2021年九年级中考数学复习学案 一次函数线段

一次函数线段最值问题

知识点精讲

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周

长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、坐标轴等。

解题总思路------找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题

考查。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：

1.线段公理一一两点之间，线段最短.“垂线段最短”求最值。线段之和的问题往往是将各条线段串联起

来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

2.对称的性质一一①关于一条直线对称的两个图形全等

②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线j

3.三角形两边之和大于第三边（求最小值）

4.三角形两边之差小于第三边（求最大值）

5、“点关于线对称”、“线段的平移”。

6.轴对称原型-----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”

7.应用其它知识求最值

（一）、已知两个定点：

1、在一条直线〃?上，求一点P,使我+尸8最小；

（1）点N、8在直线机两侧：

RR

（2）点A、8在直线同侧

^।yn

I✓「

;/

A'

A.A'是关于直线机的对称点。

2、在直线加、"上分别找两点尸、Q,使我+PQ+Q8最小。

（1）两个点都在直线外侧:

1/29

(2)-个点在内侧，一个点在外侧

m

n

(3)两个点都在内侧

n

B'

(4)、台球两次碰壁模型

变式一：已知点4、8位于直线〃的内侧，在直线"、加分别上求点。、E点，使得围成的四边形

周长最短

2/29

nn

变式二：已知点/位于直线m、"的内侧，在直线加、”点尸、。点E4+PQ+。/周长最短.

（二）、一个动点，一个定点：

（―）动点在直线上运动：

点3在直线”上运动，在直线机上找一点P,使我+尸8最小（在图中画出点尸和点8）

/、两点在直线两侧：

2、两点在直线同侧

3/29

Bn

A

n

m

P\

A■

mAf

(三)、已知4、5是两个定点，尸、0是直线加上的两个动点，尸在0的左侧，且尸。间长度恒定，在直

线m

上要求?、。两点，使得以+尸。+。的值最小。(原理用平移知识解)

(1)点/、5在直线加两侧：

A■A午-------“C

mm

PQ■P0、

BB

过4点作ZC〃加，且力。长等于尸0长连接交直线加于0,Q向左移动尸。长，即为P点，此时尸、

。即为所求的点。

(2)点/、5在直线机同侧：

A.

B

m

PQ

(四)求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)

1＞在一条直线加上，求一点尸,使我与尸5的差最大，

(1)点/、8在直线加同侧：

(2)点4、8在直线加异侧:

4/29

过8作关于直线机的对称点夕'旌接/夕交点直线机于尸，此时P炉P8'.我一P8最大值为

在直线，上求点尸使r

得|尸4-尸却最大

将点B对称8',作直

线月8'与/的交点即

三角形任意两边之差

为P.

小于第三边

B

【典型例题】

【例1】已知直线产!x+6经过点，A(4.3).与丁轴交于点2

(1)求3点坐标；

(2)若点。是x轴上一动点，当4C+3C的值最小时，求C点坐标.(海淀期末)

【解析】(1)将点/(4,3)代入解析式中，解得6=1

：.B(0,1)

(2)点2关于x轴的对称点8'的坐标为(0,T),

设直线/次的解析式为尸履+6,依题意得

直线的解析式为尸x-1,与x轴的交点即为C点，坐标为(1,0).

【例2】已知点，A(1.2)和8(3,5),试分别求出满足下列条件的点的坐标:

(1)在x轴上找一点C,使得4C+8C的值最小；

(2)在〉轴上找一点C,使得NC+BC的值最小；

(3)在直线产x上找一点C,使得NC+8c的值最小；

(4)在x轴、y=x上各找一点M、N,使得NM+MN+A®的值最小

【解析】(1)作N关于x轴的对称点H,易知坐标(1,-2)

,:B(3,5)

5/29

(2)作8关于x轴的对称点玄，易知坐标(-3.5)

U：A(1,2)

k=a

5=-3k+b

解得4

2=k+b711

b=一

4

日口311

v——一x+，：.C(0,

44

(3)作/关于产x的对称点H,易知坐标(2,1)

•:B(3,5)

5=3k+bk=4

解得

l=2k+bb=-7

77

即y=4x—7,：.C(-,-)

33

6/29

（4）作《关于》轴的对称点,易知坐标（一1.2）

作8关于了=尤的对称点".易知坐标（5,3）

k=-

:衣:解得6

713

b=—

6

日口11377

即y=一九十一,：.C(-,-)

6633

13

：.M(0,二).N

6

【例3】如图，N/06的边与无轴正半轴重合，点P是CM上的一动点，点N（6,是。5上的一

定点，点M是ON的中点，//。2=30。，要使PM+PN最小，则点P的坐标为.

