2024年中考数学探究性训练-相交线与平行线 (二)

备考2024年中考数学探究性训练专题18相交线与平行线

一、选择题

1.小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线ln（n=l,2,3,4,

5,6,7）,其中h、b互相平行，b、14、15三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多

是（）

A.17个B.18个C.19个D.21个

2.在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了

符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（）

①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直

线平行，内错角相等.

A.②④B.③⑤C.①②⑤D.①③④

3.在探究证明“三角形的内角和是180。”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证

明“三角形内角和是180。”的是（）

A.过C作EF||AB/

AL----------

C

B.过AB上一点D作DE||BC,DF||AC

ADB

F；

C.延长AC到F,过C作CEIIAB

AB

C

D.作CDXAB于点D

ADE

4.加强对课本习题的探究，对解题有很好的指导作用.如课本第82页有这样一题，如图，AD//BC,

BD平分/ABC,求证：AB=AD.

可将这个题目归纳为：平行加角平分线，得到等腰三角形.请利用这个结论解题：如图，已知AABC

中，I是NA,ZB,NC的平分线的交点，AB=6,BC=5,AC=4.平移NA,使点A与点I重合，两边

分别交BC于D,E两点，则△【口£的周长为（）

A.4B.5C.6D.9

二、填空题

5.在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含30。角，一块含45。角）的摆放”为背

景开展数学探究活动.某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列结论正确的有（直接

写序号即可）.

①ZBAD=Z.CAE-,②若ZBAE=30°,则AC||DE；③若NBFD=NC,则ZBZD=45°；④若

NBZE=45。，则

6.探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这

点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等.例如：如图1,两直线血〃几，两点4、

T在m上，HEJ.n于E,TF_L九于F,则HE=TF.

如图2,已知直线m//n,A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点.

图1图2

（1）请写出图中面积相等的各对三角形：.

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在巾上移动，那么无论P点移动到任何位置总有:

与&ABC的面积相等；理由是：.

7.观察下面图形，按要求找角（不含平角），如图①，两条直线交于同一点0,共有对对

顶角；如图②，三条直线交于同一点O,共有对对顶角；探究：若有n条直线相交于同

一点，则可形成对对顶角.

ADAD

C、。\、

F

图①图②

8.在数学探究活动中，“创新”小组进行了如下操作：如图，将矩形纸片ABCD的一角沿过点C的直

线折叠，使得点B落在边AD的点H处，再将另一角沿过点C的直线折叠，使得点D落在CH的点

Q处，两次折叠的折痕分别为CE、CFo请完成以下探究：

（1）NBEC+NDFC的大小为；

（2）若AB=3,BC=5时，器的值为。

9.（问题探究）如图1,a//b,直线MN1a,垂足为M,交b于点N,点/到直线a的

距离为2,点B至I」b的距离为1,MN=1,4B=5,则4M+BN的最小值是；（提

示：将线段BN沿NM方向平移1个单位长度即可解决，如图2所示.）

（关联运用）如图3,在等腰RtAABC和等腰RtADEF中，乙4cB=ADFE=90°,EF在

直线AB上，BC=2DF=4,连接CE、CF,贝ijCE+CF的最小值是.

|«I图2图3

三'作图题

10.小冬阅读了教材中“借助三角尺画角”的探究活动（如图1、图2的实物图所示），他在老师指导下

画出了图1所对应的几何图形，并标注了所使用三角尺的相应角度（如图3）,他发现用一副三角尺还

能画出其他特殊角.

请你借助三角尺完成以下画图，并标注所使用三角尺的相应角度.

(1)画出图2对应的几何图形；

(2)设计用一副三角尺画出105。角的画图方案，并画出相应的几何图形；

(3)如图4,已知NMON=30。，画NMON的角平分线OP.

四'实践探究题

11.感知：如图①，在四边形ABCD中，AB〃CD,ZB=90°,点P在BC边上，当NAPD=90。时，

可知△ABPs/^PCD.(不要求证明)

探究:如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当/B=NC=/APD时,求证:AABP^APCD.

