2024年广东省深圳市南山区中考一模数学试题（解析版）

前海学校2023-2024学年第二学期九年级一模数学试卷

一.选择题（每题3分，共30分）

1.一小袋味精的质量标准为“5°±0-25克，，，那么下列四小袋味精质量符合要求的是（）

A.50.35克B.49.80克C.49.72克D.50.40克

【答案】B

【解析】

【分析】先根据一小袋味精的质量标准为“50±0.25克”，可求出一小袋味精的质量的范围，再对照选项逐

一判断即可.

【详解】解：•••一小袋味精的质量标准为“50±0.25克”，

.••一小袋味精的质量的范围是49.75-50.25

只有B选项符合，

故选B.

【点睛】本题考查了正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键.

2.2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星.北斗系统作

为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000

亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（）

A.3xlO8B.3xio9c.3xio10D.3xl0n

【答案】D

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlO",其中"为整数.

【详解】解：3000亿=300000000000=3x10”.

故选：D.

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中lW|a|<10,"为整数.确

定〃的值时，要看把原来的数，变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数，确定。与"的值是解题的关键.

3.由一个长方体和一个圆柱组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（）

/主视方向

A.

C.

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看到的图形是俯视图，是解答本题的关键，根据从

上面看到的图形是俯视图，即可解答.

【详解】从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆，

故选：D.

4.下列计算中，正确是（）

A.a~-a3—a5B.（/）=a5C.（2«）5=10«5D,a4+a4—as

【答案】A

【解析】

【分析】根据同底数幕相乘法则计算判断A,根据幕的乘方法则计算判断B,然后根据积的乘方法则计算判

断B,最后根据合并同类项的法则计算判断D.

【详解】因为〃/3=储+3=/，

所以A正确；

因为（/）2=.3x2=。6,

所以B不正确；

因为（2a>=25a$=32a5,

所以C不正确；

因为1+1=2/,

所以D不正确.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了累的运算，掌握运算法则是解题的关键.

5.如图，已知直线ABCD,EG平分NBEF,Zl=40°,则N2的度数是（）

A.70°B.50°C.40°D,140°

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行线的性质可得NEFG=N1=4O。，NEFG+NBEF=180°,NEGF=NBEG,推得

=140。，根据角平分线的性质可求出/BEG的度数，即可求得N2的度数.

【详解】VABCD,

：.ZEFG=Z1=40°,ZEFG+ZBEF^QP,NEGF=NBEG,

ZBEF=180°-40°=140°，

又：EG平分NBEF,

：.ZBEG=-ZBEF=1Q°,

2

Z2=ZBEG=10。

故选：A.

【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质.熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题

的关键.

6.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以

。为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角/。=120。形成的扇面，若。A=3m,05=1.5m,则阴影

部分的面积为（）

图1

图2

A.4.25^-m2B.3.25WC.3^-m2D.2.25W

【答案】D

【解析】

【分析】根据S阴影=s扇形AOO-S庸形BOC求解即可.

【详解】解：S阴影=S扇取AO0-S扇形BOC

120万120万。笈

-360360-

22

=120^(OA-OB)

360

=1(32—1.52)

3

=2.25TT(m2)

故选：D.

【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积,熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

7.如图，在平面直角坐标系中，有三点4(0,1),B(4,l),C(5,6),则sinNB4C=()

「6.-

2

【答案】C

【解析】

【分析】如图，取格点。，连接CD,AD，则8在A£＞上，由A（O,1）,5（4,1）,C（5,6）,证明4AC=45。,

亚

可得sinABAC=sin45°=、一

2

【详解】解：如图，取格点。，连接CD,AD,则B在AD上,

VA（o,l）,3（4,1）,C（5,6）,

AD=5,CD=5,ZAT>C=90°,

ZSAC=45°,

Ji

sinABAC=sin45°=—

2

故选C

【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅

助线构建直角三角形是解本题的关键.

8.如图，点尸在△ABC的边AC上，要判断添加一个条件，不正确的是（）

A.NABP=NCB.ZAPB=ZABC

AP_ABABAC

CD.----------

'通=益BPCB

【答案】D

【解析】

【详解】解：A.当时,

又；ZA=ZA,

AABP^AACB,

故此选项错误；

B.当时,

又•:ZA=ZA,

LABPsAACB,

故此选项错误;

,APAB

C.当——=——时,

ABAC

又：ZA=ZA,

AABPS^ACB,

故此选项错误;

D.无法得到△ABPS^ACB,故此选项正确.