【答案】（3,出）

【解析】

【分析】

7/29

作N关于OA的对称点N',连接N'M交。1于P,则此时，尸A/+PN最小，由作图得到ON=ON',NN'ON=2

ZAON=60°,求得△NON是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N'朋，ON,解直角三角形即可得

到结论.

【详解】

作N关于OA的对称点N',连接N'〃交04于尸，

则此时，PM+PN最小/垂直平分MV',

AON=ON',ZN'ON^2AAON-600,△MON是等边三角形，

;点〃是ON的中点，：.N'MLON,•.•点N（6,0）,：.ON=6,,点M是ON的中点，；.（W=3,

：.PM=y/3,：.P（3,JT）.故答案为：（3,G）

本题考查了轴对称一最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定尸的位置.

【例4】在平面直角坐标系中，点4B、C的坐标分别为（2,0）,（3,点），（1,寿），点。、E的坐

标分别为（m.褥机），（n,f"）（m、"为非负数），则C£+_DE+D5的最小值是.

【答案】4

【解析】

试题分析:连接4C,作3关于直线Oc的对称点,连接,交OC于。，交08于E,此时CE+DE+AD

的值最小，

点D、E的坐标分别为（m,事m）,（n,g〃）（“、〃为非负数）

点。在直线0c上，点E在直线03上

点/、B、C的坐标分别为（2,0）,（3,小）,（1,/）,...四边形OC8N是菱形

：.AC±OB,AO=OC

8/29

即4和C关于06对称，:.CE=AE,：.DE+CE=DE+AE=AD

和关于0c对称，：.DE'=DB.：.CE+DE+DB=AD+DE'=AE

过C作CN上。4于N,VC(1,73),：.ON=1,CN=j3,由勾股定理得：OC=2

BPAB=BC=OA=OC=2.：.ZCON=60°,ZCBA=ZCOA=6Q°,:四边形CO/8是菱形，

：.BC//OA,：.ZDCB=ZCOA=QO°.和£'关于OC对称，；./C=90°./.ZE'5C=90°-60°=30°,

:.NE'氏4=60°+30°=90°.CF=；BC=1,由勾股定理得：BF=^E'F,

在用△E8/中，由勾股定理得：AE'=4,即CE+DE+D8的最小值是4.

故答案是：4

【例5】，如图，已知/(3,1),B(1,0),尸。是直线尸c上的一条动线段且尸。=0(。在尸的下方)

当AP+PQ+QB取最小值时，点。坐标为.

【分析】作点3关于直线＞=》的对称点*(0,1),过点/作直线并沿九W向下平移V7单位后

得/'(2,0),连接交直线y=x于点0,求出直线解析式，

与y=x组成方程组，可求。点坐标.

【详解】解：作点8关于直线y=x的对称点8'(0,1),过点/作直线"N,并沿儿W向下平移加单

位后得/'(2,0)

连接/'3'交直线y=x于点。

如图

理由如下：=PQ=V2,44'//PQ,

四边形/尸。/'是平行四边形.

9/29

：.AP=A'Q.

\'AP+PQ+QB=B，Q+A'Q+PQ且PQ=42.

：.当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小.

根据两点之间线段最短，即Q,4三点共线时/'0+8'。值最小.

•：B'(0,1),A'(2,0),

直线8'的解析式y=-lx+1x=-lx+1.即x=2,-

2233

点坐标(g,j).

故答案是：(2,3).

33

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，最短路径问题，找到当/尸+2。+08最小时，。点坐标是本

题关键.

