创新函数图像综合训练- 2024年中考数学重难点突破

专题16创新函数图像综合训练

P「一j沙场点兵一

3

1.某同学根据学习函数的经验，探究了函数>=k二耳的图像和性质，下面是他的探究过程,

请补充完整.

3

（1）写出函数的自变量的取值范围

⑶在平面直角坐标系X0V中，补全此函数的图像;

⑷根据函数图像，写出函数的性质(至少两条).

【答案】⑴尤/2

(2)|,3

4

⑶补全图像见解析

⑷①图像关于x=2对称；②图像全部在x轴上方(答案不唯一)

【分析】(1)根据分式分母不为零列式求解即可；

3

(2)把x=-2和3分另U代入y=~大即可求得；

\x-2\

(3)画出函数图像即可；

(4)根据图像得出结论.

(1)

3

解：根据分式分母不能为零可知，函数y=一大的自变量尤的取值范围是：xr2；

I尤-21

(2)

333

解：把彳=-2,y=机代入y=V得，m=p—^=-

|X-21|-2-2|4;

33

把尤=3,y=7%代入y=~^得，n=——=3,

\x-2\|3-2|

3

故答案为：,3；

4

(3)

解：如图所示：

(4)

解：由图像得可得①图像关于x=2对称；②图像全部在x轴上方(答案不唯一).

【我思故我在】本题考查反比例函数图像和性质，涉及的知识有：自变量的取值范围、画图

像、熟练掌握数形结合的思想是解本题的关键.

2.有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数

的图象与性质进行研究，已知当x=2时，y=9；当x=0时，产-3.下面是小童探究的过

程，请补充完整：

⑴该函数的解析式为，m=,n=

⑵根据函数图象，下列关于函数性质的描述正确的是;

①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点.

②该函数既无最大值也无最小值.

③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小.

⑶请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式主耳-2x-2N0的解集.（保留1位

x+b

小数)

■田山▼/、3x+39,

【答案】(l)y=----7,6

x-15

⑵②

⑶xW-1或1CXW2.5

【分析】(1)待定系数法可求函数解析式，将(7,帆)，(3,〃)代入解析式得功，〃的值，描点、

连线画出图象即可；

(2)依据函数图象，即可判断;

(3)依据函数图象.即可得到.

(1)

3YZ7

解：寸巴％=2,y=9；x=0,^=一3代入V=....-

x+b

6+a八

3r+3

回函数的解析式为y=(mi)；

x-l

将(-4,m)代入解析式得m=二^^=|,

(2)

由图象可知：①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是(1,3),错误，不符合题意;

②该函数既无最大值也无最小值，正确，符合题意；

③当X>1,或X<1时，V随X的增大而减小，错误，不符合题意；

故答案为：②.本题考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数图象.解题

的关键在于数形结合.

(3)

【我思故我在】本题考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数图象.解题的

关键在于数形结合，利用函数图象获取信息.

3.某班“数学兴趣小组”对函数方/-2|x|-3的图像和性质进行了探究，探究过程如下,

请补充完整：

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：

_52

X-3-2-10123

~22

_7_7

0~4m-4-3-4-3~40

其中，m=.

⑵根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请

画出该函数图像的另一部分.

⑶观察函数图像，写出两条函数的性质.—.

⑷进一步探究函数图像发现：

①函数图像与X轴有个交点，所以对应的方程/-2|x|-3=0有个实数根；

②方程x2-2|x|-3=-3有个实数根；

③关于x的方程/-2|x|-3=a有4个实数根时，。的取值范围是.

【答案】(1)-3

(2)图见解析

⑶①函数图像关于y轴对称，②当时，y随x的增大而增大

⑷①2,2；②3；③-4<a<-3

【分析】(1)把x=-2代入函数解释式即可得加的值；

(2)描点、连线即可得到函数的图像；

(3)根据函数图像得到函数产Y-2|x|-3的图像关于y轴对称；当时，y随x的增大

而增大；

(4)①根据函数图像与x轴的交点个数，即可得到结论；②根据y=V-2|x|-3的图像与

直线y=-3的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图像即可得到。的取值范围.

(1)

当x--2时,

方(一2)2-2x|-2|-3

回加=-3,

故答案为：-3.

(2)

观察函数图像，可得出：①函数图像关于y轴对称，②当x>l时，y随x的增大而增大.

故答案为：①函数图像关于y轴对称，②当x>l时，y随x的增大而增大.

(4)

①观察函数图像可知：当x=-3、3时，y=0,

回该函数图像与x轴有2个交点，

即对应的方程V-2|x|-3=0有2个实数根.

故答案为：2；2.

②观察函数图像可知：函数方V-2|x|-3的图像与y=-3只有3个交点.

故答案为：3.

③观察图像可知:关于x的方程Y-2|x|-3=a有4个实数根时,a的取值范围是-4<a<-3.

故答案为-4<a<-3.

【我思故我在】本题为函数图像探究题，考查了根据函数图像判断函数的对称性、增减性以

及从函数的角度解决方程问题.

4.如图，在等腰直角三角形二ABC中，BC=8,点。从点2出发，沿2c边运动到C,连接

AD,设3D的长为x,AD的长为九请你根据学习的变量间关系的知识进行探究活动.

表格中机=；

(2)如图，在平面直角坐标系中，已描出了部分图像，请你根据补全后的上表中各组对应值,

画出剩下的图像；

⑶当天=时，y取得最小值；当X的取值范围是时，y<5.

【答案】(1)4.5；

(2)见解析；

(3)4,1cx<7.

【分析】(1)由等腰三角形的性质知，当x=2和x=6时，>的值相等；

(2)通过描点，连线即可画出；

(3)根据函数图像即可得到答案.

