2024高考数学基础知识综合复习 优化集训21 空间角与距离

优化集训21空间角与距离

基础巩固

1.（2018浙江学考）如图，在正方体力颇-486；”中，直线4c与平面46切所成角的余弦值是（）

A.iB.农

33

C.-D.—

33

2.在四面体ABCD^,二面角A-BC-D为60°,点户为直线比'上一动点,记直线PA与平面6缪所成角

为。，则（）

A.9的最大值为60°B.e的最小值为60°

C.9的最大值为30°D.0的最小值为30°

3.在三棱柱ABC-A^G中，△/勿是边长为2的等边三角形,幽」底面ABC,M=3,〃是"的中点，则

异面直线能与匐所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.在正四棱柱ABCD-ABCD中,44仆月,AB=^2.,二面角A.-BD-A的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.（2019浙江学考）如图,在四棱柱ABCD-A^CM中，平面4瓜切，平面ABCD,且四边形/以力和四边

形4反切都是正方形,则直线被与平面所成角的正切值是（）

A-?B-TC.V2D.V3

6.正方体力比％4a&4的棱长为1,。为底面481G"的中心，则点。到平面A6G”的距离是（）

rV2

Bc.—D

-T2-T

7.在平行六面体ABCD-ABCR中，AB=AD=AAl=\,/物场90°,/8AAi=NDAAi=6Q；则异面直线M与

8G所成角的余弦值是（）

B-tC-TD-1

8.（2023浙江绍兴）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示,在直角圆锥?T8C

中,4?为底面圆的直径,C在底面圆周上且为触的中点，则异面直线期与4C所成角的大小为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

9.（多选）（2023浙江舟山中学）在平行六面体ABCD-ABCD中，ZDAB=AAlAB=Z

4加%,A414,48刃加2,以下选项正确的是（）

A.平行六面体4853归G0的体积为6V2

B.异面直线能与4c所成角的正弦值为斗

C./a_L平面BDDxBx

D.二面角2T4-6的余弦值为:

10.（2023浙江温州A卷）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为

面围成的多面体,如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱

锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线仞V与平面465所成角

的正弦值为.

D

11.在长方体ABCD-A.BiCM中，AB2AD=AAl=i,则点反到平面"6。的距离为.

12.（2023浙江杭州）已知正三棱柱ABC-A^G的各条棱长都是2,则直线笫与平面448归所成角的

正切值为；直线CS与直线48所成角的余弦值为.

13.（2023浙江台州）已知正方体ABCD-A瓜CD的棱长为3,在正方体的顶点中，到平面4龙的距离为

旧的顶点可能是.（写出一个顶点即可）

14.（2023浙江丽水）在直三棱柱ABC-A^Q中，D,£分别是AA,B.G的中点,DGLBD,AC=BC=1,M=2.

（1）求证:6C_L平面MGC;

⑵求点£到平面的距离.

能力提升

15.（2023浙江台州）在正三棱台ABC-ABC中，平面B\BCC、,AB畛AB,则异面直线圈与8G所成

角的余弦值为（）

A/B-C.iD.叵

5555

16.（2022浙江杭州二中）在平行六面体ABCD-ABGD1中,AB2/%2,NBAD=NBAAi=/

加4140°,则直线正与阳所成角的正弦值为（）

AVHV3「V21n5^7

A.D.-L.U.

42421414

17.（多选）（2023浙江余姚）已知正四棱柱ABCD-ABCD的底面边长为1,侧棱长为2,点〃为侧棱CQ

上的动点（包括端点），/此平面*下列说法正确的有（）

A.异面直线■与8K可能垂直

B.直线6c与平面a可能垂直

C.4?与平面a所成角的正弦值的取值范围为，¥]

D.若a且CM=MCX,则平面a截正四棱柱所得截面多边形的周长为3V2

18.(2023浙江绍兴)在正方体ABCD-AiBCK中，棱长为3,。是上底面A^CM的一个动点.

(1)求三棱锥4-4况的体积；

⑵当a是上底面4AG”的中心时，求与平面所成角的余弦值.

19.(2023浙江丽水)

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面/题为直角梯形,AB//CD,/掰。K0°,AB畛CDAPALCD,在锐角三

角形序〃中，AD=PD%正，点、E在PD上,PE丸ED.

⑴求证:以〃平面ACE;

(2)若/C与平面R力所成的角为30°,求二面角PTC-6的正切值.

优化集训21空间角与距离

基础巩固

1.D解析；正方体ABCD-A\BC。,

・％2」平面四必

・：N4G4即为直线4c与平面/皿所成角，设正方体棱长为1,

•/Aj—ACV2V6

••cos/LA\CA------=-p——.

ArCV33

故选D.

2.A解析设点A在平面皿上的射影为点。，作OE±BC,连接AE,则为二面角A-BC-D的平

面角.

连接OP,AP,则sin/"。&=—•—=sinZAEO•—<—,故选A.