6.阅读下列一段文字,然后回答下列问题.

已知在平面内两点《(士，”)、鸟(々，当)，其两点间的距离相=>/(1-、)2+(%-%)2，同时，当两点所

在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为1尤2-玉I或I%-XL

⑴已知/(2,4)、3(-3,-8),试求43两点间的距离；

(2)已知A、B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为4,点B的纵坐标为-1,试求两点间的距离；

(3)已知一个三角形各顶点坐标为。(1,6)、£(-2,2)、尸(4,2),你能判定此三角形的形状吗?说明理由；

⑷在⑶的条件下,平面直角坐标中,在x轴上找一点尸，使尸口+P尸的长度最短,求出点尸的坐标以及PD+尸尸

的最短长度.

解：

(1)'：A⑵4)(-3,-8),AB=7(-3-2)2+(-8-4)2=13；

(2)在平行于y轴的直线上，点工的纵坐标为4,点2的纵坐标为-1,.•23=5；

(3)为等腰三角形，

理由：：。(1,6)、£(-2,2)、尸(4,2),

：.DE=5,DF=5,EF=6,即DE=DF,

；.△£)£尸为等腰三角形.

(4)做出尸关于x轴的对称点F',连接DF\与x轴交于点P,此时DP+PF最短，

设直线DF'解析式为y=kx+b,

10/29

k=上

将-2）代入得：屋］一'解得:3

b7--26

3

直线叱解析式为y=g+g,

令度0,得：x=£13,即p(1£3,0),

44

"：PF=PF',

PD+PF=DP+PF'=DF'=J(1一4)2+(6+2尸=用，

则PD+PF的长度最短时点P的坐标为（?，0）,此时PD+PF的最短长度为y/13.

此题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与无轴的交点,弄清题中材料中

的距离公式是解本题的关键.

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相似题

1.平面直角坐标系xOy中，已知/（-1,0）,8（3,0）,<:（0,-1）三点,。（1,加是一点，当△/CD的周长最小时,

则的面积为（）

解：由题可得，点C关于直线x=l的对称点E的坐标为（2,-1）,

k=--

-k+b=O3

设直线/£的解析式为产丘+瓦则解得

2k+b=-l

b=--

3

.11

••V———■X——,

33

将。（1,m）代入,得加二—2,即点。的坐标为（1,-2±）,

33

:.当AACD的周长最小时,AABD的面积=2X4BX

2114

故选:C.

本题属于最短路线问题，主要考查了轴对称性质的运用以及待定系数法的运用，解决问题的关键是运用两点

之间线段最短这一基本事实.

2.如图,在平面直角坐标系中，比△CM3的直角顶点/在x轴的正半轴上，顶点8的坐标为（3,石），点C

的坐标为（1,0）,且乙8=60°,点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为.

12/29

y

X

解:如图作点/关于直线OB的对称点A二连接04,A'C,A'C交。3于P,连接PC,此时以+PC的值最

小,最小值为线段©C的长.

在贬△0/8中，•.•O4=3,/8=G

.•.tanN20/=追，.•./20/=30°,

3

•；ZA'OA=60°,0A'=0A=3,

△34是等边三角形，

VC(3,0),:.A'C=6=6,

，我+尸。的最小值为",

本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,

属于中考填空题中的压轴题.

3.在平面直角坐标系中，点尸(2,0),0(2,4),在y轴有一点M,若PM+QM最小,则M的坐标为.

解:如图:作出点尸关于y轴的对称点N,连接NQ交＞轴于点M..

由轴对称的性质可知:儿。=跖7,

：.MP+MQ=MN+MQ,.'.当Q、N在一条直线上时，MP+MQ有最小值.

设直线QN所在直线的解析式为产质+瓦

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b=4

将点。（2,4）*2,。）代入得：口+…，解得：F=2.

，直线QN的解析式为y=x+2.

将x=0代入得产2,点M的坐标为（0,2）

本题主要考查的是轴对称-路径最短问题、待定系数法求函数的解析式、一次函数与了轴的交点，明确M、

。、N在一条直线上时，MP+MQ有最小值是解题的关键

4.如图，点/的坐标为（-3,0）,点3在直线y=-无上运动，连接则线段的长的最小值为.

