2024年高考数学二轮复习 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题(新高考专用)_第1页
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文档简介

■考点解密■

⑴-2)近

在一些定点、定值、定线问题中,还常出现需要证明类似为定值的情形,通过直线代换可得:

(Ji+2%

(y-2)瓦_(fcr+2)xj_殖叼+2、i

22但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式,这种式子一般称为

(劝+2)叼(fcL-i+6)x2匕1必+6叼

IL

“非对称韦达定理”.或者在处理斜率比值的时候:等=7^7=士U二二=咐:

kPBJU-r再以一ai知巧+(加—?)再

我们明明求了韦达定理却无法代入,这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到再+巧和演•电之间的关系,

将其中一个替换,常用手段是把乘法的替换成加法.

这样的非对称形式,即韦达定理无法直接代入,可以通过韦达定理构造互化公式,先局部互化,然后可整

理成对称型.

具体办法:

①联立方程后得到韦达定理:[\+*==水/西+毛)=双力巧巧代入之后进行代换消元解题.

g=g«)

②利用点在椭圆方程上代换

■题型解密I

【精选例题】

【例1】已知双曲线C:£-丈=1(。>0)的左顶点为4右焦点为尸,尸是直线,:x=g上一点,且P不在x

(r3tr2

轴上,以点P为圆心,线段P尸的长为半径的圆弧4F交C的右支于点N.

(戊正明:41PN=2NVP尸;

(2欺a=1,若直线P尸与C的左、右两支分别交于E,D两点,过E作/的垂线,

垂足为处试判断直线)是否过定点若是,求出定点的坐标;若不是,请说明

理由.

【跟踪5练】

1.已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,目过点.4(2,0),3(1,咚),N为椭圆E上关于x轴

对称的两点(不与点5重合),2(L0),直线£0与椭圆E交于另一点c,直线。P垂直于直线,定,p为

垂足.

(1球E的方程;

(2成[明:⑴直线忒'过定点,(ii)存在定点X,使户用为定值.

2椭圆。撩+%=1(。>3>0)的一个焦点为KLO),且过点叫年.

(1球椭圆。的标准方程和离心率;

Q错过点目斜率不为0的直线与椭圆C交于跖N两点,点P在直线x=6上,目NP与x轴平行,

求直线恒过的定点.

题型二:利用F对称韦达定理思想解决斜率定值问题

【精选例题】

【例1】椭圆C:i『l(a>>>0)的长轴长为4,且椭圆C过点产,用.

(1或椭圆C的标准方程;

(2)已知.4、3为椭圆C的左'右顶点,过右焦点尸且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N,直线4M与

k+k

直线x=4交于点P,记RI、加、RM的斜率分别为占、司、后,问是否是定值,如果是,求出该

A.

定值,如果不是,请说明理由.

【例2】已知椭圆C:£+三=1(9>0)的左、右顶点分别为.4,B,离心率为寺,点P;i|]为椭圆上一

点.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)如图,过点C(0,1)目斜率大于1的直线/与椭圆交于“,N两点,记直线的斜率为而,直线5v

的斜率为而,若Q=2比,求直线/斜率的值.

【跟踪训练】

L已知点尸为椭圆E:二+匕=1的右焦点,.4,5分别为其左、右顶点,过尸作直线/与椭圆交于M,N

43

两点坏与.4,3重合),记直线.4M与BN的斜率分别为丸向,证明

2.已知双曲线C:±-£=1(。>0力>0)的离心率为0,点(3T)在双曲线C上过C的左焦点尸作直线/

交C的左支于一4、3两点一

(1球双曲线。的方程;

(2期”(-2,0),试问:是否存在直线/,使得点〃在以期为直径的圆上嘴说明理由.

(3)点尸(T2),直线“交直线x=-2于点。设直线,、Q8的斜率分别占、原,求证:占-&为定值.

ran:不吸

【精选例题】

【例1】已知3(-1,0)£(1,0)为dMC的两个顶点,尸为~1BC的重心,边上的两条中线长度之和为

6.

(1或点尸的轨迹7的方程.

⑵已知点N(T0).T0),尸(2,0),直线RV与曲线T的另一个公共点为。,直线呼与肛交于点试

问:当点尸变化时,点V是否恒在一条定直线上?若是,请证明;若不是,请说明理由.

