2024考二轮数学讲义六　培优点8圆锥曲线中非对称韦达定理的应用含答案

2024高考二轮数学新教材讲义培优点8圆锥曲线中非

对称韦达定理的应用

1.己知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为凡点P(l,2),A(x”)-1),8(X2,»)

均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)若j=2/，求直线AB的斜率.

2.已知椭圆E的左、右焦点分别为尸i(一c,0),尸2(c,0)(c>0).点M在E上，M6,吊尸2,△MQE

的周长为6+4a,面积为gc.

(1)求E的方程;

（2）设E的左、右顶点分别为A,B,过点（|,0）的直线/与E交于C,D两点,记直线AC的

斜率为直线8。的斜率为依，则.（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线

上并给出解答）

①求直线AC和BD交点的轨迹方程；

②是否存在实常数九使得k=衣2恒成立；

③过点C作关于尤轴的对称点C',连接O微重点10离

心率的范围问题

1.若椭圆上存在点P,使得尸到椭圆两个焦点的距离之比为2：1,则该椭圆的离心率e的

取值范围是（）

B（0,用

72

2.已知椭圆今+方=1（〃>比>0）的左、右焦点分别为Fi，Fi，椭圆上存在点A,使得NQ4B

=:,则椭圆离心率的范围为（）

3.己知双曲线E：/一方=1（“>0,b>0）的左、右焦点分别为F,,若E上点A满足|AQ|

=21461，且向量福，祸夹角的取值范围为专，兀，则E的离心率取值范围是（）

A.他,的B.[巾，3]

C.[3,5]D.[7,9]

72

4.（2023•嘉定模拟）已知双曲线C：点一£=1（“>0,历>0）的离心率为e,点8的坐标为（0,b）,

若C上的任意一点P都满足贝底）

1+*J31+"^3

A."W-2~B.-

」+小、1+小

C.l<eW-2~D.eN-歹一

5.（2023•衡阳模拟）设椭圆C：,+方=

13泌>0）的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于

原点对称，且满足MBB=O,\FB\^\FA\^2\FB\,则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A（0,乎］B惇知

C.［|,用D惇1）

6.（2023・泉州模拟）已知双曲线C：，一$=1（">0,h>0）的上、下焦点分别为Fi，F2,点M

在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为£>,若IMQAIFiBI-IMQI恒成立，

则C的离心率的取值范围为（）

A.0,3B.g，2）

C.（1,2）D.g,+8）

v22

7.（多选）已知点。为坐标原点，Fi（-c,0）,F2（c,0）为椭圆空+v方=l（a>Z>0）的左、右焦点，点

P为椭圆上一点，且耐•朋=2廿，下列说法正确的是（）

A.\OP\=y［3c

B.离心率范围为1,用

C.当点P为短轴端点时，为等腰直角三角形

D.若则12112尸1尸尸2=也

7?

8.（多选）（2023•温州模拟）已知Fi（-c,0）,&（G0）（0。）是椭圆Ci：兴+5=13>加>0）与双曲线

72

C2：a嗑=1（。2>0,左>0）共同的焦点，e”62分别为C|,C2的离心率，点仞是它们的一个

交点，则以下判断正确的有（）

A.△F1MF2面积为方也

B.若NFIMF2=0,则ei《（sin争1）

C.若/F1“尸2=争，则eg的取值范围为［坐，+°°j

D.若NFiM尸2=手，则H+及的取值范围为（2,+~）

?29

9.（2023・晋中模拟）点A”4是双曲线E：/一方=1（。>0,。>0）的左、右顶点.若直线x=。

上存在点P,使得N4以2=*则该双曲线的离心率取值范围为

r2-v2-JT

10.（2023•成都模拟）双曲线“：S-p=l（a>0,6>0洪左、右焦点分别为Fi，6,倾斜角为］

的直线尸尸2与双曲线H在第一象限交于点P，设△QP巳内切圆半径为r，若尸尸2|22小r,则

双曲线H的离心率的取值范围为

微重点11圆锥曲线中二级结论的应用

1.（2023•淄博质检）设双曲线C：，一营=1（。>0,/»0）的左、右焦点分别为Q,&,离心率为

小.P是C上一点，且QPLF2P.若△PQF2的面积为4,则a等于（）

A.1B.2C.4D.8

2.已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x=-1,过其焦点厂的直线/与抛物线C

交于A,B两点，若直线/的斜率为1,则弦AB的长为（）

A.4B.6C.7D.8

^2

+方=1（“>6>0）的左、右焦点分别为心若椭圆C

3.（2023・齐齐哈尔模拟）已知椭圆Ca2

上存在一点M,使得内「2|是|MF||与IMBI的等比中项，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