解:当48_L直线产-x时，线段48最短.

此时△CM3为等腰直角三角形，：CM=3,:.AB=30

2

14/29

本题考查一次函数问题，关键是根据：垂线段最短以及等腰三角形的底边上的高与中线互相重合.

5.如图,矩形OABC中,D为对角线NC,OB的交点,直线AC的解析式为y=2x+4,点P是〉轴上一动点,

当△尸8。的周长最小时,线段OP的长为.

解:作点。关于夕轴的对称点D连接皮)，交y轴于点尸，则点尸即为所求.

直线AC的解析式为y=2x+4,

点N(-2,0),点C(0,4),.•.点8(-2,4),

由中点公式，点。的坐标为(-1,2),.•.点少的坐标为(1,2),

k=2

(-2k+/?=4

设过点8和点。的直线解析式为丁="+尻则77"，解得，＜3

[k+b=278

b=-

9Q

直线2叨懈析式为y+

QQQ

当产0时，产-，即点P的坐标为(0,_),：.OP=-,

333

15/29

y

本题考查一次函数的性质、矩形的性质、最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，利用数形结合的思想解答

6.阅读理解：

如图①,图形/外一点尸与图形/上各点连接的所有线段中,若线段PA最短,则线段PA的长度称为点P

到图形/的距离.

例如：图②中,线段片A的长度是点《到线段AB的距离;线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.

解决问题：

如图③,平面直角坐标系xOy中，点43的坐标分别为(8,4),(12,7),点P从原点。出发，以每秒1个单

位长度的速度向x轴正方向运动了/秒.

(1)当44时,求点P到线段AB的距离；

(2”为何值时，点P到线段AB的距离为5?

(3)/满足什么条件时，点尸到线段的距离不超过6?(直接写出此小题的结果)

解：

(1)如图1,作轴于点C,

16/29

则NC=4、OC=8,当t=4时，OP=4,：.PC=4,

：.点P到线段AB的距离P4=y]PC2+AC2=4x/2;

⑵如图2,过点8作无轴，交y轴于点。，

①当点P位于AC左侧时，：/C=4、耳/=5,

-AC2=二42=3,

0—=5,即尸5;

②当点尸位于AC右侧时,过点A作AP2LAB,交无轴于点巴，过点3作BELCA延长线于A.

•：BE=AC=4,ZABE^ZP2AC,

：.Rt/\ACP2mRt^BEA,

：.P?C=AE=3,

.'.OP2=ll,即f=ll;

⑶如图3,

①当点P位于AC左侧,且AP3=6时，

则QC=4AP；-AC?=2底。△=8—2番;

17/29

②当点P位于AC右侧,且有M=6时（此时P3'MLAB）,

过点£作鸟NJ.月加于点N,

则四边形是矩形，

?.//P2N=90°,ZACP2=ZP2NP3'=90°2P2=MN=5,

:.AACP1sdp2NP；,且NP；=1,

•处=乌即工=2-pn.5

23=

P2P3'NPj'PiP；7'

S38

・•・。百=OC+C£+W=8+3+g=了.

.•.当8-244f4过时，点尸到线段AB的距离不超过6.

本题主要考查一次函数的综合问题，理解题意掌握点到线段的距离概念及分类讨论思想的运用、矩形的判

定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.

7.探究:小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点耳（占，%）、

鸟（马,为），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：PA=他还利用图2证明了

线段片鸟的中点尸（x,y）的坐标公式：x=y=21±21.

18/29

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;

、-m

运用:

⑵①已知点朋X2,-1）,双（-3,5）,则线段龙加长度为；

②直接写出以点/（2,2）,8（-2,0）,C（3,-1）,。为顶点的平行四边形顶点。的坐标:;

拓展：

4

⑶如图3,点P（2,〃）在函数y=§x（x20）的图象与x轴正半轴夹角的平分线上,请在“、龙轴上分别找

出点£尸，使△尸所的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值.