【例2】已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2抬,0),离心率为

(1或。的方程;

Q泥C的左、右顶点分别为4,4,过点(4,0)的直线与c的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线

M4,与,讽交于点P.证明:点尸在定直线上一

【跟踪期练】

1.已知圆q:(x+岔y+V=i,圆q:(x-正y+j,2=25,动圆c与圆C和圆4均相切,且一个内切、一个

外切.

(1球动圆圆心C的轨迹E的方程.

(2)已知点^(0.-2),5(0,2),过点(0,1)的直线/与轨迹E交于两点,记直线与直线BV的交点为

P.试问:点尸是否在一条定直线上?若在,求出该定直线;若不在,请说明理由.

2.已知椭圆C:三+1=1(。>方>11的左、右焦点分别为小月,上顶点为A,耳到直线":的距离为凤

且即1=2.

(1床椭圆C的标准方程;

(2港过月且斜率为联比#0)的直线,与椭圆C交于D,E两点,椭圆C的左、右顶点分别为4,4,证明:

直线A.D与4E的交点在定直线上.

3.已知椭圆甲:三+工=1(加>0]的长轴长为4,左、右顶点分别为.4,B,经过点P(l,0)的动直线与椭

4w7W

圆甲相交于不同的两点c,D(不与点.4,B重合).

(1冰椭图用的方程及离心率;

(2期直线CB与直线.也相交于点判断点M是否位于一条定直线上?若是,求出该直线的方程;若不

是,说明理由.

■考点过关练L

1.已知椭圆E的左、右焦点分别为£(Y,0),£(c,0)(c>0),点M在椭圆E上,血鼻_L月工,△,1阴£的

周长为4+2第,面积为.

(1床椭圆E的方程.

(2)1殳椭圆E的左、右顶点分别为一4,B,过点(L0)的直线/与椭圆E交于C,。两点(不同于左右顶点),

记直线-4C的斜率为占,直线3D的斜率为",问是否存在实常数2,使得用=生,恒成立?若成立,求

出/的值,若不成立,说明理由.

2.椭圆二+2=l(a>方>0)的左、右顶点分别为H,B,过左焦点尸(T0)的直线与椭圆交于C,。两点(其

中c点位于X轴上方),当CD垂直于x轴时,「刈=3.

(1或椭圆的方程;

(2圮直线.4C,3D的斜率分别为此用,问;£是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

3.已知圆C:(x+指)'+V=l,圆c?:(x-指)、科=25,动圆C与圆G和圆C均相切,且一个内切、一

个外切.

(1球动圆圆心C的轨迹E的方程.

⑵已知点40.-2),3(0,2),过点(0,1)的直线/与轨迹E交于两点,记直线与直线BV的交点为

P.试问:点尸是否在一条定直线上?若在,求出该定直线;若不在,请说明理由.

4.已知椭圆犷:二+二=1(m>0)的长轴长为4,左、右顶点分别为.4,B,经过点P(1,0)的动直线与

4加w

椭圆方相交于不同的两点c,D(不与点一4,3重合).

(1球椭圆甲的方程及离心率;

(2港直线CB与直线一4。相交于点M,判断点M是否位于一条定直线上?若是,求出该直线的方程;若不

是,说明理由.

5.已知椭圆C:±+9=l(a>b>0)的左、右焦点分别为月,%,。为坐标原点,点;在椭圆C上,

fi|^|=|,直线/过点6且与椭圆。交于43两点.

(1球椭圆。的标准方程;

(2)已知函=两,函=取,若直线AM,BN交于点。,探究:点D是否在某定直线上?若是,求出

该直线的方程;若不是,请说明理由.

6.已知椭圆E:*'+方=1(。>方>0),尸(2死0)为椭圆E的右焦点,三点(之胃,力,,^,(2,g)

中恰有两点在椭圆石上.

(1或椭圆E的标准方程;

(2)1殳点43为椭圆E的左右端点,过点”(2,0)作直线交椭圆E于尸,。两点(不同于43),求证:直线

AP与直线SO的交点N在定直线上运动,并求出该直线的方程.

