吉林2023-2024学年中考适应性考试数学试题含解析

吉大附中达标名校2023-2024学年中考适应性考试数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，等边△ABC的边长为4,点D,E分别是BC,AC的中点，动点M从点A向点B匀速运动，同时动点N

沿B-D-E匀速运动，点M,N同时出发且运动速度相同，点M到点B时两点同时停止运动，设点M走过的路程

为x,AAMN的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）

2.下列二次根式中，0的同类二次根式是（）

A.-y/4B.D.V12

3.在平面直角坐标系x0y中，函数y=3x+1的图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

4.甲、乙两人沿相同的路线由A地到3地匀速前进，A、5两地间的路程为20km.他们前进的路程为s（km）,甲出

发后的时间为f（h）,甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示.根据图象信息，下列说法正确的是（）

20

/甲:

1234f

A.甲的速度是4km/hB.乙的速度是lOkm/h

C.乙比甲晚出发IhD.甲比乙晚到3地3h

5.如图，A点是半圆上一个三等分点，3点是弧AN的中点，尸点是直径MN上一动点，。。的半径为1,则AP+

BP的最小值为

7.如图在△ABC中，AC=BC,过点C作CZJLA5,垂足为点过。作OE〃5c交AC于点E,若50=6,AE=

5,则sinZEDC的值为（）

8.已知。O及。O外一点P,过点P作出（DO的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具），以下是甲、乙两同学的作

业:

布

图1

甲：①连接OP,作OP的垂直平分线1,交OP于点A；

②以点A为圆心、OA为半径画弧、交。O于点M；

③作直线PM,则直线PM即为所求（如图1）.

乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P;

②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O,直角顶点落在。O上，记这时直角顶点的位置为点M；

③作直线PM,则直线PM即为所求（如图2）.

对于两人的作业，下列说法正确的是（）

A.甲乙都对B.甲乙都不对

C.甲对，乙不对D.甲不对，已对

9.下列计算正确的是（）

257246

A.3a-2a—1B.a+a=aC.（ab）3=（1bD.a*a=a

10.下列二次根式中，最简二次根式是（）

11.下列几何体是棱锥的是（）

12.如图：在AABC中，CE平分NACB,C尸平分NAC。，且跖/ABC交AC于M,若CM=5,则。炉+。产

C.120D.125

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，已知RtAABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=2，§"+4,点M、N分别在线段AC、AB±,将△ANM沿直

线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ADCM为直角三角形时，折痕MN的长为

14.如图，CD是RtAABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则NA等于.

度.

1k

15.如图，点A,5在反比例函数y=—（x>0）的图象上，点C,O在反比例函数y=—优>0）的图象上，AC//BD//y

xx

3

轴，已知点A,5的横坐标分别为1,2,A。4c与△A3。的面积之和为一，则《的值为.

2

16.如图，AB=AC,要使△ABE^AACD,应添加的条件是（添加一个条件即可）.

17.如图，AB为圆O的直径，弦CDLAB,垂足为点E,连接OC,若OC=5,CD=8,则AE=

B

18.如图，在DABCD中，AC与BD交于点M,点F在AD上，AF=6cm,BF=12cm,ZFBM=ZCBM,点E是

BC的中点，若点P以km/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB

向点B运动.点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动.当点P运动秒时，以点P、Q、E、F为顶点

的四边形是平行四边形.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的

部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1,图2）,请根据统计

图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查的学生人数是人；

（2）图2中a是度，并将图1条形统计图补充完整；

（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有人；

（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B,C、D,其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流,

用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率.

20.（6分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品.九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4

个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图.王老师采取的调查方式是

（填“普查,，或“抽样调查,,），王老师所调查的4个班征集到作品共件，其中b班征集到作品件，

请把图2补充完整；王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？如果全

年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生.现在要在其中抽两人去参加学校总结

表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率.

作品(件)

已知△ABC,分别以AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,

NEAB=NDAC=90。，连结BD,CE交于点F,设AB=m,BC=n.

(1)求证：ZBDA=ZECA.

(2)若m=0,n=3,ZABC=75°,求BD的长.