图3

解：

（1）?（不，％）、鸟（为2，为），P（XJ）

22i=222,即％一再=无2-无，,尤=%

•./。为梯形耳。卫2心的中位线，•••尸0=微；£2="1,即y=Zl产

即线段《舄的中点p的坐标公式为了=土产，y=x产；

（2）①；M（2,-1）,N（-3,5）,MN=5/（2+3）2+（-1-5）2=461.

@-：A（2,2）,B（-2,0）,C（3,-1）,

...当43为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0,1）,

19/29

二0

x=-3

设。（x,y）,则＜2,,、，解得

y+（f一1)=3

2

此时。点坐标为（-3,3）,

当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7,1）,

当BC为对角线时，同理可求得。点坐标为（-1,-3）,

综上可知。点坐标为（-3,3）或（7,1）或（-1,-3）,

⑶如图,设P关于直线0L的对称点为M,关于x轴的对称点为N,连接交直线0L于点P,连接PN

交x轴于点S,连接MN交直线OL于点E,交x轴于点F,

又对称性可知EP=EM,FP=FN,：.PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN,

此时APE尸的周长即为ACV的长,为最小值，

4

设R（x,-%）,由题意可知。氏=0S=2,尸心尸S二〃，

3

Jx2+（1x）2=2,解得x=-|（舍去）或x=|,

5

^(2-1)2+(«-|)2=n,解得n=\,

；.P(2,1),：.N(2,-1),

设贝U个=|,与=|,解得x=|,y

•1/211.-8小

••A/(—,—),••A/N-

555

即的周长的最小值为岭.

本题为一次函数的综合应用，涉及中位线定理、中点坐标公式、两点间距离公式、轴对称的性质、角平

20/29

分线的性质、平行四边形的性质等知识.在(1)中求得。。和尸。的长是解题的关键，在(2)中注意

中点坐标公式的应用，在(3)中确定出巨尸的位置，求得尸点的坐标是解题的关键.本题考查知识

点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大.

7.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点R(x”上)，

P2(x2,%)，可通过构造直角三角形利用图1得到结论：/3、=/(》2一片广+(0—治尸,他还利用图2

证明了线段A户，的中点尸的坐标公式:

(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;

运用：(2)①已知点M(2,—1)、N(-3,5),则线段AW的长度为.

②直接写出以点/(2,2)、B(-2,0)、C(3,-1),。为顶点的平行四边形顶点。的坐标

拓展：(3)如图3,点尸(2,"）在函数y=yX(x>0)的图象与x轴正半轴夹角的平分线上，请在

OL、x轴上分别找出点£、F,使的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值.

【答案】(1)答案见解析；(2)①v%T；②(-3,3)或(7,1)或(一1,-3)；(3)与5

【解析】

试题分析：

(1)用R、P,的坐标分别表示出和PQ的长即可证得结论；

(2)①直接利用两点间距离公式可求得的长；②分AB、AC.8c为对角线，可求得其中心的坐标，

再利用中点坐标公式可求得。点坐标；

(3)设P关于直线。的对称点为M,关于x轴的对称点为N,连接交直线于点R,连接尸N交

x轴于点S,则可知OR=OS=2,利用两点间距离坐标公式可求得尺的坐标，再由PR=PS=n,可求得n的值，

可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接交直线

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于点E,交x轴于点S,此时EP=EM,FP=FN,此时满足△尸跖的周长最小，利用两点间距离公式可求得

其周长的最小值.

试题解析:

（1）乃），P2（x2,y2）

,"O\Qi=。。1—0Q}=x->—Xj

X—X1X|+x

，22

•­OQ—OQx+QtQ-x+22

•••PQ为梯形R0102P2的中位线

PQ-

22

Xy+x2M4y2

即线段PP?的中点尸（x,了）的坐标公式为K=~2~'y=~^~~

(2)①•.•M(2,-1),N(-3,5)

MN=，(2+33H■(—1-5(二两

②；4(2,2)、B(-2,0)、C(3,—1)

...当43为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0,1）

设（无，了），则无+3=0,y+（-1）=2

此时。点坐标为（一3,3）

当NC为对角线时，同理可求得。点坐标为（7,1）；

当3C为对角线时，同理可求得。点坐标为（—1,-3）

综上可知，。点坐标为（一3,3）或（7,1）或（一1,一3）

（3）如图，设尸关于直线d的对称点为“，关于x轴的对称点为N,连接交直线OZ于点R,连接

PN交x轴于点S,连接"N交直线于点E,交x轴于点尸

又对称性可知FP=FN

：.PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN

此时尸的周长即为MN的长，为最小

设RG,[x),由题意可知OA=OS=2,PR=PS=n

jr+（yx）2—2>解得：（舍去）或x='

22/29

?