故选：D.

9.如图1,点尸从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到

PB_

顶点B.设点P运动的路程为x,—=y,图2是点尸运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC

的边长为（）

4P)

A.6B.3C.473D.273

【答案】A

【解析】

【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点。，再从点。沿直线运动到顶点

B.结合图象可知，当点P在A0上运动时，PB=PC,AO=25易知N54O=NC4O=30°,当

点尸在。8上运动时，可知点P到达点B时的路程为4有，可知40=03=26，过点。作8_LAB,解

直角三角形可得AD=AO-cos30°=3,进而可求得等边三角形ABC的边长.

【详解】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点。，再从点。沿直线运动到顶

点反

A

结合图象可知，当点尸在A。上运动时，一=1,

PC

：.PB=PC,AO=2百，

又,:ABC为等边三角形，

ZBAC=60°,AB=AC,

：.AAP%△APC(SSS),

：.ZBAO=ZCAO,

：.ZBAO=ZCAO^30°,

当点、P在OB上运动时，可知点尸到达点B时的路程为473，

•*-OB=2A/3-HPAO=OB=1sl3，

ZBAO^ZABO=30°,

过点。作级AB,

:•AD=BD,则AD=A0cos3O°=3,

:.AB=AD+BD-6,

即：等边三角形ABC的边长为6,

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件.

10.皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+1L-1,

2

其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点

为格点.已知4(0,30),5(20,10),0(0,0),则一A3O内部的格点个数是()

A.266B.270C.271D.285

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据题意画出图形，然后求出，A6O的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可.

【详解】如图所示，

V4(0,30),5(20,10),0(0,0),

SVABO=；x30x20=300,

OA上有31个格点，

上的格点有(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5),(12,6),(14,7),(16,8),(18,9),

(20,10),共10个格点,

A5上的格点有(1,29),(2,28),(3,27),(4,26),(5,25),(6,24),(7,23),(8,22),(9,21),

(10,20),(11,19),(12,18),(13,17),(16,14),(15,15),(16,14),(17,13),(18,12),

(19,11),共19个格点，

边界上的格点个数£=31+10+19=60,

S=N+-L-1,

2

：.300=2V+-x60-l,

2

.••解得N=27L

.ABO内部的格点个数是271.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想.

二.填空题(每题3分，共15分)

11.因式分解：3/—12=.

【答案】3(%+2)(%-2)

【解析】

【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键.首先提取公

因式3,再利用平方差公式分解因式即可.

详解】解:原式=3(/—4)

=3(%+2)(%-2).

故答案为：3(x+2)(x-2).

42

12.分式方程——=—的解是.

x-2x

【答案】x=—2

【解析】

【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解.

【详解】解：去分母得：2(x—2)=4x,

解得：x=—2,

检验：当x=—2时，2)w0,

原方程的解为x=—2.

故答案为：x=-2

【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.解分式方程注意要检

验.

13.如图，在中，ZBAC=90，AB=AC,点。为上一点，连接AD.过点2作5石，AD

于点、E,过点C作CNJ.AD交A。的延长线于点?若3E=4,CF=1,则所的长度为.

【答案】3

【解析】

【分析】证明得到3E=A£CF=AE,即可得解.

【详解】解：4c=90°,

：.ZEAB+ZEAC^90°,

VBE±AD,CFVAD,

：.ZAEB=ZAFC=90°,

：.ZACF+ZEAC^90°,

：.ZACF=ZBAE,

在△AFC和ABEA中：

ZAEB=ZCFA

<ZACF=NBAE,

AB=AC

：.AAFC^ABEA(AAS),

：.AF=BE=4,AE^CF^1,

：.EF=AF-AE=4-1=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质.利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全

等是解题的关键.

1k

14.如图，平行于x轴的直线/与反比例函数>=—(尤>0)和y=—(x>0)的图像交于A、2两点，点C是x轴

XX

上任意一点，且一ABC的面积为3,则上的值为.

【答案】7

【解析】

【分析】根据反比例函数人的几何意义，得出S&BCMSAMOMSABOM-SNOMUS,进而得出，口-g=3,求

解即可.

【详解】解：如图，连接Q4,OB,

贝I^AABC=^/\ABO=S/\BOM~^/\AOM=3，

S/^AOM=万，SBQM=—||,

・••11心一!=3,又上〉0,

22

:.k=Q,

故答案为：7.