(3)当NABC=时，BD最大，最大值为(用含m,n的代数式表示)

(4)试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。

22.(8分)如图所示，平面直角坐标系中，。为坐标原点，二次函数y=Y-初c+cS>0)的图象与x轴交于4-1,0)、

B两点,与y轴交于点C；

(1)求c与》的函数关系式；

(2)点。为抛物线顶点，作抛物线对称轴。E交x轴于点E,连接5c交OE于尸，若AE=O尸，求此二次函数解析

式；

(3)在(2)的条件下，点尸为第四象限抛物线上一点，过尸作OE的垂线交抛物线于点M,交OE于点。为第

三象限抛物线上一点，作于N,连接且NQMN+NQMP=180。，当QV:=15:16时，连接

PC,求tanNPCE的值.

23.（8分）如图，AB是。O的直径，点F,C是。O上两点，且Ap=pc=c3,连接AC,AF,过点C作CD^AF

交AF延长线于点D,垂足为D.

⑴求证：CD是。O的切线；

24.（10分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上.

（I）AC的长等于.

（II）若AC边与网格线的交点为P,请找出两条过点P的直线来三等分△ABC的面积.请在如图所示的网格中，用

无刻度的直尺，画出这两条直线，并简要说明这两条直线的位置是如何找到的（不要求证明）.

（2）写出一个m的值，并求出此时方程的根.

26.（12分）如图1,已知扇形MON的半径为近，ZMON=90°,点B在弧MN上移动，联结BM,作ODLBM,

垂足为点D,C为线段OD上一点，且OC=BM,联结BC并延长交半径OM于点A,设OA=x,NCOM的正切值为

（1）如图2,当AB_LOM时，求证：AM=AC；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域;

（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.

27.（12分）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表:

员工管理人员普通工作人员

人员结构总经理部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工

员工数（名）1323241

每人月工资（元）2100084002025220018001600950

请你根据上述内容，解答下列问题：

（1）该公司“高级技工”有名；

（2）所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为元，众数为元；

（3）小张到这家公司应聘普通工作人员.请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工

的月工资实际水平更合理些；

（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资歹（结果保留整数），并判断了能否反映该公司

员工的月工资实际水平.

欢迎你来我们公司应

聘！我公司员工的月平均工

资是25QQ元，薪水是较高的.

这个经理的介绍

部

门能反映该公司员工的

经小月工资实际水平吗？

理张

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1,A

【解析】

根据题意，将运动过程分成两段.分段讨论求出解析式即可.

【详解】

VBD=2,NB=60。，

.•.点D到AB距离为6，

当0<x<2时，

17373

y=—xx*——x=——x2；

224

当2<x<4时，y=—%•石=­x.

22

根据函数解析式，A符合条件.

故选A.

【点睛】

本题为动点问题的函数图象，解答关键是找到动点到达临界点前后的一般图形，分类讨论，求出函数关系式.

2、C

【解析】

先将每个选项的二次根式化简后再判断.

【详解】

解：A：、/？=2,与拒不是同类二次根式；

B：后被开方数是2x,故与&不是同类二次根式;

c：《二冬与0是同类二次根式；

D：712=2A/3>与血不是同类二次根式.

故选C.

【点睛】

本题考查了同类二次根式的概念.

3、A

【解析】

【分析】一次函数丫=1^+1）的图象经过第几象限，取决于k和b.当k>0,b>O时，图象过一、二、三象限，据此作

答即可.

【详解】•.,一次函数y=3x+l的k=3>0,b=l>0,

二图象过第一、二、三象限，

故选A.

【点睛】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项.

4、C

【解析】

甲的速度是：20+4=5km/h；

乙的速度是：20vl=20km/h；

由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，

故选C.

5、C

【解析】

作点A关于MN的对称点4,连接£3,交MN于点P,则B4+P5最小，

连接OA'^A'.

•.•点A与4,关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

:.ZA'ON=ZAON=60°,PA=PA',

•••点3是弧ANA的中点，

/.ZBON=30°,

ZA'0B=ZA'0N+ZBON=90°,

又•.,04=。4，=1,

"3=0

APA+PB=PA'+PB=A'B=0

故选：C.

6、C

【解析】

试题解析：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C.既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选C.

7、A

【解析】

由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,由AE=5,DE〃BC知AC=2AE=10,

ZEDC=ZBCD,再根据正弦函数的概念求解可得.

【详解】

「△ABC中，AC=BC,过点C作CD_LA5,

：.AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,

'：AE=5,DE//BC,

.\AC=2AE=10,NEDC=NBCD,

,,BD63

：.sinZEDC=sinZBCD=——

BC105

故选：A.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质

等知识点.

