的角；用表示满足的角；【说明】符号、、在计算器上一般分别用、、表示；所以，【沪教版2020】引入反正弦、反余弦、反正切是为日后解三角形与表示平面几何、平面向量、解析几何、立体几何中涉及的非特殊角的需要；因此，为了便于学生“反三角函数”并熟练、灵活使用，在此，不妨例析表示与应用；【典例】例1、解方程：。【提示】【解析】解法1、解法2、【说明】例2、如图，一智能扫地机器人在处发现位于它正西方向的处和北偏东方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少米，于是选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为米/秒，秒钟完成了清扫任务（忽略机器人吸入垃圾及在处旋转所用时间）（1）、两处垃圾的距离是多少？（2）求智能扫地机器人此次清扫过程中旋转角的最小值？请指出旋转方向.【说明】本小题主要考查余弦定理解三角形，反余弦为表示实际问题中的非特殊角提供了方便；例3、已知直线的方程为，其倾斜角为；（1）写出关于的函数解析式；（2）若，求：的取值范围.【背景】在平面解析几何中1、直线的倾斜角：(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)；2、直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是eq\f(π,2)的直线没有斜率；(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)；【说明】通过本题求解说明，在利用“解析几何”知识求得“倾斜角的正切”后，主要是：利用反正切表示角，结合倾斜角的范围与诱导公式求倾斜角；例4、在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))；若四边形ABCD是平行四边形，且eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝6，求：eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))夹角的大小。【背景】在平面向量中1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角；（2）特例：①当θ＝0时，向量与同向；②当θ＝eq\f(π,2)时，向量与垂直，记作⊥；③当θ＝π时，向量与反向；【特别注意】按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角；作eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，则∠BAD才是向量eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角；【说明】本题的求解说明：利用“向量的数量积”求得角的余弦，然后用反余弦表示角；例5、已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成角，则异面直线与所成角的大小为【背景】在立体向量中两条异面直线所成的角（1）定义：设是两条异面直线，过空间任一点作直线，，则与所夹的锐角或直角叫做所成的角；（2）范围：两异面直线所成角的取值范围是；（3）向量求法：设直线的方向向量分别为，，其夹角为，则有；例6、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的大小。【背景】在立体向量中直线与平面所成的角（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角；（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°；【说明】本题的求解说明：利用立体几何中“找角--求角”方法，通过解三角形求得角的三角比，然后用反三角表示角；例7、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求平面AEF与平面EFA1夹角的大小；【背景】在立体向量中从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；二面角的平面角的定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；二面角的平面角θ的取值范围为；【特别提醒】求二面角的方法总结（1）定义法：分别在两个半平面内向棱作垂线，垂足为同一点，求两线的夹角；（2）垂面法：作垂直于棱的一个垂面，这个平面与两个半平面分别有一个交线，这两个交线所成的角；（3）三垂线法：过一个半平面内的一点作另一个半平面的一条垂线，过垂足作棱的垂线，记垂足为，连接，则即为二面角的平面角；（4）向量法：求两个半平面法向量夹角的即为二面角的平面角或二面角平面角的补角；【说明】本题的求解说明：利用立体几何中“向量法”方法，求得二面角的三角比，然后用反三角表示角；【归纳】1、反正弦、反余弦、反正切的相关表示满足的角，可以表示为：或；满足的角，可以表示为：；满足的角，可以表示为：；满足的角，可以表示为：；满足的角，可以表示为：；2、三角方程的解集（1）方程的解集为：；（2）方程的解集为：；（3）方程的解集为：；特别提醒：①、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的正弦值为所对应的角，即；②、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的余弦值为所对应的角，即；③、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的正切值为所对应的角，即；3、常见角的范围（1）平面几何中，直线倾斜角为[0,180°)（或），两直线平行或重合（或），两直线相交（或）；（2）向量中，两个向量成角为（或）；（3）立体几何中，空间异面直线成角（0°,90°]（或）；直线与平面成角，平行或在面内为0°（或），相交为（0°,90°]（或）；平面与平面成角[0°,90°]（或）；二面角取值范围是[0°,180°]（或）；【即时练习】1、解方程：；2、若直线过两点，，则此直线的倾斜角大小是3、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的大小为4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是对角线BD1上的点，且BE∶ED1＝1∶3，则AE与平面BCC1B1所成的角的大小是_____________．5、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝eq\f(\r(,2),2)AB.（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角DA1CE的大小．