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，人的几何意义，理解

反比例函数人的几何意义是解决问题的关键.

15.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE,过点B作BG±AE于点G,连接CG

并延长交AD于点F,当AF的最大值是2时，正方形ABCD的边长为.

【答案】8.

【解析】

【分析】以AB为直径作圆0,则/AGB=90。，当CF与圆。相切时，AF最大，AF=2,由切线长定理的

AF=FG,BC=CG,过F作FHLBC与H,则四边形ABHF为矩形，AB=FH,AF=BH=2,设正方形的边长

为x,在RtZSFHC中，由勾股定理得x2+(x-2)2=(x+2)2解之即可.

【详解】以AB为直径作圆O,

VAB为直径,

ZAGB=90°,

当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2,

由切线长定理的AF=FG,BC=CG,

过F作FH_LBC与H,则四边形ABHF为矩形，AB=FH,AF=BH=2,

设正方形的边长为x,

则HC=x-2,FC=2+x,FH=x,

在Rt^FHC中，由勾股定理得,

x2+(x-2)2=(x+2)2,

整理得：X2-8X=0,

解得x=8,x=0(舍去)，

故答案为：8.

【点睛】本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角,

引辅助圆与辅助线，正方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构

造分析是解题关键.

三.解答题(共55分)

16.计算:|—^31—(4—yr)0—2sin60°+-

【答案】4

【解析】

【分析】先化简绝对值，零次幕及特殊角的三角函数、负整数指数幕，然后计算加减法即可.

【详解】解：原式=6—l—2x^+5

2

=4.

【点睛】题目主要考查绝对值，零次幕及特殊角的三角函数、负整数指数幕，熟练掌握各个运算法则是解

题关键.

x2-4x+4

17.先化简，再求值:其中x=3.

x-1

2+x

【答案】

2-x

【解析】

【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案.

3(x+l)(x—1)x-1

【详解】解：原式=

x-1x-1(x—2)2

3-(x+l)(x-l)x-1

x-l(X-2)2

4-x2x-l

x-l(x-2)2

_（2+x）（2-x）x-l

―（2-4

2+x

~2-x

当x=3时，原式=一5,

故答案是：-5.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要

约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键.

18.某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽

样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.根据图中提供的信

息，解答下列问题：（写出必要的计算过程）

（1）这次调查的学生共有多少名？

（2）请将条形统计图补充完整.

（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查,根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到

学生关注最多的两个主题的概率.（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）

【答案】⑴280名

（2）见解析（3）七

【解析】

【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用树状图或列表法求概率，能从统计图中找到相关信息

是解答的关键.

(1)用关注“平等”的人数除以其所占的百分比求解即可；

(2)求出关注“互助”和“进取”的人数，进而补全统计图即可；

(3)画出树状图得到所有等可能的结果，再找到满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可.

【小问1详解】

解：56+20%=280(名)，

答：这次调查的学生共有280名；

【小问2详解】

解：关注“互助”的人数为280x15%=42(名)，关注“进取”的人数为280—42—56—28—70=84

(名)，

补全条形统计图，如图所示，

【小问3详解】

解：由题意，学生关注最多的两个主题是“感恩”和“进取”，即“C”和“E”，

列树状图如下：

开始

ABCDE

/yK

BCDEACDEABDEABCEABCD

由图知，共有20种等可能的结果数，其中恰好选到“C”和“E”有两种,

21

所以恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率=一=一.

2010

19.某校在商场购进A,B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买8品牌篮球花费了2000

元，且购买A品牌篮球的数量是购买2品牌篮球数量的2倍，已知购买一个8品牌篮球比购买一个A品牌

篮球多花30元.

（1）问购买一个A品牌，一个8品牌的篮球各需多少元？

（2）该校决定再次购进A,8两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌

篮球售价比第一次购买时提高了8%,2品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A,

8两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个3品牌篮球？

【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个2品牌的篮球需80元

（2）该校此次最多可购买20个B品牌篮球

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用：

（1）设购买一个A品牌的篮球需尤元，则购买一个8品牌的篮球需（X+30）元，根据等量关系列出方程，

解方程并检验即可求解；

（2）设该校可购买。个2品牌篮球，则购买A品牌的篮球（50-个，根据不等关系列出不等式并解不等

式即可求解；

理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键.