8、A

【解析】

（1）连接。跖0A,连接。尸，作0P的垂直平分线/可得。4="A=AP,进而得到NO=NAMO,ZAMP=ZMPA,

所以NOMA+NAMP=NO+NAffi4=90。，得出MP是。。的切线，（1）直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的

另一条直角边过圆心。，直角顶点落在。。上，所以NOMP=90。，得到MP是。。的切线.

【详解】

证明：（1）如图1,连接OM,0A.

•.•连接0P,作。尸的垂直平分线/,交。尸于点A,...OANP.

•••以点A为圆心、为半径画弧、交。。于点M；

/.OA=MA=AP,：.ZO=ZAMO,ZAMP=ZMPA,：.ZOMA+ZAMP=ZO+ZMPA=90°,：.OM±MP,是。。

的切线；

（1）如图1.

•••直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的另一条直角边过圆心O,直角顶点落在。。上，.••/OMP=90。，.1MP

是。。的切线.

故两位同学的作法都正确.

故选A.

【点睛】

本题考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性.

9、D

【解析】

根据合并同类项法则、积的乘方及同底数塞的乘法的运算法则依次计算后即可解答.

【详解】

".'3a-2a—a,选项A不正确；

a2+a5^a7,/.选项B不正确；

；（成）3=/53,.•.选项。不正确；

Va2»a4=a6,选项O正确.

故选o.

【点睛】

本题考查了合并同类项法则、积的乘方及同底数暴的乘法的运算法则，熟练运用法则是解决问题的关键.

10、C

【解析】

检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【详解】

A.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A不符合题意，

B.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意，

C.被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意，

D.被开方数含分母，故D不符合题意.

故选C.

【点睛】

本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因

数或因式.

11、D

【解析】

分析：根据棱锥的概念判断即可.

A是三棱柱，错误；

B是圆柱，错误；

C是圆锥，错误；

D是四棱锥,正确.

故选D.

点睛：本题考查了立体图形的识别，关键是根据棱锥的概念判断.

12、B

【解析】

根据角平分线的定义推出AECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2,进而可求出CE2+CF2的

值.

【详解】

解：：CE平分NACB,CF平分/ACD,

.,.ZACE=-ZACB,ZACF=-ZACD,BRZECF=-（ZACB+ZACD）=90°,

222

...△EFC为直角三角形，

又；EF〃BC,CE平分NACB,CF平分NACD,

:.ZECB=ZMEC=ZECM,ZDCF=ZCFM=ZMCF,

/.CM=EM=MF=5,EF=10,

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的

角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90。的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证

明出AECF为直角三角形.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、26+4或与

3

【解析】

分析：依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当NCDM=90。时，ACDM是直角三角形；当NCMD=90。

时，ACDM是直角三角形，分别依据含30。角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的

长.

详解：分两种情况：

①如图，当NCDM=90。时，ACDM是直角三角形，

,在RtAABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=23+4,

1「

：.ZC=30°,AB=-AC=V3+2,

由折叠可得，ZMDN=ZA=60°,

.\ZBDN=30°,

ABN=-DN=-AN,

22

••BN-AB---------------,

33

；.AN=2BN=26+4,

3

；NDNB=60。，

，ZANM=ZDNM=60°,

，NAMN=60°,

..____2-^3^+4

..ANT=MN=—..........；

3

②如图，当NCMD=90。时，ACDM是直角三角形,

由题可得，ZCDM=60°,ZA=ZMDN=60°,

.\ZBDN=60°,ZBND=30°,

.•.BD=-DN=-AN,BN=®BD,

22

XVAB=73+2,

；.AN=2,BN=V3,

过N作NHJ_AM于H,贝!]NANH=30。,

.,.AH=-AN=LHN=J3,

2

由折叠可得，NAMN=NDMN=45。,

/.△MNH是等腰直角三角形，

，HM=HN=G

/.MN=V6，

故答案为：马回或布.

3

点睛：本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键.折叠是一种对称变换,

它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

14、30

【解析】

试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AE=CE,根据折叠可得：BC=CE,则

BC=AE=BE=,AB,贝！|NA=30°.