拓展：如图③，在AABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC±.若

ZB=ZC=ZDPE=45°,BC=6V2,CE=4,求DE的长

图①图②图③

12.小明在一组平行线中作角，探究两边与平行线形成的锐角的数量关系.

⑴如图1,他先作出乙40B=60。，且点。在一条直线上，当21=19。时，Z2=41°.点。在两

条平行线之间，如图2,请用等式表示N1与N2的数量关系并证明.

(2)在图3中，乙4OB=60。，点0在两条平行线之间，记04与图中一条直线形成的锐角为a,

若小明作射线。C，使得NC0B=45。，记。C与图中另一条直线形成的锐角为0,请用等式表示a与0

之间的数量关系.

13.综合与探究

【问题】如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,过点C作直线1平行于AB,ZEDF=90,

点D在直线1上移动，角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数

量关系。

【探究发现】

(1)如图2,某数学学习小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C

重合时，很容易就可以得到DP=DB,请写出证明过程；

(2)如图3,若点P是AC上的任意一点(不含端点A、C),受(1)的启发，另一个学习小组过点D

作DG1.CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程。

(3)若点P是CA延长线上的任意一点，在图(4)中补充完整图形，并判断结论是否仍然成立。

14.如图，已知格线相互平行，小明在格线中作NAOB、NCPD、ZEOF,探究角的两边与格线形成

的锐角所满足的数量关系.

图1图2图3

(1)如图1,NAOB=60。，点0在一条格线上，当Nl=20。时，求N2的度数;

(2)如图2,NCPD=60。，点P在两条格线之间，用等式表示N3与N4的数量关系，并证明;

(3)如图3,NEOF=60。，小明在图3中作射线QG,使得NGOF=45。.记QG与图中一条格线形成

的锐角为a,QE与图中另一条格线形成的锐角为0,探究a与［3的数量关系，并用等式表示a与0的数量

关系.

15.综合与探究

(1)如图1,A0||CP,0B||PD,则乙40B与乙CPD之间的数量关系为；如图2,

A0||CP,0B||PD,则乙40B与乙CPD之间的数量关系为.

(2)在图3中，AB||CD,AF||CE,EF||CD,乙4=45。，求ZE的度数.

(3)在图4中，AD||CF,DE||BC,AB||FG,4。平分试探究N2BC、乙DHF与乙CFG之

间的数量关系.

16.直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些

不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！

【问题探究】

(1)①如图1,若4B||CD,点P在AB,CD内部，乙8=55。，Z.D=30°,则ZBPD=；

②如图2,若4BIICD,将点P在AB,CD外部，求4BPD,乙B,乙0之间数量关系

(不需证明);

③如图3,写出NBPD,乙B,乙D,ZBQC之间的数量关系：(不需证

明).

(2)如图4,五角星ABCDE,请直接写出乙4+ZB+NC+AD+NE=.

(3)如图5,将五角星4BCCE去掉一个角后，ZB/ZC+AD+ZE+ZP+ZQ是多少？请证明你

的结论.

17.在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究.

(1)问题梳理:

问题呈现:如图1,点D在等边三角形ABC的边BC上，过点C作AB的平行线1,在1上取CE=BD,

连结AE,则在图1中会产生一对旋转图形.请结合问题中的条件，证明：△ABD0AACE.

(2)初步尝试:

如图2,在AABC中，AB=AC,点D在边BC上，且BDvDC,将4ABD沿某条直线翻折，使得

AB与AC重合，点D与BC边上的点F重合，再将4ACF沿AC所在直线翻折，得到aACE,则在

图2中会产生一对旋转图形.若NBAC=30。，AD=6,连结DE,求4ADE的面积.

(3)深入探究：

如图3,在AABC中，zACB=60%ZBAC=75。，AC=6,D是边BC上的任意一点，连结AD,

将线段AD绕点A按逆时针方向旋转75。，得到线段AE,连结CE,求线段CE长度的最小值.