(1)

由等腰三角形的性质知，当x=2和x=6时，y的值相等，

•*-m=4.5,

故答案为:4.5；

(2)

由图像知：当x=4时，y有最小值为4,

当l<x<7时，"5,

故答案为：4,1<%<7.

【我思故我在】本题考查等腰三角形的性质，函数图像的性质等知识，能利用描点法化函数

图像时关键.

5.模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代

数”的方法解决，现在他又尝试从"图形"的角度进行探究，过程如下：

(1)建立函数模型

4

设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得盯=4,即>=—；由周长为m,得

x

2(x+y)=〃?，即尸一尤+了.满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第象限内交点的

坐标.

(2)画出函数图象

4m

函数y=—(x>0)的图象如图所示，而函数了=-尤+丁的图象可由直线>=-"平移得到.请

x2

在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.

(3)平移直线>=-乙观察函数图象

①当直线平移到与函数y=3(x>0)的图象有唯一交点(2,2)时，周长m的值为；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范

围.

(4)得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为

【答案】(1)一(2)见解析(3)①〃2=8②〃止8；(4)m＞8

【分析】(1)x,y都是边长，因此，都是正数，即可求解；

(2)直接画出图象即可；

(3)①把点(2,2)代入y=-x+g即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1

41

个、2个三种情况，联立＞=—和＞=-％+式并整理得：x2--/nx+4=0,即可求解；

(4)运用(3)的相关结论即可.

【详解】解：(1)x,y都是边长，因此，都是正数，

故点(x,y)在第一象限，

答案为：一；

(2)图象如下所示：

(3)①把点(2,2)代入>=f+g得：

2=-2+y,解得：m=8；

②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，

联立y=3和,='并整理得：x2--znx+4=0,

x22

△=Lw2-4x4Z0时，两个函数有交点，

4

解得：m>8；

(4)由(3)得：m>8.

2

6.有这样一个问题：探究函数'=—；-3的图象与性质.小亮根据学习函数的经验，对函

X-1

2

数y=I-3的图象与性质进行了探究.下面是小亮的探究过程，请补充完整：

2

⑴函数y=三-3中自变量x的取值范围是

⑵表格是夕与X的几组对应值.

2

X-3-2-102345

22

_7_11_7_5

-5-7m

y~2一1-4-1-2~2

直接写出m的值___________；

⑶在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画

出该函数的图象；

⑷根据画出的函数图象，发现下列特征：

①该函数的图象与直线X=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越

靠近而永不相交.

②请再写出此函数的一条性质：.

2

⑸已知不等式乙+》<—；-3的解集为l<x<2或无>4,则上+6的值为.

【答案】(1)X31

(2)1

⑶见解析

(4)y=-3;y随x的增大而减小

⑸T

(1)

由题意得：x-l^O,

解得：XH1.

故答案为*1;

(2)

、,3—

当太=一时，m=3-3=4-3=l,

2r1

即m的值为1,

故答案为1:

(3)

图象如图所示:

(4)

①根据画出的函数图象，发现下列特征：

该函数的图象与直线x=l越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线产-3越来越靠近

而永不相交，

故答案为方-3.

②y随X的增大而减小，

故答案为y随X的增大而减小；

(5)

2

团不等式立+匕v——--3的解集为l<x<2或x>4,

x-1

7

团直线方Ax+6过(2,-1),(4,-§)两点，

'2k+b=-l

团47，

4k+b=--

I3

回人+6=——

3

故答案为-§.

【我思故我在】本题考查了函数图象和性质，自变量的取值范围，画函数图象，函数与不等

式，熟练掌握由函数有意义的条件求自变量的取值范围，连点成曲线画出函数图象，根据不

等式解集确定两个函数图象的交点坐标，是解题的关键.

7.小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点。是弧2C上一动点，线段BC=8c〃z,点A是线段8C的中点，过点C作CF〃加,

交D4的延长线于点当ADCR为等腰三角形时，求线段5。的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研

究此问题，请将下面的探究过程补充完整：

⑴根据点。在弧8C上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BRCAED的长度，得到

下表的几组对应值.

BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中发现：

①"当点。为弧3C的中点时，BD=5.0cm".则上中。的值是_

②"线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由；

（2）将线段的长度作为自变量x,CD和ED的长度都是x的函数，分别记为无。和力°，并

在平面直角坐标系尤0y中画出了函数%0的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数

的图象;

（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当ADCP为等腰三角

形时，线段3D长度的近似值.（结果保留■位小数）.

【答案】⑴①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；

【详解】解：（1）①点。为弧BC的中点时，由圆的性质可得:

AB=AC

<ABAD=ACAD,

AD=AD

盟ABDGBACD,

回CD=BD=5.0,

回。=5.0；

②团CF//5Q,

^\ZBDA=ZCFAf

ZBDA=ZCFA

^<ZBAD=ZCAF,

AD=AF

团团ACF团团ABD,

回CF=BD,

团线段CF的长度无需测量即可得到;

（2）函数的图象如图所示：

（3）由（1）知C尸=3£＞=x,

画出的图象，如上图所示，当AZJC尸为等腰三角形时,

①CF=CD,BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5Qcm；

（2）CF=DF,BD为与如F函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm；

③CD=DF,BD为与%F函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm；

综上：当ADC尸为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm.

【我思故我在】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握

一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键.

8.有这样一个问题：探究函数》="邛的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函

数的图象与性质进行例研究，已知当x=2时，＞=7,尤=0时，＞=-3.下面是小童探究的

过程，请补充完整：

根据图中描出的点，画出函数图象.

X-4-3-20234

3j_11

ym-37n

43T

（2）根据函图象，下列关于函数性质的描述