7.已知尸是椭圆C:I+2=l(a>>>0)的左焦点,。为坐标原点,〃为椭圆上任意一点,椭圆的离心率

q-a

为4,△MOF的面积的最大值为4-

22

(1或椭圆C的方程;

(2)A,2为椭圆的左,右顶点,点P(L0),当M不与A,E重合时,射线MP交椭圆C于点N,直线4K,

RM交于点7,求乙173的最大值.

8.已知椭圆c:L+J=l(a>匕>0)的离心率为4,右焦点为尸(括,0),A,3分别为椭圆C的左、右

顶点.

(1或椭圆C的方程;

(2对点。(L0)作斜率不为。的直线/,直线/与椭圆C交于P,。两点,记直线〃的斜率为左,直线园的

斜率为总,求证:工为定值;

(3泄(2)的条件下,直线"与直线80交于点“,求证:点”在定直线上.

微考点6-2圆锥曲线中的弦长面枳类问题(三大题型)

■考点解密

直线与圆锥曲线相交,弦和某个定点所构成的三角形的面积,处理方法:

法:S=gb即(其中国|为弦长,d为顶点到直线AB的距离),设直线为斜截式kAx+m

进一步,S=U必(再+巧)2-4再再战向

22Jl+3

端珠方法:拆分法,可以将三角形沿着x轴或者V轴拆分成两个三角形,不过在拆分的时候给定的顶点一

般在x轴或者轴上,此时,便于找到两个三角形的底边长.

=S»QA+S*0B=2|尸Q|I一J,BI^AR4B=S夕3+S^PQB=]|尸。||与一"BI

=;|尸。|+")'一纣必=|尸Q|#—+巧)2-4再巧

③^标法:设K(再力)3(巧,H),则Sq0B=:I不巧一七MI

④面积比的转化:

三角形的面积比及其转化有一定的技巧性,一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之

比或者设点法解决的坐标形式,通常有以下类型:

L两个三角形同底,则面积之比转化为高之比,进一步转化为点到直线距离之比

2.两个三角形等高,则面积之比转化为底之比,进一步转化为长度(弦长之比)

3小J用三角形面积计算的正弦形式,若等角转化为腰长之比

4.面积的割补和转化

⑤四边形的面积计算

在高考中,四边形一般都比较特殊,常见的情况是四边形的两对角线相互垂直,此时我们借助棱形面积公

式,四边形面积等于两对角线长度乘积的一半;当然也有一些其他的情况,此时可以拆分成两个三角形,

借助三角形面积公式求解.

⑥注意某条边过定点的三角形和四边形

当三角形或者四边形某条边过定点时,我们就可以把三角形,四边形某个定顶点和该定点为边,这样就转

化成定底边的情形,最终可以简化运算.当然,你需要把握住一些常见的定点结论,才能察觉出问题的关键.

■题型解密I

题型一:利用弦长公式距离公式解决弦长问题

【精选例题】

【例1】已知椭圆£5+£=1(空方>0),用,理分别为左右焦点,点碘血),牛2坐在椭圆E上.

(1床椭圆E的离心率;

(2版左焦点冗且不垂直于坐标轴的直线/交椭圆E于.4,5两点,若.45的中点为M,。为原点,直线0M交

直线x=-3于点N,求■阿取最大值时直线/的方程.

【例2】已知圆Q:卜+3)+俨=手和圆Q:W-J5|+y2=:,以动点尸为圆心的圆与其中一个圆外

切,与另一个圆内切,记动点尸的轨迹为7.

(1球轨迹7的方程;

(2期斜率为-I的直线交轨迹7于A,3两点,求.43的长度的最大值.

【跟踪勘练】

1.已知椭圆C:—+^=l(o>6>0),圆。:x2+r+x-3v-2=0,若圆。过椭圆C的左顶点及右焦点.

(1床椭圆。的方程;

(2版点(1,0)作两条相互垂直的直线4,L,分别与椭圆相交于点4B,D,E,试求|.西|+四|的取值范围.

2.已知椭圆C:£+£=19>匕>0)的两焦点片(TO),月(1,0),且椭圆C过P|-布

(1冰椭图C的标准方程;

(2版点用作不与坐标轴垂直的直线/交椭圆C于A,2两点,线段的垂直平分线与丁轴负半轴交于点

若点。的纵坐标的最大值为-:,求|d?|的取值范围.