图1图4

【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题:

(1)如图1所示，已知AB//CD,点E为AB,CD之间一点，连接BE,DE,得至此BED请猜想/BED

与乙B、ND之间的数量关系，并证明；

猜想：▲；

证明：

(2)如图2所示，已知4B〃C。，点E为4B,CD之间一点，乙4BE和NCDE的平分线相交于点F,

若ZE=8O。，求AF的度数；

(3)【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：AB//CD,

点E的位置移到AB上方，点F在EB延长线上，且BG平分N4BF与乙CDE的平分线DG相交于点G,

请直接写出ZG与ZE之间的数量关系；

(4)【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件4B〃C。去掉，提出了以下问题：

已知2B与CD不平行，如图4,点M在上，点N在上，连接MN,且MN同时平分NBME

和ADNE,请直接写出乙4ME,ACNE,NMEN之间的数量关系.

19.小明完成作业后在家复习，他看到七下课本第12页例4,感到这个结论十分有趣，便尝试探究起

来.

(1)【基础巩固】

与例4条件和结论互换，改成了：“如图1,AP平分NBAC,CP平分NACD,AB〃CD,贝(J

Nl+N2=90。，”小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗？请说明理由.

(2)【尝试探究】

小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，贝广Nl+N2=90。”这个结论不成立.请帮小明完

成探究：

如图2,AB/7CD,AP平分NBAC,CPXAC,N1是AP与AB的夹角，Z2是CP与CD的夹角.

①若N2=22。，求N1的度数.

②试说明：2N1-N2=9O。.

(3)【拓展提高】

如图3,若AB〃CD,AP±AC,CP平分NACD,请直接写出N1与N2的数量关系.

20.综合与探究

数学活动课上，老师以“一个含45。的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动,

如图1,已知直线THII",直角三角板4BC中，乙4cB=90。，NB4C=N4BC=45。.

(1)如图1,若22=65。，则21=；(直接写出答案)

(2)“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2,调整三角板的位置，当三角板ABC的直

角顶点C在直线n上，直线巾与AB,AC相交时，他们得出的结论是：Z1-Z2=135°,你认为启

航小组的结论是否正确，请说明理由;

(3)如图3,受至IJ“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三

角板的位置，当点C不在直线九上，直线m与4C,BC相交时，N1与N2有怎样的数量关系？请你

用平行线的知识说明理由.

21.某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形EFGH为矩形，请你帮助他们解决

下列问题:

上，顶点R〃恰好落在ABCD的对角线BD上，求证：BF=DH：

s~/

(2)【深入探究工如图2,若2BCD为菱形，乙4BC=60。，若AE=ED,求产竺幽的值;

,矩形EFGH

(3)【拓展延伸工如图(3),若2BC0为矩形，AD^m；43=71且4£'=£7),请直接写出此

S,

时物形4BCD的值是(用含有如〃的代数式表示).

矩形EFGH

22.数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是180。”，进行了一系列探究，过程如下:

(1)【论证】如图1,延长至点。，过点A作AE〃BC,就可以说明234。+23+2。=180。

成立，即：三角形的内角和为180。.请完成上述说理过程.

(2)【应用】如图2,在小ABC中，NBAC的平分线与44cB的角平分线交于点P,过点A作AE//BC,

M在射线4E上，且乙4cM=Z4MC,MC的延长线与4P的延长线交于点。.

①求ZDCP的度数；

②设NB=a,请用a的代数式表示乙D.

(3)【拓展】如图3,在A4BC中，ZBAC=9O。，乙4cB=30。，过点4作EF〃BC,直线MN与

EF相交于A点右侧的点P,乙APN=75°.△ABC绕点A以每秒12。的速度顺时针方向旋转，同时MN

绕点P以每秒5。的速度顺时针方向旋转，与EF重合时MN再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当

△4BC旋转一周时，运动全部停止.设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得MN与

△4BC的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.

23.综合探究

如图，在A/BC中，乙4BC=NC,BD是乙4BC的平分线,BE是AC边上的高,垂足为E,设NB4C=a.

(1)探究与发现

①如图1,若a=30。，则ZC的度数为▲,LDBE的度数为▲:

②如图2,若a=80。，则ADBE的度数为▲；

③试探究NBDC与a的数量关系，并说明理由.

(2)拓展与思考

如图3,NBDC的平分线DF交BC于点F.当。F〃AB时，求乙DBE的度数.