【小问1详解】

解：设购买一个A品牌的篮球需了元，则购买一个B品牌的篮球需（X+30）元,

2500c2000

依题意得:______—7\z________

xx+30

解得：x=50>

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意,

50+30=80（元），

答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元

小问2详解】

设该校可购买。个3品牌篮球，则购买A品牌的篮球（50-个,

依题意得：50x(1+8%)(50-a)+80x0.9a<3060,

解得：a<20,

答：该校此次最多可购买20个8品牌篮球.

20.如图，在ABC中，ZC=90°,/8AC的平分线交于点。，过点£>作A。的垂线交A5于点

（1）请画出VA。石的外接圆一O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证：BC是。的切线；

（3）过点D作DF_LAE于点尸，延长。歹交1O于点G,若DG=8,EF=2.求O的半径.

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）:O的半径为5

【解析】

【分析】（1）根据圆周角定理可知AE是VADE的外接圆的直径，所以作AE的垂直平分线，交AE于点

O,以。为圆心以。4为半径画圆即可；

（2）根据连接。。，由AE为直径、DE1AD可得出点。在，O上且=根据AD平

分NC45可得出NC4£>=NZMO=NA£>O,由内错角相等，两直线平行可得出AC〃。（9,再结合

/。=90°即可得出/。。5=90°,进而即可证出5。是（。的切线；

（2）设OD=r,根据勾股定理列方程可得/•值.

【小问1详解】

解：圆周角定理可知AE是VADE的外接圆的直径，所以作AE的垂直平分线，交AE于点O，以。为圆

心以。4为半径画圆即可，

如图1所示，O即为所求；

证明：如图2,连接0。,

c

D

图2

AD平分/C钻,

:.ZCAD=ZOAD,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

.-.ZCAD^ZODA,

：.AC//DO,

:.ZC=ZODB,

“=90°,

:.NODB=90°,

:.OD±BC,

OD为、O的半径，

.•.BC是：O的切线；

【小问3详解】

解：设一。的半径为广,

图3

EF=2,

OF=r-2,

DF±AE,

：.DF=GF=-DG=4,

2

在RtZM9£>R中，NQFD=90。,

OD=r,OF=r—2,DF=4,

：.r

解得：r=5,

：.。的半径为5.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关知

识是解题关键.

21.用四根一样长的木棍搭成菱形ABC。，P是线段。。上的动点(点尸不与点。和点C重合)，在射线

3P上取一点M,连接DW,CM,使NCDM=NCB产.

操作探究一

(1)如图1,调整菱形A6CD，使NA=90。,当点M在菱形ABCD外时，在射线3。上取一点N,使

MC

BN=DM,连接CN,则NBMC二

MN

操作探究二

(2)如图2,调整菱形A6CD，使NA=120。，当点加在菱形ABC。外时，在射线旅上取一点N,使

BN=DM,连接CN,探索MC与的数量关系，并说明理由.

拓展迁移

(3)在菱形ABCD中，ZA=120°,AB=6.若点尸在直线CD上，点M在射线5P上，且当

NCDM=NPBC=45。时，请直接写出的长.

【答案】⑴45。，冬(2)MN=43MC，理由见解析；⑶的长度为9后—3n或+36.

【解析】

【分析】(1)证明BCN”DCM(SAS)得到ZBCN=ZDCM,CN=CM,从而得到

ZDCM+ZDCN=ZMCN=90°,推出ZWCN为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得

到答案;

(2)证明BCN^DCM(SAS)得至【JZBCN=ZDCM,CN=CM,从而得到

ZDCM+ZDCN=ZMCN=nO°,作CE_LBP交BP于E,则VE=NE,ZCEM=90°,根据含30。角

的性质及勾股定理得出EM=与CM,从而得到MN=2EM=6CM;

(3)当NCDM=NPBC=45。时，点M和点N重合，再分两种情况：当点尸在线段CD的延长线时，过点

M作于点尸；当点P在。C的延长线上时，过点M作交。C的延长线于点R；利用

等腰直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案.