■

考点：折叠图形的性质

15、1

【解析】

1k

过A作x轴垂线，过3作x轴垂线，求出A(1,1),B(2,-),C(1,fc),D(2,-),将面积进行转换SA

22

—SACOM-SAAOM>SAABD-S横形AMNO-S^AAMNB进而求解.

【详解】

解：过A作x轴垂线，过5作x轴垂线，

点A,5在反比例函数》=工(x>0)的图象上，点A,5的横坐标分别为1,2,

x

AA(1,1),B(2,-),

2

'：AC//BD//y^,

k

：.C(1,k),D(2,一)，

2

3

,.,△。4（7与4430的面积之和为一,

2

•Q=q-v

-uOAC-u.COMuAOM=-x^--xlxl=-

2222

k-1

SAABD-S梯形AMND一S梯形AAMN3=~T~

k1k-l3

•_________I________——

"2242

:・k=',

故答案为L

【点睛】

本题考查反比例函数的性质，上的几何意义.能够将三角形面积进行合理的转换是解题的关键.

16-.AE=AD（答案不唯一）.

【解析】

要使AABE丝AACD,已知AB=AC,ZA=ZA,则可以添加AE=AD,利用SAS来判定其全等；或添加NB=NC,

利用ASA来判定其全等；或添力口NAEB=NADC,利用AAS来判定其全等.等（答案不唯一）.

17、2

【解析】

试题解析：为圆。的直径，弦。。，4瓦垂足为点E.

:.CE=-CD=4.

2

在直角△OCE中，OE=>JOC2-CE2=J52-42=3.

贝！IAE=OA-OE=5-3=2.

故答案为2.

18、3或1

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形得出：AD/7BC,AD=BC,ZADB=ZCBD,又由NFBM=NCBM,即可证得FB=FD,

求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出

方程并解方程即可得出结果.

【详解】

解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

AAD/7BC,AD=BC,

；.NADB=NCBD,

VZFBM=ZCBM,

/.ZFBD=ZFDB,

:.FB=FD=12cm,

VAF=6cm,

JAD=18cm,

•.,点E是BC的中点，

11

:.CE=—BC=—AD=9cm,

22

要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，

设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9,

解得：t=3或t=L

故答案为3或L

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识.注意掌握分类讨论

思想的应用是解此题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)40；(2)54,补图见解析；(3)330；(4)

2

【解析】

(1)根据由自主学习的时间是1小时的人数占30%,可求得本次调查的学生人数；

(2)«=—x360°=54°,由自主学习的时间是0.5小时的人数为40x35%=14；

40

(3)求出这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比乘以600即可；

(4)根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况，再利用概率公式求解即可求

得答案.

【详解】

(1)•••自主学习的时间是1小时的有12人，占30%,

.,.12+30%=40,

故答案为40；

(2)«=—x360o=54°,故答案为54；

40

自主学习的时间是0.5小时的人数为40x35%=14；

/、14+8

(3)600x--------=330；

40

故答案为330；

(4)画树状图得：

开始

ABCD

/N/l\/N

RCDACDABDABC

•.•共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能，

,、61

：.P(A)=—=-.

122

2

20、(1)抽样调查；12；3；(2)60；(3)y.

【解析】

试题分析：(1)根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据C在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是

5,列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A、C、D的件数即为B的件数；

(2)求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14,计算即可得解；

(3)画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解.

试题解析：(1)抽样调查，

所调查的4个班征集到作品数为：5+国_=12件，B作品的件数为：12-2-5-2=3件，故答案为抽样调查；12；3；

360

把图2补充完整如下:

作品(件)

(2)王老师所调查的四个班平均每个班征集作品元=12+4=3(件)，所以，估计全年级征集到参展作品：3x14=42(件);

(3)画树状图如下:

男2男3女1女2男1男3女1女2男1男2女1女2男1男2男3女2男1男2男3女1

列表如下:

男1男2男3女1女2

男1—男1男2男1男3男1女1男1女2

男2男2男1—男2男3男2女1男2女2

男3男3男1男3男2—男3女1男3女2

女1女1男1女1男2女1男3—女1女2

女2女2男1女2男2女2男3女2女1

1233

共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，所以，p(一男一女)===一，即恰好抽中一男一女的概率是一.

2055

考点：L条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图；4.列表法与树状图法；5.图表型.

