浙江省中考数学总复习专题提升八以图形变换为背景的作图与计算试题

专题提升八以图形变换为背景的作图与计算一、图形变换的作图与计算热点解读图形变换要揭示变换过程中的隐含条件；对比变换前后图形中的对应量，从而找到问题中的等量关系而求解．该题型是中考常用题型．母题呈现1．(2017·北京市海淀区模拟)如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为.2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．对点训练1．如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()第1题图A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y＝eq\f(3,4)x上，则点B与其对应点B′间的距离为______________________．第2题图3．(2016·广州)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm.将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为cm.第3题图第4题图4．(2016·温州)如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝度．5．(2016·内江)如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是.第5题图6．(2017·宁波)如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为____________________．第6题图7．(2016·毕节)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连结BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．第7题图二、旋转变换中探究性问题热点解读旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．用旋转来设计中考题是命题策略之一．母题呈现(2017·襄阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；(2)如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE＝4，CF＝2，求DN的长．对点训练8．(2016·丹东模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3).将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连结DD′，则DD′的长度为()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C.eq\r(3)＋1D．2第8题图9．(2016·大连模拟)如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上(如图2)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为____________________．第9题图10．(2016·苏州模拟)如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连结EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连结DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是____________________．第10题图11．(2016·福州模拟)已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上(P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧)，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF.(1)如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证：DG＝2PC；②求证：四边形PEFD是菱形；(2)如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．第11题图12.现有一副直角三角板，已知含45°角的直角三角板的斜边恰与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合(如图1)．即△C′DA′的顶点A′、C′分别与△BAC的顶点A、C重合．现在让△C′DA′固定不动，将△BAC通过变换使斜边BC经过△C′DA′的直角顶点D.(1)如图2，将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α(0°＜α＜180°)，使BC边经过点D，则α＝____________________°；(2)如图3，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D.试说明：BC∥A′C′；(3)如图4，若将△BAC沿射线A′C′方向平移m个单位长度，使BC边经过点D，已知AB＝eq\r(2)，求m的值．第12题图参考答案专题提升八以图形变换为背景的作图与计算一、图形变换的作图与计算【母题呈现】1.62．(1)如图，△AB′C′即为所求．(2)∵AB＝eq\r(42＋32)＝5，∴扫过区域的面积为：eq\f(90·π·52,360)＝eq\f(25,4)π.【对点训练】1.A2.43.134.465.106.eq\f(\r(21),7)7．(1)由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，在△AEC和△ADB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AD，,∠CAE＝∠DAB，,AC＝AB，))∴△AEC≌△ADB(SAS)；(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，由(1)得：AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，即BD＝2eq\r(2)，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2eq\r(2)－2.二、旋转变换中探究性问题【母题呈现】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，∴∠DCE＝∠DCF＝135°，在△DCE与△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝CF，,∠DCE＝∠DCF，,CD＝CD，))∴△DCE≌△DCF，∴DE＝DF；(2)①∵∠DCF＝∠DCE＝135°，∴∠CDF＋∠F＝180°－135°＝45°，∵∠CDF＋∠CDE＝45°，∴∠F＝∠CDE，∴△CDF∽△CED，∴eq\f(CD,CE)＝eq\f(CF,CD)，即CD2＝CE·CF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，∴CD＝eq\f(1,2)AB，∴AB2＝4CE·CF；②如图，过D作DG⊥BC于G，则∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CE＝4，CF＝2时，由CD2＝CE·CF得CD＝2eq\r(2)，∴在Rt△DCG中，CG＝DG＝CD·sin∠DCG＝2eq\r(2)×sin45°＝2，∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，∴△CEN∽△GDN，∴eq\f(CN,GN)＝eq\f(CE,DG)＝2，∴GN＝eq\f(1,3)CG＝eq\f(2,3)，∴DN＝eq\r(GN2＋DG2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)＋22)＝eq\f(2\r(10),3).【对点训练】8．A9.105°10.1.511．(1)证明：①作PM⊥DG于M，如图1，∵PD＝PG，∴MG＝MD，∵四边形ABCD为正方形，∴PCDM为矩形，∴PC＝MD，∴DG＝2PC；②∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∵四边形ABPM为矩形，∴AB＝PM，∴AD＝PM，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠GDH＋∠DGH＝90°，∵∠MGP＋∠MPG＝90°，∴∠GDH＝∠MPG，在△ADF和△MPG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠GMP，,AD＝PM，,∠ADF＝∠MPG，))∴△ADF≌△MPG(ASA)，∴DF＝PG，而PD＝PG，∴DF＝PD，∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF＝PE，∴四边形PEFD为平行四边形，∵DF＝PD，∴四边形PEFD为菱形；(2)四边形PEFD是菱形．理由如下：作PM⊥DG于M，如图2，与(1)一样同理可证得△ADF≌△MPG，∴DF＝PG，而PD＝PG，∴DF＝PD，∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF＝PE，∴四边形PEFD为平行四边形，∵DF＝PD，∴四边形PEFD为菱形．第11题图12．(1)15(2)如图3，过点A作AH⊥BC于点H，∵∠C＝30°，∴AH＝eq\f(1,2)AC，∵AD＝eq\f(\r(2),2)AC，∴DH＝eq\r(AD2－AH2)＝eq\f(1,2)AC，∴AH＝DH，∴∠HAD＝45°，∴∠HAC′＝∠HAD＋∠DAC′＝90°，∴HA⊥AC′，∴BC∥A′C′；(3)如图4，过点D作DH⊥AC，垂足为H，∵AB＝eq\r(2)，∴AC＝A′C′＝eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)，∴HC′＝DH＝eq\f(1,2)A′C′＝eq\f(\r(6),2)，∴HC＝eq\f(\r(6),2)×eq\r(3)＝eq\f(3\r(2),2)，所以m的值为：HC－HC′＝eq\f(3\r(2),2)－eq\f(\r(6),2).第12题图13．(1)∵正方形ABCD和正方形DEFG，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△AED和△CGD中，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDG，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴AE∶CG＝1∶1；(2)成立．∵正方形ABCD和正方形DEFG，∴AD＝CD，D