4PAEAPAP2

E

C

3.A解析取48中点儿连接NM,Na,

:•〃为A6的中点，易知仞V〃阳，

二/G仞V即为异面直线能与阅所成角.

：N4_L平面ABC,

.,.AAxYNG,

.,.MNLNG.

:是边长为2的等边三角形，且M=3,

；.NC\=W,MNA,

ZtanZGW=^=—,

MN3

・：/CiMN1>0°.故选A.

4.C解析取劭中点ft连接AO,在正四棱柱ABCD-AiBrCM中，易知AO±BD,

：24_L平面ABCD,可知,A.OLBD,

.,.ZAOA即为二面角Ar-BD-A的平面角.

.：tan//@嘿=・=遍，.：//@到。.故选C.

5.C解析连接4c交能于点0,由对称性可知，吟1C

:'四边形26口是正方形，

.\BCVCD.

又平面461ali平面ABCD,平面481切门平面ABCD=CD,."C_L平面ABCD,

.：即为直线能与平面AB切所成的角，

不妨设AD=a,则tan/BOC与=去=鬼.

6.B解析：•。为4G的中点，3点。到平面48G"的距离是点4到平面A6G"的距离的一半，故可

计算点4到平面ABCM的距离.

：%反1平面ADDxA,,且月8u平面ABQIX,

.：平面平面ADD1Al.

过点4作A.MLAIX,.：4办平面ABQIX,

.:点4到平面ABCQ的距离即为AM

:•正方体ABCD-ABCD的棱长为1,

二4〃金.

2

.:点。到平面ABCM的距离是乎.故选B.

7.B解析如图，：2"〃必，

.:异面直线AA与8G所成的角即瓦

在△/瓜”中，ABkAD^W,BM=y[2,所以cosZRAB^,故选B.

8.C解析因为48为底面圆的直径,。在底面圆周上且为Q的中点，则/

ACBWO°,PA=PB巫AB=AC=BC.

2

过点6作物〃4C交底面圆于点D,连接PD,AD,如图，

则/物是异面直线阳与力，所成角或其补角，显然BD与AB=PB=PD,即必是正三角形,所以/

必方60°,即异面直线阳与然所成角的大小为60°.故选C.

9.ABD解析对于A,连接/C初交于点。，则。为物的中点.

因为/物6甘,AB=AD=2,则△/劭为正三角形,故BD2A0忐,BO=DO=\.

又/4A8=/AiA哈44=3,由余弦定理,得48=4氏J22+32-2x2x3xj=V7,

2

则△4(2^Zk4如故/A10B=4A\0D.

又NA\OB+/A、OD=w,故/4/=/4①芳,A[0^m=V6.

因为A,6+Ad=Aj,则Ar0LAO.

又A.OLBO,AOPiB0=0,AO,人亡平面ABCD,故40_L平面ABCD,

则平行六面体ABCD-A^GD,的体积为々S平行四边形曲•400Xsin?x故A正确.

对于B,因为AAJ/BB.,所以。为异面直线圈与4c所成的角.

因为AxOLAO,且AO=OC,所以△246'为等腰三角形,则/■〃=/俏。cos/Z4。/匹=—,所以cosZ

AA13

MC=COS2ZM6»=2COS2ZM(9-1=2X(^)2-1-|,故sinZMC=Jl-(|)2=等，所以异面直线2®与

4。所成角的正弦值为苧,故B正确.

对于C,因为cos/A4CW>0,所以AG与44不垂直.

又■〃阳,所以阳与阳不垂直.

因为防u平面BDIXBi,故/GJ_平面BDAB、不成立,故C错误.

对于D,由AA^AA,AB=AD,DAi=BAlt故/的

作皿/4于点已连接必由全等性质可得DPVAA,,

则二面角2T4刃的平面角为N7W

又BP=DP=ABsix\-=V3,BD=2,故cosZDPB=-^^-==

32Xy3X'y33

即二面角以T4-6的余弦值为:，故D正确.

故选ABD.

10解析如图所示，将多面体放置于正方体中，连接阳设团的中点为£连接俄6F

6

M

D

因为X。分别为所在正方体棱的中点,所以MC//NF,且ME=NF^MC,则四边形㈤W为平行四边形,所

以MN//EF,故直线就与平面力及力所成的角即为直线环与平面46(力所成的角.

又见L平面ABCD,所以直线项与平面/及/所成的角即为/厮C

设正方体的棱长为2,则EC=1,CF=yj22+I2=V5,EF^/EC2+CF2=逐，所以sinNEFC型=之=

EFV6

¥,即直线腑与平面力?0所成的角的正弦值为萼.

66

11.W解析设点B\到平面〃比■的距离为d

•^B-BCD=力厂8烟，

.1111

•：1ABCD、°djS^BCBi•481•

.".-X-XlxV5Xd^x-XlXlX2.

32325

12.孚；解析取加的中点〃连接CD,反〃

54

因为△/比■为等边三角形,所以CDLAB.

因为仍」平面ABC,如平面ABC,所以BBdCD.

