期中复习模拟卷（11）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

期中考试模拟卷（11）一．单选题1．设复数（其中为虚数单位），则的虚部是A．1 B．0 C． D．2．如图，边长为1的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则平面图形以为轴旋转周所围成的几何体是A．一个圆柱 B．一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体 C．一个圆锥和一个同底面的圆柱（内部挖去一个同底等高的圆锥）的组合体 D．两个同底的圆锥的组合体3．已知，满足，，则等于A． B． C． D．4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则角A． B． C． D．5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为1，下底面边长为2高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为A．16 B． C． D．216．已知平面单位向量，，满足，设向量，向量，则A． B．2 C． D．7．已知的内角，，对的边分别为，，，，当内角最大且时，的面积等于A． B． C． D．8．在中，，，，点为的外心，若，则A． B． C． D．二．多选题9．已知复数为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是A．点的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为10．已知中，，，是边的中点，为所在平面内一点，若是边长为2的等边三角形，则的值可能是A． B． C． D．11．在中，角、、所对的边的长分别为、、．下列命题中正确的是A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是直角三角形 C．若，则一定是钝角三角形 D．若，则一定是锐角三角形12．在棱长为的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，的半径分别为，，则A． B． C．这两个球的体积之和的最大值是 D．这两个球的表面积之和的最小值是三．填空题13．已知向量，，且，则．14．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形面积为．15．若正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，高为，则这个三棱锥外接球的表面积为．16．在中，，，的面积为，则中最大角的正切值．四．解答题17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答在中，，，分别是角，，的对边，已知_____，，且的面积，求的周长．18．在平行四边形中，为的中点，．（1）设，，用，表示和；（2）求实数的值，使得与共线．19．如图，正方体中，，分别为，的中点．（1）求证：，，，四点共面；（2）若，，与平面交于点，求证：，，三点共线．20．有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为的扇形，在这个圆锥中内接一个高为的圆柱．（1）求圆锥的体积；（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大？21．在中，角，，的对边分别为，，，若．（1）求角的大小；（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值．22．设函数，，．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）设，解关于的不等式．期中考试模拟卷（11）答案1．解：因为，所以的虚部为0，故选：．2．解：由直观图画出原图，如下图所示；因为，所以，所以平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一个圆柱（里面挖去一个圆锥）．故选：．3．解：因为，，所以，，则．故选：．4．解：因为，由正弦定理可得，由余弦定理的推论，可得，又，所以．故选：．5．解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，正六棱台的上下底面边长分别为1和2，则，，故．故选：．6．解：，是单位向量，，又，，，，解得：，，故，的夹角是，又，，，，故，故选：．7．解：因为，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，取得最大值，所以，的面积．故选：．8．解：，，，由余弦定理得，，因为，所以，因为点为的外心，，同理，解得，，则．故选：．9．解：．复数在复平面内对应的点为，故正确；．复数，所以复数，故正确；．．设，所以，所以，表示的是复数和在复平面内对应的点的距离，故的最大值为，最小值为，故正确，错误．故选：．10．解：如图，若与在的同侧时，则，如图，若与在的异侧时，则，故选：．11．解：因为，又中不可能有两个钝角，故，，，所以，，都为锐角，正确；因为，由正弦定理得，即，所以，即，因为，所以，所以一定是直角三角形，正确；因为，所以，整理得，因为，所以，即，一定是直角三角形，错误；因为，所以即，所以，所以，因为，故，即为直角，则一定是直角三角形，错误．故选：．12．解：由题意可得，，则，从而，故这两个球的体积之和为：，因为，所以，即，当且仅当时等号成立；这两个球的表面积之和，当且仅当时等号成立．故选：．13．解：因为，，所以，若，则，解得，故答案为：．14．解：水平放置的图形为一个直角梯形，由题意可知，该直角梯形的上底为1，高为，下底为2，所以直观图的面积为，因为，所以原平面图形的面积为．故答案为：．15．解：设垂直面于，则，，因为，所以，设球的半径为，则，解得，所以球的表面积，故答案为：．16．解：因为，，的面积为，所以，可得：，又．所以，或．由，可得不可能为最大角，①若为最大角，则，可得．②若为最大角，则，由余弦定理可得：，解得．可得，解得，，所以．综上可得：最大角的正切为：或．故答案为：或．17．解：①；所以，即，因为，所以，因为为三角形内角，，②；，所以，即，因为为三角形内角，，③；由正弦定理得；因为，所以，所以，因为为三角形内角，，而，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以，故的周长．18．（1）解：，，（2）解：，与共线，存在使得，即，又不共线，，（此处也可由对应系数成比例直接得到）解得．19．证明：（1）连接，在正方体中，，分别为，的中点，是△的中位线，，又因为，四边形为梯形，即，，，四点共面．（2）在正方体中，，，是平面与平面的交线，又因为交平面于点，是平面与平面的一个公共点．因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，，，三点共线．20．解：（1）圆锥侧面展开图的半径为5，圆锥的母线长为5．设圆锥的底面半径为，则，解得，圆锥的高为4．圆锥的体积；（2）设圆柱的底面半径为，则，，圆柱的侧面积为，当且仅当，即时，圆柱的侧面积最大．21．解：（1）由正弦定理得，，，，即，，，，即，，．（2）在中，，，