【详解】解：(1)四边形A5CD正方形，

:.BC=CD,ZBCD=9Q°,

在/\BCN和ADCM中，

BC=DC

<ZCBN=ZCDM,

BN=DM

BCNR£>CM(SAS),

:.ZBCN=ZDCM,CN=CM,

ZBCN+ZDCN=NBCD=90°,

ZDCM+ZDCN=ZMCN=90°,

是等腰直角三角形，

:.NCMN=45°,—=cosZCMN=cos45°=—,

MN2

:.ZCMB=45°,—=—,

MN2

故答案为：45°,旦;

2

(2)MNgMC，理由如下：

四边形ABC。是菱形，NA=120°,

:.BC=CD,ZBCD=ZA=120°,

在ABOV和ADCM中,

BC=DC

<ZCBN=ZCDM,

BN=DM

BCNRZ)CM(SAS),

:.ZBCN=ZDCM,CN=CM,

ZBCN+ZDCN=ZBCD=120°,

ZDCM+ZDCN=ZMCN=120°,

CM=CN,

:・/CMN=/CNM,

ZCMN+/CNM+ZMCN=1800,

180。—NMCN

ZCMN=ZCNM

2

如图2,作CE_LBP交BP于E,则ME=NE,/CEM=90。,

图2

在Rt^CEM中，/CME=30°,/CEM=90。,

CE=-CM,

2

EM=yJCM2-CE2=^CM2-(|CM)2=5CM,

MN=2EM=2XBCM=辰M；

2

(3)当NCCM=NPBC=45。时，点M和点N重合,

如图3,当点P在线段CD的延长线时，过点/作MRJLCD于点歹,

图3

设MD=x,

MFVCD,ACDM=45°,

:..DFM为等腰直角三角形，

DF^MF=~x,

2

四边形ABC。是菱形，，NA=120°,AB=6,

：.BC=CD=6,ZBCD=120°,

由菱形的对称性及NCDM=NPBC可得ZMCF=NBCM=-NBCD=60°,

2

在RtzXMC尸中，ZMCF=60°,/MFC=90°,

MFr~

——二tanZMCF=tan60°=V3,

CF

72

,CF"

拒6

DF+CF=^x+^x=CD=6,

26

x=9®-3屈，

MD=9A/2-3A/6:

如图4,当点尸在。C的延长线上时，过点M作MPLCO交。C的延长线于点尸,

图4

设加E>=y,同①可得：DF力丫,CF=%,

26

・Z7「口母巫A

…DF-CF=——y------y=6,

26

・7=90+3",

MD=90+3娓,

综上所述，的长度为90-3#或9亚+36.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的

性质、锐角三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是

解此题的关键.

22.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究丁=双2（。＞0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类

型图象上任意一点尸到定点的距离"始终等于它到定直线/：勺距离PN（该结

论不需要证明）.他们称：定点F为图象的焦点，定直线/为图象的准线，丁=-工叫做抛物线的准线方

4a

程.准线/与y轴的交点为其中原点。为切的中点，FH=2OF=—.抛物线＞=2必，

2a

其焦点坐标为尸［o,；］,准线方程为/：y=--，其中=FH=2OF=~.

\oj84

基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线y=!炉的焦点坐标和准线/的方程：,；

4

【技能训练】

（2）如图2,已知抛物线y=上一点＞o）到焦点尸的距离是它到x轴距离的3倍，

求点P的坐标；

【能力提升】

（3）如图3,已知抛物线y=Lx?的焦点为F,准线方程为/.直线加y=；x-3交y轴于点C,抛物

42

线上动点尸到不轴的距离为4,到直线机的距离为请直接写出4+4的最小值;

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线^^^^^^（^平移至丫二“彳-犷+乂.〉。）.抛物线

y=a（x-〃『＞0）内有一定点尸|”,左，直线/过点”1丸，左一圭）且与X轴平行.当动点尸在

该抛物线上运动时，点尸到直线/的距离尸4始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）.例如：抛

物线'=2(1)2+3上的动点尸到点E的距离等于点尸到直线/：y=——的距离.

8

请阅读上面的材料，探究下题:

（4）如图4,点。是第二象限内一定点，点尸是抛物线丁=；f—1上一动点，当PO+PD取最

小值时，请求出_PQD的面积.

【答案】（1）（0,1）,y=—l；

【解析】

【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；

（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得=8为2+2%-1，然后根据为=；/2,求出％,

进而可得为,问题得解；

（3）过点P作直线加交于点E，过点尸作PGL准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知

PG=PF=4+I,PE=L，根据两点之间线段最短可得当尸，P,E三点共线时，4+4的值最

小；待定系数法求直线PE的解析式，求得点尸的坐标为（2君-4,9-4石），根据点E是直线PE和直

线机的交点，求得点E的坐