函数方程专题之函数方程思想（1）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习函数方程专题之函数与方程思想教学目标理解函数思想与方程思想的含义，以及它们之间的联系，能熟练利用函数与方程的思想解题。知识梳理1．函数与方程思想的含义函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的练习。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点．（1）函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．（2）方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题．（3）方程的思想与函数的思想密切相关：方程的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标（零点）；函数也可以看作二元方程；通过方程进行研究，方程有解，当且仅当属于函数的值域；与的图像的交点问题，就是研究方程的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．2．函数与方程的思想在解题中的应用（1）函数与不等式的相互转化，对函数，当时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式；（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要；（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；（4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．典例精讲例1．（★★）（1）已知函数，则方程的解_____；（2）已知函数，则_____．评注：（1）（2）设，由的具体定义可看出时函数值大于，故。说明：将求函数值问题转化成为相关的解方程问题。例2．（★★）关于的方程恒有解，求的取值范围．解析：（法一）设原方程有解即方程有正根，即．解得（法二）设①当；②.综上可得，．点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决．巩固练习1．（★★）当时，方程（）．至少有一解； ．至多有一解；．一定有两解；．无解．答案：．2．（★★）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是_____．答案：．3．（★★）方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围为（）．－1≤k≤eq\f(5,4)；．－eq\f(5,4)≤k≤0；．0≤k≤eq\f(5,4)； ．－eq\f(5,4)≤k≤1．解析：由方程sin2x＋cosx＋k＝0，得k＝－sin2x－cosx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，令t＝cosx，则t∈[－1,1]，∴k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，求得－eq\f(5,4)≤k≤1．答案：．4．（★★★）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是_____．分析：求参数的范围，可以先将分离出来，表示为的函数，求出函数的值域，进而得到参数的范围。解：方程即,利用绝对值的几何意义,得，可得实数的取值范围为．评注：本题将方程转化为函数，利用函数的值域得到的不等式，求得参数的范围．5．（★★★）已知关于的方程有解，则的取值范围是_____．答案：．例3．（★★★）(上海市长宁区2011年4月高考模拟理科14)设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是_____．答案：．巩固练习1．（★★★）设,函数,若方有四个不同的实数解,则实数的取值范围是_____．答案：．2．（★★★）已知关于的方程有唯一解，求的值．解析：令，的图像关于轴对称，而题设方程由唯一解，从而此解必为（否则必有另一解）．．例4．（★★★）已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．解：∵，∴f(t)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，从而m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，原题可转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．当x＝2时，不等式不成立．∴x≠2，令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2为m的一次函数．问题转化为g(m)在m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上恒大于0．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，,g(3)>0.))解得x>2或x<－1.故x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．例5．（★★★）对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为：当时，恒成立，求的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．解：设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是．点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．巩固练习1．（★★）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是_____．2．（★★）当时，不等式恒成立，则的取值范围是_____．解：构造函数：．由于当时，不等式恒成立，等价于在区间上函数的图象位于轴下方，由于函数的图象是开口向上的抛物线，故只需即，解得．【此题也可以用分离参数法来做】3．（★★★）对任意，不等式恒成立，求的取值范围．解：令，则原问题转化为恒成立（）．当时，可得，不合题意．当时，应有解之得．故的取值范围为．【对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。】回顾总结1．借助有关函数的性质，一是用来解决有