O

题型二:利用眩长公式距离公式解决三角形面蹴问题

【精选例题】

【例I】已知椭圆「的方程为»1(八。>0),称圆心在坐标原点。,半径为后寿的圆为椭圆「的

“蒙日圆”,椭圆「的焦距为2,离心率为J.

(1床椭圆「的方程;

(2港直线/与椭圆「交于A、3两点,与其“蒙日圆,交于。、D两点,当|CD|=4时,求&408面积的最大值.

【例2】已知椭圆.+J=l(a>b>0)的左、右焦点分别是月,月,上顶点为4椭圆的焦距等于椭圆的

长半轴长,目△■步月的面积为

(1或椭圆的标准方程;

(2港B,C是椭圆上不同的两点,目直线AB和直线一4c的斜率之积为:,求315c面积的最大值.

【例3】动点P(xj)满足方程旧+(J-以+旧+。+1)'=4.

(1球动点P的轨迹T的方程;

(2股过原点的直线/与轨迹r相交于45两点,设川XQ,J,尸(0,1),连接X尸泮尸并分别延长交轨迹「于点

D,E,记△NBFADE尸的面积分别是用,求]的取值范围.

【例4】已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为尸(L0),且长轴长是短轴长的近倍.

(1或椭圆C的标准方程;

Q股过焦点尸的直线/与椭圆。交于-4、B两点,石是椭圆的另一个焦点,若人炳内切圆的半径r=4,

求直线/的方程.

【跟踪期练】

1.如图,已知椭圆。的焦点为月其(L0),离心率为坐,椭圆C的上、下顶点分别为43,右顶

点为。,直线/过点D且垂直于x轴,点。在椭圆。上(且在第一象限),直线-4。与/交于点N,直线即

与x轴交于点”.

OT/MlDx

(1床椭圆C的标准方程;

(2涉」定上4。〃(。为坐标原点)与△4DN的面积之和是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明

理由.

2.已知椭圆c的方程为摄+A"i刈,其离心率为3及,E为椭圆的左右焦点,过“作一条不

平行于坐标轴的直线交椭圆于45两点,A4因的周长为8』.

(I球椭圆C的方程;

(2版5作x轴的垂线交椭圆于点D.

①试讨论直线-4D是否恒过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

②求△/OD面积的最大值.

3.已知抛物线E的顶点为坐标原点。,焦点为尸(-L0).椭圆C的中心为。,左焦点为F,上顶点为A,

右顶点为3,且而万=1.

(1速抛物线E和椭圆C的标准方程.

(2瓶直线/经过点尸,与抛物线E交于尸,。两点,与椭圆。交于N两点.记△。也和4的面积

分别为S和邑,是否存在直线/,使得£:邑=7:3?若存在,求出/的方程;若不存在,请说明理由.

题型三:利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题

【精选例题】

睁】如图所示,椭圆4+小3匕>。)的上顶点和右顶点分别是a。#和3,离心"冬c,

D是椭圆上的两个动点,目CD//.4B.

(1注椭圆的标准方程;

(2或四边形438面积的最大值;

(3斌判断直线与BC的斜率之积是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.

【例2】已知理分别为椭圆T:5+点=1的左、右焦点,过点月的直线,与椭即交于45两点,目

△芯月的周长为4+24.

(1床椭班的标准方程;

(2港过点月的直线4与椭副交于C,D两点,旦[•L],求四边形.4C8。面积的取值范围.

【跟踪ill练】

1.已知椭圆C:9+八1,椭圆G:得+!”动点尸("。)在C」运动,过尸(”。)作C的两条

切线,切点分别为2R(提示:过椭圆C:5+?=1(4>方>0)上一点"(况")与。相切的直线方程为

mx〃】‘.、

亍+”)

(1球直线A3的方程(用%,尤表示);

(2)0为坐标原点,求四边形Q4PB的面积.

已知焦距为的椭圆用,耳分别为其左右焦点,过点的直线,与椭圆交

2.2M:S+2_=I(O>6>0),E

于A,3两点,“13月的周长为8.

(1床椭圆”的方程;

(2错过点月的直线,:与椭圆交于C,。两点且满足4,七求四边形-4的面积的最小值.