21、135°m+n

【解析】

试题分析：

(1)由已知条件证△ABD04AEC,即可得到NBDA=NCEA；

(2)过点E作EG1CB交CB的延长线于点G,由已知条件易得NEBG=6(F,BE=2,这样在RtABEG中可得EG=6，

BG=1,结合BC=n=3,可得GC=4,由长可得EC=M，结合△ABD义AAEC可得BD=EC=M；

(3)由(2)可知，BE=®K,BC=n,因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC=四加+〃，此时BD最大=EC最

大=A/2OT+n；

(4)由^ABD^AAEC可得/AEC=NABD,结合△ABE是等腰直角三角形可得^EFB是直角三角形及BE2=2AE2,

从而可得EF2=BE2-BF2=2AE2-BF2.

试题解析：

(1)•..△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，且NEAB=NDAC=90。，

/.AE=AB,AC=AD,ZEAB+ZBAC=ZBAC+ZDAC,即NEAC=NBAD,

/.△EAC^ABAD,

.,.ZBDA=ZECA；

(2)如下图，过点E作EGLCB交CB的延长线于点G,

...NEGB=90。，

•在等腰直角△ABE,ZBAE=90°,AB=m=e,

/.ZABE=45°,BE=2,

,.,ZABC=75°,

，ZEBG=180o-75°-45o=60°,

.\BG=1,EG=V3,

.*.GC=BG+BC=4,

•*,CE=^42+(«\/3)2=V19>

VAEAC^ABAD,

/.BD=EC=719;

(3)由(2)可知，BE=0〃z,BC=n,因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC="n+〃，

；BD=EC,

ABD最大=EC最大=6m+n，此时NABC=180°-NABE=180°-45°=135°,

即当NABC=135°时，BD最大=®?+〃；

(4)VAABD^AAEC,

/.ZAEC=ZABD,

,在等腰直角△ABE中，ZAEC+ZCEB+ZABE=90°,

ZABD+ZABE+ZCEB=90°,

.,.ZBFE=180°-90o=90°,

.,.EF2+BF2=BE2,

又•.•在等腰RtAABE中，BE2=2AE2,

/.2AE2=EF2+BF2.

点睛：(1)解本题第2小题的关键是过点E作EG_LCB的延长线于点G,即可由已知条件求得BE的长，进一步求得

BG和EG的长就可在RtAEGC中求得EC的长了，结合(1)中所证的全等三角形即可得到BD的长了；(2)解第3

小题时，由题意易知，当AB和BC的值确定后，BE的值就确定了，则由题意易得当E、B、C三点共线时，

EC=EB+BC=V^+〃是EC的最大值了.

1

22、(1)c=—1—；(2)y—x~9—2x—3；(3)—

-2

【解析】

(1)把A(-1,0)代入y=x2-bx+c,即可得到结论；

(2)由(1)得，y=x2-bx-l-b,求得EO=2,AE=-+1=BE,于是得至I]OB=EO+BE=2+2+i=b+l,当x=0时，得

2222

到丫=-b1,根据等腰直角三角形的性质得到D(。，-b-2),将D(1■，-b-2)代入y=x2-bx-Lb解方程即可得到结论;

(3)连接QM,DM,根据平行线的判定得到QN〃MH,根据平行线的性质得到NNMH=NQNM,根据已知条件得

到NQMN=NMQN,设QN=MN=t,求得Q(1-t,t2-4),得至(JDNM-4-(-4)=t2,同理，设MH=s,求得NHM-s2,

根据勾股定理得到NH=1,根据三角函数的定义得到NNMH=NMDH推出NNMD=90。；根据三角函数的定义列方程

535

得到ti=7,t2=匚(舍去)，求得MN=7,根据三角函数的定义即可得到结论.