24.某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边△2BC中，4B=2,点。在射线BC上

（1）【问题发现】如图（1）,当点。在线段BC上运动时（不与点B重合），连接CE则线段BD与CE

的数量关系是;直线BA与CE的位置关系是；

（2）【拓展延伸】如图（2）,当点。在线段BC的延长线上运动时，直线AD,CE相交于点M,请

探究△MAE的面积与^MDC的面积之间的数量关系；

（3）【问题解决】当点0在射线BC上运动时（点。不与点B,C重合），直线4D,CE相交于点M,

若^MCD的面积是孚，请求出线段BD的长.

25.【问题背景】

如图，AB||CD.连接BC,点E,F在BC上，且BF=CE,连接4E,DF,且乙4=ND.

【问题探究】

（1）试说明：AE^DF：

（2）若4B=CF,

①试判断ACDF的形状，并说明理由：

②若NB=30。，求乙DFB的度数.

26.某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角

三角形CDE,按如图1的方式摆放，乙4cB=NEC。=90。.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮

忙解答：

（1）【初步探究】如图1,试探究ED与的位置关系，并说明理由;

（2）【深入探究】如图2,当B、D、E三点共线时，请探究此位置时线段4E、BE、CE之间的数

量关系，并说明理由；

（3）【拓展延伸】如图3,当B、D、E三点不共线时，连接AE,延长BD交2E于点F,连接CF,

请猜想此位置时线段AF、BF、CF之间的数量关系：.

27.学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形.已

知RMEDF中，2。=90。，NF=60。.请根据他们的叙述条件完成题目.

（1）若ATlCB为等腰直角三角形，且NC=90。，乙4=45。；

①甲同学：如图1,HtAZCB和RtAEOF的直角边DE,BC在同一直线上，点E和点C互相重

合，斜边CF与相交于点P,那么/APF=▲度；

②乙同学：如图2,/^△水中和^^2\石。尸直角顶点©,D互相重合于点P,斜边4B与斜边EF

互相平行，求ZEPB的度数，并写出解答过程;

（2）若为等腰三角形，已知4C=BC.

丙同学：如图3,若Rt△EDF直角顶点D恰好与△ACB底边的中点重合，Rt△EDF的斜边EF

经过A4CB的顶点C,若EFIIAB,设乙4cB=x,请用含x的式子表示NEPB的度数，并写出解答过

程.

28.问题情境：在数学探究活动课上，老师让同学们以“两条平行线AB,CD和一块含30。角的直角三

角板力iBiCi（zCi=90°,乙％=30。）”为主题开展数学探究活动.

（1）探究发现：如图-1,小明把三角板4/1的的60。角的顶点以放在CD上，若N1=2N2,则

42=°；

（2）如图-2,小亮把三角板2声传1的两个锐角的顶点Bi分别放在和C。上，请你探索并

说明2441的与ZC/1C之间的数量关系；

（3）如图-3,小颖把三角板从B1C1的直角顶点Q放在CD上，30。角的顶点必放在上.若

AAA1B1=a,直域写出NB1C1C的度数（用含a的代数式表示）；

（4）拓展延伸：若将如图-3所示的三角形&B1C1绕直角顶点J顺时针旋转一周，每秒转动10。，

直域写出当CIBI_LCQ时，三角形&B1C1旋转所用的时间t（用含a的代数式表示）.

29.数学探究活动中，阿青同学为了验证：长条纸片上下边沿MN与PQ是否平行，把纸片沿着47

折叠（如图1）,并用量角器测出41、42的度数;

备用图3备用图4

Cl）若=N2,则MN||PQ.你认为阿青同学的做法正确吗？港说明理由；

（2）在（1）的条件下，阿青同学在纸条下PQ上取点。（如图2）,连结力。并沿着4E折叠纸片

使得AD与AB重合，过E作EF_LAC于点F,设乙4EF=a,^ADP=g.

①当点。在点C、B之间时，若/?=120。，求a的度数；

②当点。在PQ上的运动过程中，a和0之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.

