31335309 微专题讲义：比较幂值大小的方法 -2021-2022学年高一上学期数学复习沪教版（2020）必修第一册

【学生版】微专题：比较幂值大小的方法【主题】1、一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数；当α>0时，在区间[0，＋∞)上是严格增函数；当α<0时，在区间(0，＋∞)上是严格减函数；2、一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数；当α>1时，在R上是严格增函数；当0<α<1时，在R上是严格减函数；【典例】题型1、“同指数”幂值大小比较例1、比较，的大小。【提示】；【解析】解法1；解法2；【说明】1、幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图像都过点(1，1)；它们的单调性要牢记第一象限的图像特征：当α>0时，第一象限图像是上坡递增；当α＜0时，第一象限图像是下坡递减；然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可；2、在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较；既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断；准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键；题型2、“同底数”幂值大小比较例2、比较下列各题中的两个值的大小：（1）与；（2）与；（3）与；【提示】；【解析】；【说明】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择同底的的指数函数，借助其单调性进行比较；既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断；准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键；题型3、转化为“同指数”幂值大小比较例3、设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【提示】；【答案】；【解析】；【说明】紧扣幂函数（或指数函数）的单调性是关键；题型4、同时利用“同指数”、“同底数”幂值大小比较例4、设则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a【提示】【答案】【解析】；【说明】本题主要是对于底数相同的指数幂，可以通过指数函数的单调性比较大小；底数不同，指数相同的指数幂则可通过幂函数的单调性比较大小。题型5、利用“中间量”进行幂值大小比较例5、比较下列两个值的大小：1.70.3与0.83.1；【提示】；【解析】；【说明】。【归纳】比较幂值大小的三种基本方法（1）直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的严格单调性来比较；当底数相同时，可直接利用指数函数的严格单调性来比较；（2）转化法：当幂指数不相同时，可先转化为相同幂指数，再利用幂函数的严格单调性来比较；当底数数不相同时，可先转化为相同底数，再利用指数函数的严格单调性来比较；（2）中间量法：当底数不同且幂指数不相同时，不能运用幂函数、指数函数的严格单调性来比较大小，可选取适当的中间量与两数分别比较，或同时利用一个幂函数、一个指数函数严格单调性来比较大小，从而达到比较大小的目的；【即时练习】1、若，，，则A． B． C． D．2、已知，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．3、比较下列各组数中两个数的大小：（1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.3；（2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；（3）(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3与4、比较下列各题中两个值的大小：（1）1.7－2.5，1.7－3；（2）1.70.3，1.50.3；【教师版】微专题：比较幂值大小的方法【主题】1、一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数；当α>0时，在区间[0，＋∞)上是严格增函数；当α<0时，在区间(0，＋∞)上是严格减函数；2、一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数；当α>1时，在R上是严格增函数；当0<α<1时，在R上是严格减函数；【典例】题型1、“同指数”幂值大小比较例1、比较，的大小。【提示】注意：观察“两个指数幂”的共同点；【解析】解法1（根据一个幂函数的单调性）：因为在上为严格减函数，又，所以＞；解法2（根据两个指数函数的图像）：作出指数函数与的图像，如图所示；当x＝－0.5时，由图像观察可得＞；【说明】1、幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图像都过点(1，1)；它们的单调性要牢记第一象限的图像特征：当α>0时，第一象限图像是上坡递增；当α＜0时，第一象限图像是下坡递减；然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可；2、在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较；既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断；准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键；题型2、“同底数”幂值大小比较例2、比较下列各题中的两个值的大小：（1）与；（2）与；（3）与；【提示】考虑化成：同底数；【解析】（1）因为，0＜0.8＜1，所以，y＝0.8x在R上是严格减函数；又因为1.25-1=0.8,所以1.250.2=0.8－0.2，而－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2；（2）因为，0＜eq\f(1,π)＜1，所以，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))x在R上是严格减函数．又因为－π＜0，所以，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))0＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π＞1；（3）0.2－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,10)))－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))－3＝53，所以，，；【说明】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择同底的的指数函数，借助其单调性进行比较；既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断；准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键；题型3、转化为“同指数”幂值大小比较例3、设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【提示】注意：转化；【答案】C；【解析】因为，，，，又因为，函数是上的严格增函数，而，所以，；【说明】紧扣幂函数（或指数函数）的单调性是关键；题型4、同时利用“同指数”、“同底数”幂值大小比较例4、设则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a【提示】注意：用好“两两之间的同”【答案】B【解析】因为，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x在R上为严格减函数，所以，，即a<b；又因为，在(0，＋∞)上为严格增函数，所以，即a>c.，即b>a>c，故选B；【说明】本题主要是对于底数相同的指数幂，可以通过指数函数的单调性比较大小；底数不同，指数相同的指数幂则可通过幂函数的单调性比较大小。题型5、利用“中间量”进行幂值大小比较例5、比较下列两个值的大小：1.70.3与0.83.1；【提示】注意：转化；【解析】由函数的单调性，得1.70.3＞1.70＝1；函数的单调性，得0.83.1＜0.80＝1，所以，1.70.3＞0.83.1；【说明】当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量；特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和±1是常用的中间量；或以一个幂的底与另一个的幂指数为“中间量”。【归纳】比较幂值大小的三种基本方法（1）直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的严格单调性来比较；当底数相同时，可直接利用指数函数的严格单调性来比较；（2）转化法：当幂指数不相同时，可先转化为相同幂指数，再利用幂函数的严格单调性来比较；当底数数不相同时，可先转化为相同底数，再利用指数函数的严格单调性来比较；（2）中间量法：当底数不同且幂指数不相同时，不能运用幂函数、指数函数的严格单调性来比较大小，可选取适当的中间量与两数分别比较，或同时利用一个幂函数、一个指数函数严格单调性来比较大小，从而达到比较大小的目的；【即时练习】1、若，，，则A． B． C． D．【答案】B；【解析】由指数函数的图象知，，所以；由指数函数的图象与性质知，，所以；综上知，、、的大小关系是．2、已知，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，，得：；3、比较下列各组数中两个数的大小：（1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.3；（2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；（3）(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3与【解析】（1）∵0<0.3<1，∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.3.（2）∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.（3）∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，∴由eq\f(2,5)>0.3，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3>0.30.3.①又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，②由①②知4、比较下列各题中两个值的大小：（1）1.7－2.5，1.7－3；（2）1.70.3，1.50.3；【解析】（1）∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.（2）方法一∵1.7