■考点过关练已

I.设椭圆二+2=1(。>匕>0)的左右顶点分别为44,左右焦点玛理.已知H引=3,|4典=1.

a'b-

(1冰椭圆方程.

(2港斜率为1的直线/交椭圆于.4,5两点,与以与耳为直径的圆交于C,。两点.若|库卜今2|8|,

求直线/的方程.

2.已知圆。:/+3产=4,点〃是圆。上任意一点,M在x轴上的射影为N,点P满足而=坐而7,记

点P的轨迹为区

(1球曲线E的方程;

⑵已知了(1,0),过尸的直线m与曲线E交于A,B两点,过尸且与m垂直的直线“与圆。交于C,。两点,

求卜5|+「。|的取值范围.

3.已知椭圆氏二+匕=1(。>方>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,且椭圆E过

丁b~

“2,1),斜率为•的直线/与椭圆E交于A、B.

(1波椭圆E的标准方程;

(2错线段AB的垂直平分线交•】‘轴于点尸(0.-;;,记”的中点为〃坐标为(利明目|,43|=4|PA/|,求直线/

的方程,并写出M的坐标.

4.已知椭圆C:/1(。>6>0)的左、右焦点分别为耳(-c.0)出(c。,高心率为白点;弓;在椭圆C上.

(1或椭圆C的标准方程;

(2旗点0-3,0)的直线/与椭圆C相交于A,3两点,记a4耳的面积为S,求S的最大值.

5.已知椭圆C:工+9=1(。>。>°)的离心率为*,椭圆上一动点P与左、右焦点构成的三角形面积的

最大值为手.

(I球椭圆C的方程;

(2)1殳椭圆C的左、右顶点分别为4B,直线P。交椭圆。于P,。两点,记直线HP的斜率为脑直线呢

的斜率为忆已知占=3幺,设—P。和V3P。的面积分别为名,求腐-叼的最大值.

6.已知椭圆C:二+2=1(。>方>0)的离心率为",左、右焦点分别为玛月,直线x=m与椭圆C交于43

两点,且△痴的周长最大值为8.

(1球椭圆C的标准方程;

Q)已知点P是椭圆c上一动点(不与端点重合),4,4分别为椭圆C的左右顶点,直线WP交)轴于点Q,

若△TP。与月p的面积相等,求直线月产的方程.

7.在平面直角坐标系xQr中,A、2为圆。:犬+俨=4与X轴的交点,点尸为该平面内异于A、3两点的

动点,且______,从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答.

条件①:直线与直线即的斜率之积为-9;

条件②:设。为圆。上的动点,。为点。在X轴上的射影,目尸为8的中点;

注:如果选择多个条件作答,按第一个计分.

(1感动点尸的轨迹方程(?;

(2港直线/与(D间中轨迹方程C交于时、N两点,与圆。相交于E、尸两点,且ZEOF=120。,求鼠?AW

面积最大值.

8.设椭圆。:£+a=1(。>方>0)的左、右焦点分别为月,£,上、下顶点分别为4,国,短轴长为2力,

过五目垂直于长轴的直线与椭圆。相交所得的弦长为3.

(1或椭圆C的标准方程;

(2瓶点片的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,若MV_L4£,试求内切圆的面积.

9.已知直线x+”b=。与椭圆E条+j,'l有且只有一个公共点.

(1泳椭圆E的方程;

(2渥否存在实数2,使椭圆E上存在不同两点、尸、。关于直线2x-J,-2=0对称?若存在,求2的取值范围:

若不存在,请说明理由;

(3海圆E的内接四边形438的对角线AC与助垂直相交于椭圆的左焦点,S是四边形一458的面积,求S

的最小值.

10.已知点P(xj)与定点MT0)的距离和它到定直线x=y的距离的比是寺.

(1球点尸的轨迹E的标准方程:

(2)1殳点N(LO),若点4c是曲线E上两点,目在X轴上方,满足4你小求四边形面积的最大值.

11.已知椭圆G:14=1与椭圆G有相同的离心率,椭圆C焦点在I轴上且经过点&6

(1床椭圆C的标准方程:

(2)1殳.4为椭圆C的上顶点,经过原点的直线/交椭圆于•干P,0,直线AP.AO与椭圆G的另一个交点分

别为点”和N,若与A4P。的面积分别为£和名,求蚤取值范围.