（选其中一种情况证明）

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】①②④

6.【答案】(1)ZkABC和△ABO,APCA^APCB,△ACO和△PBO

(2)AABP；同底等高的两个三角形的面积相等

7.【答案】2；6；n(n-1)

8.【答案】(1)135°

(2)

9.【答案】3近；2713

10.【答案】(1)解：如图所示，即为所求:

(2)解：如图所示，即为所求；

心

(3)解：如图所示,即为所求；

11.【答案】解：感知ZAPD=90°,

・•・ZAPB+ZDPC=90°9

VZB=90°,

.,.ZAPB+ZBAP=90°,

；.NBAP=NDPC,

：AB〃CD,ZB=90°,

/.ZC=ZB=90°,

,,.△ABP^ADCP.

探究：VZAPC=ZBAP+ZB,ZAPC=ZAPD+ZCPD,

/.NBAP+NB=NAPD+NCPD.

ZB=ZAPD,

/.ZBAP=ZCPD.

VZB=ZC,

/.△ABP^APCD,

拓展：同探究的方法得出，△BDPs^CPE,

.BD_BP

,•玛一戏'

•.,点P是边BC的中点，

.,.BP=CP=3V2,

VCE=4,

.BD_372

,1372=-'

/.BD=1,

;NB=NC=45。，

/.ZA=180°-ZB-ZC=90°,

即ACLAB且AC=AB=6,

/.AD=AB-BD=6-|=|,AE=AC-CE=6-4=2,

在RtAADE中，DE=y/AD2+AE2=J(g)2+»=-

12.【答案】(1)解：41+22=60。.

理由如下：

如图，过点。作射线。。，使。DIIEF.

U：OD||EF,

・"1=^AOD.

•；MN||EF,OD||EF,

：.MN||OD.

z2=Z-BOD.

Azi+42=^AOD+乙BOD=A.AOB=60°.

(2)解：①射线OC在乙4OB内部.

如图，过点。作射线。。，使。。IIEF.

•：OD||EF,

a=Z-AOD.

•:MN||EF,OD||EF,

：.MN||OD.

：.B=乙COD.

:・a-B=/LAOD-乙COD=^AOC=匕AOB-乙COB=60°-45°=15°.

②射线OC在乙4OB外部，且15。＜a460°.

如图，过点0作射线。。，使。。IIEF.

OD||EF,

/.a=Z-AOD.

•:MN||EF,OD||EF,

：.MN||OD.

=乙COD.

：.a+p=匕AOD+乙COD=^AOC=^AOB+乙COB=60°+45°=105°.

③射线OC在乙4OB外部，且0。<a<15。.

如图，过点。作射线。。，使0。II",延长C。至K.

\'OD||EF,

•'•a=Z.AOD.

•：MN||EF,OD||EF,

：.MN||OD.

：.0=乙KOD.

：.p-a=乙KOD-4AOD=^KOA=180°-4AOB一乙COB=180°—60°-45°=75°.

综上所述

a-6=15。或a+0=105。或6-a=75°.

13.【答案】(1)解：ZACB=90°,AC=BC,

/.ZCAB=ZCBA=45°

VCD/7AB,

?.ZCBA=ZDCB=45°,且BD_LCD

ZDCB=ZDBC=45°

.\DB=DC

即DP=DB

【数学思考】

(2)解：VDG±CD,ZDCB=45°

ZDCG=ZDGC=45°

.,.DC=DG,ZDCP=ZDGB=135°

ZCDG=ZBDP=90°

・・・NCDP=NGDB

在4CDP和4GDB中

乙CDP=乙GDB

DC=DG

Z.DCP=乙DGB

：.ACDP^AGDB（ASA）

【拓展引申】

（3）解：如图

14.【答案】（1）解：对图形进行角标注:

・・,点O在一条格线上，

・・・N1=N3,N2=N4.

・.,NAOB=N3+N4=N1+N2=60。，Zl=20°,

JZ2=40°.

(2)解：过点P作PA〃格线，贝!JN3=NCPA,Z4=ZAPD.

NCPD=NCPA+NAPD=60。，

Z3+Z4=60°.