4.已知直线/：尸丘与椭圆E：/+方=13*0）交于A,B两点，M是椭圆上异于4,B

的一点.若椭圆E的离心率的取值范围是惇，啕，则直线MA,MB斜率之积的取值范围

是（）

5.（多选）（2023・齐齐哈尔模拟）伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分

割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的兀倍，这种方法已具有积分计算的

雏形.已知椭圆C的面积为12小兀，离心率为京F|,F2是椭圆c在x轴上的两个焦点，A

为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（）

A.椭圆C的标准方程为各导=1

B.若/尸14尸2=余则=2即

7T

C.存在点A,使得

D•鬲+看的最小值为

6.（多选）（2023•襄阳模拟）如图，过双曲线C：x2-=1（〃>0）右支上一点P作双曲线的切线/

b2

分别交两渐近线于A,B两点，交x轴于点。，Fi,&分别为双曲线的左、右焦点，。为坐

标原点，则下列结论正确的是（）

A.\AB\mm=1b

B.SAOAP=S4OBP

C.Si\AOB=2b

D.若存在点P,使cos/FiP尸2=/且而5=2而，则双曲线C的离心率e=2

7.已知椭圆氏3+^=1的左、右焦点分别为Fi，Fi，过点22分别作斜率为依，心的

直线/i，h，分别交椭圆E于A,B和C,。四点，且|AB|+|CQ|=6/，贝此次2=.

8.已知双曲线E：，一6>0）的左、右焦点分别为Q,B，过人的直线与E交于

A,B两点（B在x轴的上方），且满足福=；刀.若直线的倾斜角为120。，则双曲线的离心率

为.

9.（2023・温州模拟）已知椭圆C：，+方=1（4>〃>0）的离心率为坐，短轴长为2,F为右焦点.

（1）求椭圆（7的方程；

（2）在x轴上是否存在一点M,使得过F的任意一条直线I与椭圆的两个交点A,8,恒有/OM4

=NOMB,若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.

10.设椭圆E：，+g=13»>。)，点Fi，民分别为E的左、右焦点，椭圆的离心率e=g,

M3

-

2在椭圆E上.

⑴求椭圆E的万程；

(2)M是直线x=4上任意一点，过M作椭圆E的两条切线MA,MB(A,8为切点).

①求证：MFzLAB-,

②求△M4B面积的最小值.

得到直线加试探究：直线是否恒过定点.培优点8圆锥

曲线中非对称韦达定理的应用

1.解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),

:点尸(1,2)在抛物线上,

；.2~=2pXl,解得p=2.

故抛物线的方程是V=4x,其准线方程是x=一

(2)方法一由(1)可知「(1,0),

A（X|,>'|）,8（X2,）'2），

则直线AB的方程可设为x=)+l,

y2=4x,

联立■

x=ty+i,

整理得y2—4。-4=0,

所以yi+y2=4f,yij2=-4.

又而=2通,

即(1—X”—yi)=2(X2—1.丫2),

可得一力=2次，即蔗=-2,

则叫也=①四一2=/，

即生=-|,

解得，=节比，故心8=一十=±2&.

方法二A(X|,yi),8(X2,)'2),尸(1,0),

乔=（1—制，—Ji）.2fB=（2x2—2,2”）,

1—X]=2%2-2,

AF=2FB^

-y\=2y2

41=3-2X2，①

=>\_

»=—2”，②

VA,8在抛物线上，

JM=4XI,③

[城=4及，④

由①②③④联立可得X2=1,

则

由③一④得8+），2）61—》2）

=4（X1—X2）,

即a=0=4-

x\-X2yi+yi

=—^—=^=±2^2,

一2以+»72v

2.解(1)依题意,

2+2《=6+4隹

12

1obb1

付j炉°9=£°=丞，

、°2=庐+»,

%+C=3+26，回=9,

即解得|从=1，

d=〃+c2,0=8,

所以E的方程为各户1.