因为BBl^AB=B,BB\,A6u平面AA^B,所以CZLL平面AA^B,

所以为直线M与平面44a6所成的角.

因为正三棱柱ABC-A^Q的各条棱长都是2,所以CD当X2忐,DB^22+I2=遮

所以tanNCBJ）黑=噌=字,所以直线M与平面区6所成角的正切值为纪

DB^V555

取BC,阳,4区的中点££G,连接EF,FG,EG.

则EF//B.C,b勿48,贝I]E吟B*X2a=五,FG=A*X2让=V2,所以/厮G（或其补角）为直线

⑦与直线46所成的角.2-'

连接DG,DE,贝ijEG=^DG2+DE2=V22+l2=遮

在△用G中，由余弦定理得c"EFG里黑萨=/U

因为异面直线所成的角的取值范围为（0,9],所以直线图与直线46所成角的余弦值为

13.点/（答案不唯一）’

14.（1）证明连接CD.

因为AC=1,2422是■的中点,

所以CD=y[2,QD=y[2,

贝ljci}+cJ=ccl，

所以CDLCxD.

又DCdBD,DCCBD=D,DC,皿七平面BCD,所以比;_L平面BCD.

又比t平面BCD,所以DQYBC.

因为CG_L平面ABC,〃?u平面ABC,所以CaVBC.

又CG^DG=G,CG,，Gu平面AAGC,所以6C_L平面AAx&C.

⑵解由8aL平面AAGC,/Ct平面AAaC,得BCYAC.

又制_L/CCGnBC=C,CG,比t平面BRCC

所以47_L平面阳GC

因为47%C=1,

所以4%怎

贝ijBD忐.

设点£到平面G初的距离为h,

因为%-C1BD=%-BQE，所以＞相遇。•吟S^BJE•阳即方咛X/X遍=[X）2XI,解得吟

所以点£到平面G初的距离为，

能力提升

15.A解析将正三棱台/6CT心G补全为正三棱锥S-ABC.

A

R

因为44_L平面BrBCa,

即弘，平面SBC,

即//萍//SC=90。，

根据正三棱锥的性质可得，NBSCWO。.

因为所以合为胡的中点，同理可得,4为外的中点，G为SC的中点.

取SG的中点〃连接&D,AD,则RD//BQ.

所以ZAB.D即为异面直线A&与BQ所成的角（或补角）.__________

不妨令SB2则ABN12+22=V5,AD=^22+（|）2=乎,O=ll2+（|）2=今

在△48。中,由余弦定理得AI}=ABl+DBl-2ABi-DBicos/ABW,即（师小（遮产衅上邛xVScos

/A&D,解得cos/超品,所以异面直线/笈与磨所成角的余弦值为|.

故选A.

16.D解析跖=而+西，耳=京一前=京一前一屈，

则雨*-CA1=（AD+砒）•（丽＞-AD-AB）^AD-AAl-AD2-AD-AB+AAl-AD-AA^-AB-

I

AA^=6,/BQhJ⑥+双产、而2+2AD•AA2+AA^=2夕，

In

[CAl^=A（AA^-ADJAB'）2=^AA1+AD2+AB2-2AA^•AD-2AB-AA1+2AD•AB=2A

C0S⑦Q，C力i＜砥11司==百

所以sin蝠，鬲=当

故选D.

17.AD解析在正四棱柱力员％4AG〃中，底面正方形力即9的边长为1,442如图.

当叫时，在矩形BCQBv中，tan/CBM^=tan/C&B,则NCBM=/CBiB,

所以氐入加

又因为/瓦L平面BCGBr,46t平面BCCB,所以ABLBC

因为ABHBM=B,AB,@仁平面ABM,

所以5；CL平面ABM,所以AMLBC故A正确.

因为AM与8c是异面直线,所以/〃与8c不可能平行,故BC与a不可能垂直,故B错误.

因为/此平面是平面a的斜线，则46与平面。所成角

所以sin（9=cosABAM^-=—.

AMAM_

又因为当点〃在棱CG上移动时,V2^^V6,

所以聂<白<焉所以萼Wsin。wg故C错误.

<6AMV262

£>iG

当〃为棱制中点时,连接阳,M,AC,MBX,MIX,薇,如图所示,则有

AC=®AM=W,AB\=AD\X,所以AM+MBl^>=ABl，所以AMLMB,.

同理可得,AMY.MD,.

又因为姐AJffl或倒,磔u平面MBM,

所以刈小平面屹；"，

所以平面。截正四棱柱所得截面多边形为正三角形反加,

所以其周长35^72,故D正确.

故选AD.

18.解（1）由题可得,以一018c=V01-ABc=jxi%3X3X3^.

⑵过点a作a。，平面切交平面/腼于点。，连接加,/。（图略），则/a/。即为直线4a与平面

48切所成的角.

:Q02A0当,加普

.".cosAOiAO^-=—.

A0r3

19.（1）证明连接初交/。于点。，连接庞：

p

因为CD//AB,所以吆=竺