(3)解：当OG在NEOF内部时,

VZGOF=45°,NEOF=60。,

・•・NAOG=15。.

ZAED为aOED的外角，

・・・NAED=NAOG+NEDO.

•・•格线互相平行，

/.NEDO=a,

/.a+15°=p.

当OG在NEOF外部时,

VZGOF=45°,ZEOF=60°,

・・・NEOG=105。.

・・,ZEOG为AOMN的外角,

：.ZEOG=ZOMN+ZONM.

•・•格线互相平行，

JNOMN邛，

.*.p+a=105°.

15.【答案】(1)乙AOB=(CPD；4AOB+乙CPD180°

(2)解：'：AB||CD,EF||CD,

：.AB||EF,

：.^A==45°,

\UAF||CE,

：.£.AFE+Z-E=180°,

：.Z.E=180°-45°=135°

(3)解：延长AB,CT交于点M,

*：AB||GF,

：.AM||GF,

AZ2=乙CFG

\'AD||CF,

：.AD||MF,

：.z.3=zl,

*:BC||ED,

：.Z.EDA=乙BCM,

9CAD平分4£75H,

C./-EDA=zl,

：.Z.EDA=zl=Z3=乙BCM,

VZ2+乙BCM+乙MBC=180°,乙ABC+乙MBC=180°,

AZ2+乙BCM=乙ABC,

，乙DHF+乙CFG=^ABC.

16.【答案】(1)85°；乙B=LBPD+乙D；乙BPD=LBQD+乙B+乙D

(2)180°

(3)解：zB+zC+ZD+Z.F+ZP+zQ=360°,

证明如下：

如图5,连接CD,

Pt——

■:乙B+NE+乙BME=乙DCE+乙BDC+乙CMD=180%乙BME=乙CMD,

Z-B+Z-E=Z-DCE+乙BDC,

♦:(PCE+乙DCE+ABDC+乙BDQ+ZP+ZQ=360°,

AZB+zC+ZD+zE+zP+zQ=360°.

17.【答案】(1)证明：:△ABC是等边三角形，

・・・AB=AC,NBAC=NB=60。,

・.,CE〃AB,

・•・NACE=NBAC=60。，

・・・NB=NACE,

在AABD和4ACE中，

AB=AC

Z-B-Z-ACE9

、BD=CE

：.△ABDACE(SAS).

(2)解：过点E作EHLAD于H,如图:

由折叠可得：ZkACF2Z^ABD,AACE^AACF,

J△ACE△ABD△ACF,

・・・AE=AD=6,NCAE=NBAD,

・•・NDAE=NBAC=30。，

VEH±AD,

i

:・EH==3，

ii

••S^DE=2xADxEH=2X6x3=9.

(3)解：在AB上截取AN=AC,连接DN,作NHJ_BC于H,作AMLBC于M,如图:

NCAB=NDAE=75。,

・•・NEAC=NDAN,

VAE=AD,AC=AN,

/.△EAC^ADAN(SAS),

，CE=DN,

/•当DN的值最小时，CE的值最小，

在Rt^ACM中，ZACM=60°,

则NCAM=30。，

故MC=*C=3,

AM=yjAC2-MC2=V62-32=3存

,ZZMAB=ZBAC-ZCAM=75°-30°=45°,

.\AM=BN,

则AB=y/AM2+MB2=J(3V3)2+(3⑹?=3遍’

:.NB=AB-AN=346-6,

在RtZ^NHB中，ZB=45°,

/.BH=NH,

则NB2=NH2+BH2,

:.NH=3A/3-3V2;

根据垂线段最短可知，当点D与H重合时，DN的值最小,

.•.CE的最小值为3b-3V2.

