数列专题之数列的通项与求和（1）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习数列专题之数列的通项与求和①教学目标1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式，掌握数列求通项的几种方法2、掌握数列求和的几种方法3、理解与的关系，培养观察能力和化归能力．知识梳理1、通项常见的求法1.公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有，等差数列和等比数列的通项公式。2.归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。这种方法叫做归纳法。3.累加法：利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（其中数列{f(n)}可求前n项和）。4.累乘法：利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法。累乘法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（数列g{n}可求前n项积）。5.转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：（1）凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式（q、d为常数，，）。通过凑配变成，或消常数项转化为；（2）倒数变换——如将一阶分式递推公式（c、d为非零常数）取倒数得；（3）对数变换——如将一阶递推公式取对数得（4）换元变换——如将一阶递推公式（q、d为非零常数，，）变换成，令，则转化为一阶线性递推公式。2、数列求和的最基本最重要的方法.一、公式法等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：4、二、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.三、反序相加法求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.四、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.五、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)六、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.七、利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.典例精讲例1.（★★）已知数列｛an｝满足，求数列的通项公式。解： 巩固练习1.（★★）已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.解：2.（★★★）已知数列满足，，求此数列的通项公式.解：回顾总结（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由得：时，，，，所以各式相加得即：.为了书写方便，也可用横式来写：（3）已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例2.（★★★）设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：巩固练习1.（★★★）已知,求数列的通项公式。解：回顾总结（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得时，，=f(n)f(n-1).例3.（★★）已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得＝＝＝1－例4.（★★）求和：………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设……….②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴巩固练习1、已知数列对于任意，有，若，则 。解：42、已知数列{}的前项和，则其通项；解：2n-103、等差数列中，；求数列的通项公式；解：4、求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………①………………②（设制错位）①－②得（错位相减）∴回顾总结1、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种