（2）选择①.设直线/的方程为

3

-

2

联立方程1

卜=”+小

化简整理，得4（产+9》2+12）—27=0,

俨+”=壬，

假设C（X|,9），0（X2,竺），由韦达定理，得j_27

产二铲西,

9

得加垃=4（）"+”），

直线AC的方程为>=一上。+3）,

直线3。的方程为丫=^^。-3）,

X2-J

即三=3,解得尸6,

所以直线AC和BO交点的轨迹方程是直线x=6.

(§+)2=1，

选择②.联立方程彳

[x=(y+3,

化简整理，得火尸+为产+口)-27=0,

假设C（X1,V1）,D（X2,V2）»

力+》=由,

由韦达定理，得〈

—27

、"2=记两,

9

得加以=4()"+问，

939

2少>_3户_2彳8+”）一3%_千+升

丁Ji_yi尤2-3_（X2-3））1

正A2xi+3yz（xi+3）y22以刃+9729927

2o4。］+”）+9），2乎+孕，2

1

-

93

-

2

故存在实数7=/使得h=前2恒成立.

选择③.设C（xi,%）,Q（X2,>2）,

化简整理，得4(产+9»2+12”—27=0,

由韦达定理,

设直线C'。与x轴交于点M(/n,O),由对称性可知hw+hw=O,

即4+告=°,

则y】(x2-m)+y2al一加)=0,

所以yiU2—m)+j2(xi—ni)

=X|J2+X2yi—m(y\+y2)

-27,<3、-3/

=2,,初司+GF•币=0,

即一9f+(3—2mx—，)=0,解得加=6,

所以直线C'。恒过定点M(6,0).

微重点10离心率的范围问题

1.C2.D3.B

X2V2

4.C［设尸(羽y),因为”一京=1，

所以x2=«2+py2,

则|产用2=/+。-6)2

=a2+庐?+)2-26y+b1

c2

=庐2—2勿+d,

4.评c2-4〃cf4

所以当y=多时，『Bp取得最小值为

依题意得|尸肝2/恒成立，

所以《萨

艮广暧叫一,

化简整理得c4一3a2c2+/wo,

即/—3/+1W0,又e>\,

所以k/W2专仓，

解得

5.B［如图所示，设椭圆的左焦点为P,连接AF,BF',

由椭圆的对称性可知，四边形AFB尸为平行四边形，又前•丽=0,即

所以四边形AFBk为矩形,

所以|A8|=|FF'|=2c,

设质尸|=〃，\AF]=m,

在RtZ\ABF中，\BF]=n,m-\-n=2a,n^-\-rr—^c1,

可得〃?〃=2/>2,

心，、,，".n，"+“22c2

=

所以-nI—m=mnJb2•

人m

令一=%

n

\2，

得-7=骨

又尸B|W|/•冏W2|FB|,

得£=01,2],

所以什51=卷2c2土r，I51

5-

所以在-

4

-

结合（r=a1—b1,

所唔唱,I],

所知以#岳升5]

所以2停用，

即椭圆C的离心率的取值范围为[乎，亭].]