18.【答案】(1)解：乙BED=AD+LB,

证明：过E点作E/7/4B,

图1

•••AB//CD,

：.AB||CD||EF,

・•・(ABE=乙BEF,Z-CDE=Z.DEF,

：•Z.BED=Z,D+乙B,

故答案为：乙BED=LD+乙B；

(2)解：如图2,作EG“AB,FH//AB,

AB

图2

•・•AB〃CD,

・•・EG//AB//FH//CD,

・•・乙ABF=乙BFH,乙CDF=乙DFH,^ABE+乙BEG=180°,乙GED+乙CDE=180°,

・•・乙ABE+乙BEG+乙GED+乙CDE=360°

•••(BED=乙BEG+乙DEG=80°,

・•・^LABE+/-CDE=280°,

・・・LABE和乙CDE的角平分线相交于F,

・•・乙ABF+匕CDF=140°,

・・・乙BFD=乙BFH+乙DFH=140°；

(3)ZBFD+180°=2乙BGD

(4)2乙MEN=LAME+乙ENC

19.【答案】(1)赞同.

理由如下：

^AB||CD,

：-Z.BAC+^ACD=180%

YAP平分NBAC,CP平分NACD,

Azi=^BACfZ2=4m

Azl+z2=90%

(2)解：(T),：CPLAC,

・••乙4cp=90。，

^Z.ACD=90。-42=68%

AB||CD,

：.^BAC+^ACD=180%

ALBAC=180°-/LACD=112%

VAP平分NBAC,

Azl=^BAC=56。,

②••ZB||CD,

^-^BAC+^ACD=180%

VAP平分NBAC,

..zl=|zBi4C,

・・・2/l+乙4CD=180%

Vz?lCD=90o-z2,

•••2/1+90。—42=180%

A2zl-z2=90%

(3)N1与N2的数量关系为：41+242=90。.

20.【答案】(1)20°

(2)解：结论41-42=135。正确，理由如下：

如图所示，过点3作3D||m,

AZ1+Z.ABD=180°,

：./.ABD=180°-zl,

Vm||n,

：.BD||n,

Z.CBD=Z.2,

VZi45C=45°,

：.^ABC=4ABD+乙CBD=45°,

.\180°-zl+z2=45°,

・•・41—42=135。

(3)解：41+42=90。，理由如下:

如图所示，过点C作EFIIm,

\—,B

Azi=^ACE,Z2=Z.BCF,

VzXCF=90°,

C.Z.ACE+A.BCF=180°-zXCB=180°-90°=90°,

Azl+z2=90o.

21.【答案】(1)解：•・•四边形ZBCD是平行四边形

：.AD//BC,BPzl=42

・・•四边形EFGH是矩形

：.EH=FG,EH//FG

/.z3=z4

z5=z6

・・.△BFG三△DHEQAAS)

：.BF=HD

(2)解：连接AC交BQ于点O,连接OE、OG

•.•四边形ABC。是菱形，

：.ACLBD,即乙40。=90。，

在中，E为4。中点,

1

•**OE==AE=ED,

\^ABC=2LADC=60°,

:•乙EDO=乙EOD=30°,

设ZE=ED=E。=a,

•.•四边形EFGH为矩形，

AOE=OF=OG=OH=a,

过点E作EM1EH,

11

・・・EM=*EO=^a,

2

:・S〉EFHEM=1a

:，S矩形EFGH=Q2

,:S菱形ABCD=2义学X(2a)2=2V3a2

s

・麦形ABCD_2V5

S矩形EFGH

2Vm2+n2

mn77m2

:X矩EFGH=n'i

2jm2+n22jm2+n2

S矩ABCD~mn9

.S矩ABCD2/m2+n2

22.【答案】（1）证明：延长BA至D,过点A作4E//BC,

D：

・・・LBAC+/.CAE+Z-DAE=180°,

・•・4BAC+ZC+ZB=180°,

即三角形的内角和为180。.