353

【详解】

(1)把A(-1,0)代入y=x?-bx+c,

；・1+b+c=0,

：・c=-1—b；

(2)由(1)得，y=x2-bx-1-b,

•••点D为抛物线顶点，

AE0=-,AE=-+1=BE,

22

OB=EO+BE=-+-+l=b+l,

22

当x=0时，y=-b-1,

CO=b+l=BO,

.••/OBC=45。，

4FB=90°-45°=45°="BF,

EF=BE=AE=DF,

DE=AB=b+2,

••.D、,-b-2）

将D、,-b-2］代入y=x?—bx—1—b得,—b—2=（、）—-b—1>

解得：匕=2,b2=-2（舍去），

二次函数解析式为：y=x2-2x-3；

•/QN±ED,MP±ED,

.•./QNH=^MHD=90°,AQN//MH,

:.NNMH=NQNM,

,:NQMN+NQMP=180°,

/.NQMN+NQMN+NNMH=180°,

■:NQMN+NMQN+NNMH=180°,

1QMN=NMQN,设QN=MN=t,则Q(l—t/2—4),

ADN=t2-4-(^)=t2,同理，

设MN=s,则HD=s2,NH=t2—s?,

在RtAMNH中，NH2=MN2-MH\

A(t2-s2)2=t2-s2,

t2-s2=1>

ANH=1,

,,7…NH1

tan/NMH=-----=—,

MHt

^NMH=^MDH,

■:^NMH+^MNH=90°,

^fMDH+^MNH=90°,

.,・/NMD=90°；

■:QN:DH=15:16,

ADH=—t,DN=—1+1,

1515

Vsin^NMH=sin/MDN,

NHMN-=—

:.——=——，即nnt16，,，

MNDN—1+1

_53

解得：t2=——(舍去),

/.MN=-,

3

,/NH2=MN2-MH2,

4

:.MH=-=PH,

3

47

/.PK=PH+KH=-+1=-,

33

720

当乂=一时,y=—

39

••年「斗

,CK=3--,

99

7

tan/KPC=?=g,

3

•.,4KC=4OC=90°,

••.^KGC=^OBC=45°,

777714

AKG=CK=-,CG=-V2,PG=---=—,

99399

过P作PTLBC于T,

APT=GT=—PG=-V2=CG，

29

CT=2PT,

PTPT

tan/PCF=

CT2PT2

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行线的性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的作出辅助线构造直

角三角形是解题的关键.

23、(2)1

【解析】

试题分析：(1)连结OC,由FC=5C，根据圆周角定理得NFAC=NBAC,而NOAC=NOCA,则NFAC=NOCA,

可判断OC〃AF,由于CDLAF,所以OCLCD,然后根据切线的判定定理得到CD是。O的切线；

(2)连结BC,由AB为直径得NACB=90。，由人/=PC=8C,得NBOC=60。，则NBAC=30。，所以

ZDAC=30°,在RtAADC中，利用含30。的直角三角形三边的关系得AC=2CD=16，在RtAACB中，利用含30。

的直角三角形三边的关系得BC=1AC=LAB=2BC=8,所以。O的半径为1.

3

试题解析：(1)证明：连结OC,如图,

,:FC=BC

:.ZFAC=ZBAC

,-,OA=OC

/.ZOAC=ZOCA

:.ZFAC=ZOCA

AOCZ/AF

VCD1AF

/.OC±CD

，CD是。O的切线

(2)解：连结BC,如图

VAB为直径

，ZACB=90°

AF=FC=BC

1

.,.ZBOC=-xl800=60°

3

:.ZBAC=30°

，ZDAC=30°

在RtAADC中，CD=2出

.\AC=2CD=173

在RtAACB中，BC=

/.AB=2BC=8

.•.(DO的半径为1.

考点：圆周角定理，切线的判定定理，30。的直角三角形三边的关系

24、737作a〃b〃c〃d,可得交点P与P，

【解析】

(1)根据勾股定理计算即可；

(2)利用平行线等分线段定理即可解决问题.

【详解】

⑴AC=762+12=V37>

故答案为：；

.1

:.SABCP=SAABP,=-SAABC.

3

故答案为作a〃b〃c〃d,可得交点P与P.

【点睛】

本题考查作图-应用与设计，勾股定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于

中考常考题型.

25、(1)见解析；(2)xi=l,X2=2

【解析】

(1)根据根的判别式列出关于m的不等式，求解可得；

(2)取m=-2,代入原方程，然后解方程即可.

【详解】

解：(1)根据题意，△=(m—1)2—4[—(2m+2)]=m2+6m+12=(m+2)2+4,

(m+2)2+4>1,

方程总有两个不相等的实数根；

(2)当m=-2时，由原方程得：X2—4X+2—1.

整理，得(x-1)(x-2)=1,

解得xi=LX2=2.

【点睛】

本题主要考查根的判别式与韦达定理，一元二次方程ax2+bx+c=l(a#l)的根与A=b2-4ac有如下关系