【教师版】微专题：反正弦反余弦反正切的表示与应用【沪教版2020】必修第二册在《6.3.2解三角形》中，为了表示例８中的角C，我们引入如下记号：一般的，我们用表示满足的角；用表示满足的角；用表示满足的角；【说明】符号、、在计算器上一般分别用、、表示；所以，【沪教版2020】引入反正弦、反余弦、反正切是为日后解三角形与表示平面几何、平面向量、解析几何、立体几何中涉及的非特殊角的需要；因此，为了便于学生“反三角函数”并熟练、灵活使用，在此，不妨例析表示与应用；【典例】例1、解方程：。【提示】注意转化为只含的三角方程；【解析】解法1、同除以得得或，则或，；解法2、，则，则或，得或，则则或，；【说明】通过本题说明反正弦、反余弦、反正切的引入，为解三角方程时涉及的非特殊角的表示提供了保障；例2、如图，一智能扫地机器人在处发现位于它正西方向的处和北偏东方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少米，于是选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为米/秒，秒钟完成了清扫任务（忽略机器人吸入垃圾及在处旋转所用时间）（1）、两处垃圾的距离是多少？（2）求智能扫地机器人此次清扫过程中旋转角的最小值？请指出旋转方向.【提示】（1）利用余弦定理，结合列方程组，解方程组求得；（2）利用余弦定理求得的值，由此求得旋转角的最小值，并判断出旋转方向；【答案】（1）（2）；【解析】（1）依题意可知，设的对边分别为，则，将代入化简得，即，由于，所以解得，且，（2）由余弦定理得，由于，所以为锐角，所以旋转角的最小值为，方向沿顺时针方向旋转；【说明】本小题主要考查余弦定理解三角形，反余弦为表示实际问题中的非特殊角提供了方便；例3、已知直线的方程为，其倾斜角为；（1）写出关于的函数解析式；（2）若，求：的取值范围.【背景】在平面解析几何中1、直线的倾斜角：(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)；2、直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是eq\f(π,2)的直线没有斜率；(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)；【提示】利用【背景】先求得倾斜角的正切，再根据倾斜角的取值范围，利用反正切解之；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）直线的方程为，其倾斜角为，当时，；当时，则斜率，则，所以，；当时，则斜率，则，所以，；所以；（2）当时，结合单位圆与三角函数线，得，当时，，当时，结合单位圆与三角函数线，得，综上所述：；【说明】通过本题求解说明，在利用“解析几何”知识求得“倾斜角的正切”后，主要是：利用反正切表示角，结合倾斜角的范围与诱导公式求倾斜角；例4、在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))；若四边形ABCD是平行四边形，且eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝6，求：eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))夹角的大小。【背景】在平面向量中1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角；（2）特例：①当θ＝0时，向量与同向；②当θ＝eq\f(π,2)时，向量与垂直，记作⊥；③当θ＝π时，向量与反向；【特别注意】按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角；作eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，则∠BAD才是向量eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角；【提示】注意：以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))为基向量；【答案】；【解析】由题意，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\a\vs4\al(\o(AD,\s\up6(→)))2－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,9)eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→)))2＝36－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－18＝18－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)).又eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝6，所以18－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝6，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝36；设eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，即cosθ＝eq\f(2,3)，则θ=，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))夹角的大小为：；【说明】本题的求解说明：利用“向量的数量积”求得角的余弦，然后用反余弦表示角；例5、已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成角，则异面直线与所成角的大小为【背景】在立体向量中两条异面直线所成的角（1）定义：设是两条异面直线，过空间任一点作直线，，则与所夹的锐角或直角叫做所成的角；（2）范围：两异面直线所成角的取值范围是；（3）向量求法：设直线的方向向量分别为，，其夹角为，则有；【提示】注意：结合题设中的边长与角度，考虑利用“向量法”【答案】；【解析】设，，，则，，，从而，，，，不妨，设向量所成的角为，由，则；【说明】本题的求解说明：利用“空间向量的数量积”求得角的余弦，然后用反余弦表示角；例6、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的大小。