・・・AE//BC,

・♦・Z-MAC=Z-ACB,

・•,CP是乙4c3的角平分线，

1

:.z2=Z.PCB=-^Z.ACBi

・•・乙MAC=2z2,

又2/2+4ACM+Nl=180。，乙4cM=21,

・•・2Z2+2/.ACM=180°,

・•・Z2+Z,ACM=90°,

・・・乙PCD=180°一（Z2+/.ACM}=180°-90°90°；

②•••AP是ZB4C的角平分线，

1

:.Z.3=匕BAD=2乙BAC,

在△43。中，ZB+2Z2+2Z3=180°,

vz4=Z2+z3,/.PCD=90°,

Z4=9O°-ZD,即乙2+43=90。-ND,

・•・乙B+2Z2+2Z3=ZB+2(90°-ND)=180°,

・•・ZF+180°-2ZO=180°,

・•・乙B=2/-D,

•••Z-B=a,

1

Z-D=2。；

・•・总时间t=360+12=30（秒），

・・•MN与£F重合时MN再以原速返回,

•••重合时间为ti=75+5=15秒，此时ZEPN=O。，延长CB交E尸于点Q,

••・在前15秒内，乙EQC由180。逐渐减少，乙EPN由75。逐渐减少至0°,

又•.•当t=15秒时，AABC旋转至15X12。=180。，止匕时E尸〃BC,而ZEPN由75。逐渐减少至0。，

在前15秒内，MN与BC仅一次平行，即MN与EF重合时，些时t=15（秒）.

同理，后15秒，ZEQC由0。逐渐增至180。，ZEPN由0。逐渐增至75。，MN与BC仅可能一次平行,

有NEQC=12t2=180—5t2，

解得以=辔，

417

"15+罂=符（秒），

综上，t的值为15秒或碧秒.

23.【答案】（1）解：①75°,22.5°；

②15。；

③NBDC与a的数量关系为：=45°+.|«>

理由：vZ-BAC=a°,

11

・•・乙ABC=ZC=4(180。-a)=90°

,:BD是Z4BC的平分线，

11

・一彳

•.A.ABD=Z"Z4BC=45°a,

3

・・・乙BDC=乙4+乙ABD=45。+»,

:•乙BDC与a的数量关系为：乙BDC=45。+8

(2)解：由(1)可得：^ABD=45°-4a,NBDC=45°+」a,

•・•DF平分4BDC,

13

・・・乙BDF=*乙BDC=22.5°+§a,

Zo

••・AB//DF,

・••乙ABD=乙BDF,

13

••・45。一)a=22.5。+而

4o

・•.a—36°,

3

・・・43。。=45。+»=72。，

•・,BE1AC,

・・・乙BED=90°,

・•・"BE=90°一(BDC=18°,

:.乙DBE的度数为18°.

24.【答案】(1)BD=CE；BA//CE

(2)解：SAM4E-SAMDC=G，理由如下：

•・•△ABC和小ADE是等边二角形，

AB=AC,ABAC=ADAE=60°,AD=AE,

・•・4BAC+Z-DAC=Z-DAE+ND4a

即484。=Z.CAE,

•••△4BD丝△ACE(SZS),

S>ABD=S>ACE，

•，S〉ACE-S>ACD=S^MZE—S〉MDC，

・••^AMAE一S^MDC—S^ABD一S△力CD=S^ABC—字4炉=孚x2、=V3；

(3)解：由(1)(2)可知，无论点。在线段3。上还是在线段的延长线上,

者B有△ABDg△ACE{SAS^),BD=CE,BA//CE,S>MAE-S2MDC=V3,

c_V3

・、&MCD—~2~9

・c_巧•।乃_36

••^MAE—V3+--2~—~~2~'

•・•BA]ICE,

・•.△MAE的边ME上的高=△ABC的边AB上的高二V3,

・・・ME=3,

•・•BAIICE,

・•・△MDCs丛ADB,

CD_CM

J.BD=AB9

・•・CD-AB=BD-CM,

设CD=K,

①当点D在线段BC上时，如图(3),

图(3)

贝!J=2-％,CE=ME-CM=3-CM,

•・•BD=CE,

•e•2—x=3-CM,

.・.CM=%+1,

2%=(2-%)(%+1),

整理得：%2+%-2=0,

解得：%i=1,冷=-2(不符合题意，舍去),

：.BD=2—x=1；

②当点D在线段的延长线上时，如图(4),

贝IjBD=2+x,CE=ME+CM=3+CM,

•・•BD=CE,

・•・2+%=3+CM,

・•.CM=x-1,

2%=(2+%)(%—1),

整理得：X2-X-2=0,

解得：久i=2,久2=-1(不符合题意，舍去),

：.BD=2