类比专题之平面几何与立体几何-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习类比专题之类比与转化②------平面几何与立体几何类比课前引入将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。教学目标1、掌握平面几何和立体几何的类比关系；2、利用类比原则解题知识梳理平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比注意点：这些知识要根据学生的情况给到，进行适当删减，不能全部给到学生，否则时间不够。三角形四面体三角形两边之和大于第三边.四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心.四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心．三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半.四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的,且该三角形所在平面平行于第四个面.三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分.四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分．三角形的三条中线交于一点，且三角形的每一条中线被该点分成的两段的比为2：1.将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：1在ΔABC中，的平分线交BC于D，则；在四面体ABCD中，二面角C-AB-D的平分面交棱CD于点E，则，；在ΔABC中，（正弦定理）在四面体ABCD中，棱AB与面ACD、BCD的夹角分别，，则设ΔABC的三边长分别为、、，ΔABC的面积为，内切圆半径为，外接圆半径为，则（1）（2）四面体S—ABCD的四个侧面的面积分别为，，，，内切球的半径为，外接球的半径为，则（1）（2）典例精讲平面几何和立体几何之间常见的类比关系（一）“直线”类比为“__平面___”，“角”类比为“___二面角_____”，“角的两边”类比为“____构成二面角的两个半平面____________”等．（★）例1、（★）对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补．”在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“___如果两个二面角的平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补_______________________．”其真假性是___真______．变式练习、（★）我们所熟悉的从平面几何定理到立体几何定理还有不少类比的实例，例如：(1)平几：平行于同一直线的两直线平行；立几：平行于同一平面的两平面平行．(2)平几：垂直于同一直线的两直线平行；立几：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行．(3)平几：如果一条直线垂直于两平行直线中的一条直线，那么它也和另一条直线垂直；立几：如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直；(4)平几：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；立几：如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别平行，那么这两个二面角相等或互补．注意：这部分内容主要是让学生能理解平面几何和立体几何的对应规则，对于程度较好的学生可以适当删减。(二)三角形类比到_空间四面体_______________例2（★）平面几何中，有结论：“正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，且定值等于该正三角形边长的_______倍”．类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：_正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，且定值为正四面体边长的_____________________倍__________________________________．注意：让学生先明白在正三角形中此结论是通过面积的割补得到的，类比在四面体中就是通过体积的割补得到的。变式练习（★★）已知是底面边长为1的正四棱柱，高，求（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四面体的体积.解析：(1)(2)注意：对于第二问中，一定要给学生提到正难则反的转化思路，通过割补法求体积，并且可以用同样的方法求出正四面体的体积（三）矩形类比到___长方体_______圆类比到_____球______例4（★★）矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成的角分别为，则，把它类比推广到长方体中，试写出一个相应的真命题：__长方体中体对角线和想交的三条棱所成的角分别为，则____________________________________.例5（★★）若一个底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为．解析：注意：利用矩形的外接圆圆心为矩形的中心，类比得到长方体的外接球球心为长方体中心变式练习1：（★★）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．答案变式练习2：（★★）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.答案B1OD1A1C1ABCD巩固练习（可选）．若多面体的各个顶点都在同一球面上,则称这个多面体内接于球.如图长方体B1OD1A1C1ABCD距离为___________.解析：注意：球面距离考纲中文理科都要求，