12.已知椭圆E:£+%=l(a>3>0)的离心率为坐,焦距为2,过E的左焦点尸的直线/与E相交于A,

3两点,与直线x=-2相交于点

(1床椭圆方程;

(2涪求证:|,网|叫叩到叫;

1111

(3旗点尸作直线1的垂线m与E相交于C,D两点,与直线x=-2相交于点N.求两+商+国+口到的

最大值.

微考点6-3圆锥曲线中的定点定值问题(三大题型)

■考点解密J

求解造流点问题常用方法5吓:

①“特殊探路,一般证明「即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;

②“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根

据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;

③求证直线过定点(X。,y0),常利用直线的点斜式方程『-乂=柯X-%).

④设直线为根据题目给出的条件,转化为坐标之间的关系,利用韦达定理找出上与M之间的

关系,即可求出定点。

■题型解密I

也一:融邂戋中直线a定盘谶

【精选例题】

【例1】已知P(O,1)为椭圆C:二+2=1(。>匕>0)上一点,点P与椭圆。的两个焦点构成的三角形面积

<rb-

为0

(1球椭圆C的标准方程;

(2环经过点P的直线/与椭圆C相交于.4,B两点,若直线PA与PB斜率的乘积为-1,证明:直线/必过

定点,并求出这个定点坐标.

【例2】已知椭圆。:土+?=1(。>6>0)的离心率”坐,且椭圆C经过点|;亨卜

(1波椭圆C的标准方程;

(2蓝点尸口0)且斜率不为零的直线与椭圆C交于瓦D两点,3关于x轴的对称点为A,求证:直线如与、

轴交于定点。.

【跟踪嘱】

1.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长,某些折纸活动蕴含丰富

的数学知识,例如:用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图):

步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点,记为尸;

步骤2:把纸片折蠡,使圆周正好通过点尸(即折矗后图中的点A与点尸重合);

步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与公的交点为尸;

步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.

现取半径为4的圆形纸片,设点尸到圆心E的距离为24,按上述方法折纸以线段EF的中点为原点,线

段EF所在直线为'轴建立平面直角坐标系x0r,记动点P的轨迹为曲线C.

(1球C的方程;

(2)1殳轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,3,点P为轨迹C上异于A,B,的动点,设中交直线x=4于

点T,连结$7交轨迹C于点。直线"、/。的斜率分别为忆八%.

<1)求证:-如为定值;

(ii)证明直线股经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标.

2.已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,且过点出2,0),Big),M,N为椭圆E上关于x

轴对称的两点(不与点5重合),0(L0),直线与椭圆E交于另一点C,直线。P垂直于直线,随,尸为

垂足.

(1球E的方程;

(2»正明:⑴直线吹过定点,(ii)存在定点R,使|尸码为定值.

题型二:留锥蛇戋中图过定点问题

【精选例题】

【例1】已知椭圆c:4+^=1(a>b>0)的离心率为立,其左、右焦点分别为石,月,7为椭圆C上

(rtr2

任意一点,△斤浜面积的最大值为1.

(1床椭圆。的标准方程;

(n

⑵已知.4(0,1),过点;0,5;的直线/与椭圆C交于不同的两点时,N,直线4V与X轴的交点分别为

P,。,证明:以做为直径的圆过定点.

【例2】在平面直角坐标系X。,中,已知椭圆C:£+%=1(。>方>0)过点(21),离心率为专,其左右

焦点分别为月,月.

(1港点尸与石,E的距离之比为:,求直线x-应丁+/=0被点P所在的曲线。截得的弦长;

(2»殳4,4分别为椭圆G的左、右顶点,。为C上异于4,4的任意一点,直线4。,4。分别与椭圆G

的右准线交于点M,N,求证:以为直径的圆经过:V轴上的定点.

【跟踪幅】

1.设椭圆。:1+1=1(。>方>0)的离心率为),点人为椭圆上一点,/;/£的周长为6.

ATb*2

(I东椭圆C的方程;

(2)1殳动直线/:)=4•+加与椭圆C有目只有一个公共点尸,目与直线x=4相交于点。.问:X轴上是否存在定

点时,使得以做为直径的圆恒过定点〃?若存在,求出点”的坐标3若不存在,说明理由.