**•Y(2——)H"(w——~w?解得：n=\

：.P(2,1),：.N(2,-1)

设y),则人、2=1,JL=,,解得：、=弓，y--^~

即尸的周长的最小值为华

8.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.注明的恩施大峡谷（A）和世界级自

然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,/、2到直线尤的距离分别为10切v和

40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向/、2两景区运送游客.小民设计了两种方方案，图（1）

是方案一的示意图（/尸与直线X垂直，垂足为尸），P到/、8的距离之和S1=P/+P8,图（2）是方案

二的示意图（点/关于直线X的对称点是"，连接助咬直线x于点尸），尸到42的距离之和S?=P/+PA.

（1）求S、Si,并比较它们的大小;

（2）请你说明S,—PA+PB的值为最小;

（3）拟建的恩施到张家界高速公路/与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，8到直线

y的距离为30而7,请你在X旁和y旁各修建一服务区尸、。，使尸、A.B、。组成的四边形的周长最小,

并求出这个最小值.

【答案】(1)St>S2;(2)50+50小

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【解析】

试题分析:

(1)根据勾股定理分别求得s、S,的值，比较即可；

(2)在公路上任找一点,，连接M4、MB、MA',由对称可知，

$2=84’为最小；

(3)过/作关于X轴的对称点H,过8作关于丫轴的对称点配,连接交X轴于点尸，交丫轴于点

Q，求出的值即可.

试题解析：

(1)图(1)中过8作尸，垂足为C

则尸C=40,又/P=10,：.AC=30

在用△A8C中，AB=5Q,AC=30,：.BC=40,：.HP=y/CP2+BC1=40\/2

/-5,-40v/2+10

在图(2)中，过台作BCL/R,垂足为C

则“e=50,又8c=40,二/?/'=.40)+5()2=10\所

由轴对称可知：PA=PA'

S,=BA'=105/4T

；•St>S2

(2)如图，在公路上任找一点M,连接M4、MB、MA'

由轴对称可知MA=MA'

：.MB+MA=MB+MA'>A'B

S2~AH为最小

(3)过/作关于X轴的对称点H交X轴于点尸

过8作关于y轴的对称点夕交y轴于点。，连接力0

则尸、。即为所求

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A'B'=v/l()02+502=50逐

，所求四边形的周长为50+50^/5

课后追踪

1.①若要求货站到工、3两个开发区的距离相等，那么货站应建在哪里?

②若要求货站到/、8两个开发区的距离和最小，那么货站应建在哪里？如图(2)建立平面直角坐标系,

若已知/(0,2)、B(4,3),请求出相应的P点坐标.

八

BB

A

M

M0

图⑴图⑵

【解析】

(1)要使货站到工、3两个开发区的距离相等，可连接/台，线段/台的中垂线与龙w的交点即为货站的

位置，N8的垂直平分线与"N的交点上.

(2)由于两点之间线段最短，所以过点/作"关于九W对称，连接8R,与的交点即为货站的位置,

作N点关于的对称点加，连接84交于点尸，P为所求点，P(1.6,0).

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2.如图，在平面直角坐标系中，直线产一2x+4分别与x轴、了轴交于/(a,0)、B(0,b)两点.

(1)填空：a=,b=；

(2)点尸是直线上的点，P到x轴、丁轴的距离分别为4、d2.

①当",+j=3时，求点尸的坐标；

②若在线段4B上存在无数个点尸，使4+左小=4"为常数)，求人的值；

(3)在第一象限内存在点C,使得A/BC是等腰直角三角形，直接写出所有点C