【背景】在立体向量中直线与平面所成的角（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角；（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°；【提示】结合正方体的几何性质，不妨考虑“找角---求角”；【答案】;【解析】取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角；设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝eq\r(22＋22＋12)＝3.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq\f(2,3)，则直线BE与平面ABB1A1所成的角的大小为：;【说明】本题的求解说明：利用立体几何中“找角--求角”方法，通过解三角形求得角的三角比，然后用反三角表示角；例7、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求平面AEF与平面EFA1夹角的大小；【背景】在立体向量中从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；二面角的平面角的定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；二面角的平面角θ的取值范围为；【特别提醒】求二面角的方法总结（1）定义法：分别在两个半平面内向棱作垂线，垂足为同一点，求两线的夹角；（2）垂面法：作垂直于棱的一个垂面，这个平面与两个半平面分别有一个交线，这两个交线所成的角；（3）三垂线法：过一个半平面内的一点作另一个半平面的一条垂线，过垂足作棱的垂线，记垂足为，连接，则即为二面角的平面角；（4）向量法：求两个半平面法向量夹角的即为二面角的平面角或二面角平面角的补角；【提示】注意：题设中“长方体”的几何性质，考虑利用“向量法”；【答案】（2020·全国Ⅲ改编）（2）arcsineq\f(\r(42),7)；【解析】（1）设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如图，以C1为坐标原点，eq\o(C1D1,\s\up6(→))，eq\o(C1B1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系C1xyz．连接C1F，则C1(0，0，0)，A(a，b，c)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(2,3)c))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，eq\o(C1F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，所以eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(C1F,\s\up6(→))，所以EA∥C1F，即A，E，F，C1四点共面，所以点C1在平面AEF内；（2）由已知得A(2，1，3)，E(2，0，2)，F(0，1，1)，A1(2，1，0)，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－2，0，－2)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(0，－1，2)，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－2，0，1)；设＝(x1，y1，z1)为平面AEF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(AF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y1－z1＝0，,－2x1－2z1＝0，))可取＝(－1，－1，1)．设＝(x2，y2，z2)为平面A1EF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(A1E,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(A1F,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y2＋2z2＝0，,－2x2＋z2＝0，))同理可取＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2，1))，因为cos<n1，n2>＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝－eq\f(\r(7),7)，所以，平面AEF与平面EFA1夹角的正弦值为eq\f(\r(42),7)，则平面AEF与平面EFA1夹角的大小为：arcsineq\f(\r(42),7)；【说明】本题的求解说明：利用立体几何中“向量法”方法，求得二面角的三角比，然后用反三角表示角；【归纳】1、反正弦、反余弦、反正切的相关表示满足的角，可以表示为：或；满足的角，可以表示为：；满足的角，可以表示为：；满足的角，可以表示为：；满足的角，可以表示为：；2、三角方程的解集（1）方程的解集为：；（2）方程的解集为：；（3）方程的解集为：；特别提醒：①、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的正弦值为所对应的角，即；②、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的余弦值为所对应的角，即；③、当时，（1）表示一个角（弧度制）；（2）；（3）是在内的正切值为所对应的角，即；3、常见角的范围（1）平面几何中，直线倾斜角为[0,180°)（或），两直线平行或重合（或），两直线相交（或）；（2）向量中，两个向量成角为（或）；（3）立体几何中，空间异面直线成角（0°,90°]（或）；直线与平面成角，平行或在面内为0°（或），相交为（0°,90°]（或）；平面与平面成角[0°,90°]（或）；二面角取值范围是[0°,180°]（或）；【即时练习】1、解方程：；【答案】由，则解集为2、若直线过两点，，则此直线的倾斜角大小是【答案】【解析】因为，直线过点，，所以，直线的斜率，又，即直线的倾斜角；3、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的大小为【答案】arccoseq\f(\r(30),10)；【解析】：以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(1，－1，2)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(－1，0，2)．所以，cos〈eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BM，\s\up6(→))·\o(AN,\s\up6(→)),|\o(BM,\s\