2.在平面直角坐标系x@,中,已知椭圆。:£+3=1(。>。>0)的长轴长为4,且经过点其中e

为椭圆。的离心率.

(1床椭图。的方程;

(2时点平U)的直线/交椭圆C于.4,5两点,点B关于x轴的对称点为厅,直线JB'交x轴于点。,过点

。作/的垂线「,垂足为已求证:点H在定圆上.

题型三:圆锥■戋中图过定值问题

【精选例题】

【例1】在平面直角坐标系X。,中,已知椭圆C:M+I=l(a>3>0)的离心率为挈,目右焦点尸到直线

/方=_三的距离为qr

C

(1球椭圆的标准方程;

Q股椭圆c上的任一点后E,匕),从原点。向圆“«-》。)2+0,-题『=8引两条切线,设两条切线的斜

率分别为,,&(贴*0),

(/)求证:,也为定值;

(n)当两条切线分别交椭圆于只。时,求证:|8『+|。。『为定值.

【例2】已知椭圆C:=+1=1但>方>0)离心率””,且经点|

CT2I1

(1或椭圆C的标准方程;

(2衬椭圆。右焦点的直线/交椭圆于两点,交直线x=2于点口且设直线。月,QD,0B

k+上

的斜率分别为占,k,号,若网#o,证明」7」为定值.

【例3】已知椭圆C:工+[=1(。>方>0)过点月(-2,-1),离心率””.

(1或椭圆。的标准方程;

(2)1殳过点A的斜率为上直线/交椭圆。于另一点B,若,OAB的面积为2,其中。为坐标原点,求直线/的斜

率上的值;

(3)1殳过点5T0)的直线/'交椭圆C于点?,N,直线一也,N4分别交直线x=7于点尸,。.求证:线段

世的中点T为定点.

【跟踪W练】

1.如图,。为圆。:M+J,2=1上一动点,过点D分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为.4,B,连接由并

延长至点w,使得FM=i,点犷的轨迹记为曲线c.

(1球曲线C的方程;

(2港过点邛-2,0)的两条直线分别交曲线C于跖N两点,目皿,求证:直线MV过定点;

(3期曲线C交y轴正半轴于点5,直线'=5与曲线。交于不同的两点G,H,直线SH,SG分别交x轴于

P,Q两点.请探究:j轴上是否存在点R,使得“RP+/。父。=m?若存在,求出点R坐标;若不存在,请

说明理由.

3.已知椭圆C:±+2=l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为定点P(」KO).

(1或椭圆。的方程;

(2)1殳直线43与椭圆C分别交于点43(2不在直线.43上),若直线E4,所与椭圆。分别交于点M,N,

且直线.45过定点问直线的斜率是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.

4.已知椭圆C:的左、右顶点分别为.4,B,其离心率为半,点P是C上的一点(不

同于.4,5两点),目aP.43面积的最大值为3招.

(1球。的方程;

(2港点。为坐标原点,直线.4P交直线x=4于点G,过点。目与直线BG垂直的直线记为/,直线5P交y

轴于点E,直线5P交直线/于点尸,试判断品是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.

■考点过关练L

1.设椭圆E:二+q=1但>匕>0)的左、右顶点分别为C,D,且焦距为2万为椭圆的右焦点,点M在椭

6rtr

3

圆上且异于3D两点.若直线MC与A/D的斜率之积为-彳.

(1床椭圆E的标准方程;

(2抵点~4,0)作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于.4,5两点(.4在B,P之间),直线斯与椭圆E

的另一个交点为H,求证:点.4,H关于x轴对称.

2.已知椭圆E:二+二=1(八方>0)的左、右焦点分别为耳,尺,左顶点为.4,|四|=1,P是椭圆E上

ATtr

一点(异于顶点),。是坐标原点,。在线段P工上,目。。"冏,|。。|+|。周=2.

(1床椭圆E的标准方程;

(2港直线/与x轴交于点C、与椭圆E交于点M,N,B与N关于x轴对称,直线MB与x轴交于点D,证

明:pc|PM为定值.

3.已知7为圆M:卜+0f+y2=1

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