6.A[如图，过点尸2作渐近线的垂线，垂足为E,连接ME,

设尸画=2c,则点F2到渐近线尸一条的距离历2|=赤靠了=人

由双曲线的定义可得IM"|一|MFd=2a,故\MFy\=\MF2\+2a,

所以\MD\+\MF\|=|MD|+\MF2\+2a^\EF2\+2a^b+2a,

即|MZ）|+|MF||的最小值为2a+b,

因为ri尸2l一附尸11恒成立,

所以|M£）|+|MF||>|F|或恒成立，即2a+fr>2c恒成立，

所以b>2c-2a,即/?2>4（?+4a2—Sac,

即c1-a2>4c1+4a2-8ac,

所以3c2+5层一8〃c<0,

即3/—8e+5<0,解得

7.ABDlu：~PF\^PFi

=（1+证）（历+旗）

=（用+话）（历-西）

=|尸0|2一|。川2,

，丽•丽=伊。『一C2,

又丽•灰=2/,

.•.2（?=|尸。|2一°2,

：.\0P\=yl3c,故A正确；

：|0尸|=圾，b^\OP\^a,

:.b4邓cWa,

即

；.^WeW坐,故B正确；

当点P为短轴端点时，

；|OP|=V§c,尸周=2°,

...△PQF2为等边三角形，故c错误；

若S.P"鼻,

又S△尸片2S△尸

=\OP\\OF2\sinZPOF2,

・•・S△咫乃=\OP\\OF2\sinZPOF2

=y[3c-csinZPOF2=yf2c2,

；.sinNP0F2=坐,不妨设/尸0&为锐角，则NPOFi为钝角,

；.cos/POF2=坐，

2222

：.\PF2\^\OP\+\OF2\-2\OP\\OF2\-COSZPOF2^2C,

：.\PF2\=yl2c,

同理可得|PQ|=#c,

2/+6/-4c2S

COSZF|PF2=

2义小c又乖(：—3

：.tanZF]PF2=yf2,故D正确.]

8.ABD[设\MF^n,

不妨设点M是C”C2在第一象限内的交点，则相＞”,

m-\-n=2a\,tn—〃=2。2,

所以〃?=。］+〃2,n—a\一〃2,

在中，由余弦定理可得

|F]B|2=|MF1F+|M尸2『一

2|MR||MF21cos仇

即4c2=m1+n2-2/n/?cosa

一方面，4c2=nr+rr—2mncos0

=(/??+n)2—2/w?(l+cos6)

=4届—2加〃(1+cos9),

2届一2。22孱

所以mn=

1+cos31+cos夕

此时△RMB面积为

S=A〃sin8=原屋白

夕

2•一

sim2

力2

P抠

2COS2

=^tan2；

另一方面，4c2=m^+nz-2nincos3

=（加一"）2+2mn（1—cos0）

=4屑+2"?〃（1—cos0）,

2c2-2冠2层

所以mn—

1-cos01—cos09

此时△QMB面积为

_1.「此sinH

SC-c〃?〃sin，一by.

21—cosZ0l

.eo

_，0sn15cos8尻

b

~~9.,0-~~G'

2sin»tan]

对于A,因为S2=Z?itan夕=3也已

tan2

所以S=〃i历，故A正确;

对于B,因为m＞n且相+〃=2。1,

所以m〃=不聋才然＞=山'

所以评用

=2—2豕1+cos0=2COS21,

所以肩＞1—cos2^=sin2^,

。

2一

。

，

故

确

•正

n2一B

S1、

当/尸1加&=。=万时，

由4c2==m2+7?2—2/nncos0得

4c2=（〃1+。2）2+（a1一42）2+（0+〃2）（a1一〃2）,

31

即3鬲+〃2=4，，所以方+蓝=4,

e\的

I314

即沿=4一2所以

14

对于C令

匕]J

则晶=热一勾

=-3?+4f=-3^-|)2+1e(0,l),

所以(eg)2w(l,+°°),eie2e(l,+~),故C错误;

对于D，e?+/=/e?+道)信+£)=1+脍+给，

记s=£,

则/+晶=1+如6+：),

函数y=3s+：是对勾函数，在(1,+8)上单调递增，

所以苏+送=1+*£+9>1+：*(3+1)=2,即e?+e2的取值范围为(2,+8),故D正确.]

9.(1,例

1。岛2)

解析设△QP6内切圆C与△QPB的边F1F2,PF2,尸q分别相切于点“，N,Q,则|CM|

=\CN\=\CQ\=r,

且|BM=|FiQ|,|F2M=甲2州,|PQ=|PM，

所以RtACMF2^RtAC7VF2,

因为直线勿■2的倾斜角为去

所以/(7尸2加=全

所以|例巳|=|尸27|=一

tan

3

因为|FiM=2c方国Q，

|PQ|=|PN|=|PF2|一方，

由双曲线的定义可知|PQ|—|PF2|=2a,所以IQQI—W3|=2a,

即2c一方一方=2〃,

所以r=y[3(c-a),

过点P作轴于点D,

设P(xp,yp),

则XP=C+^\PF2\,

如=明明，

由双曲线的焦半径公式可得|尸尸2|=卯-a=e(c+；|PF2|)—a,

因为|PF2l22小r,

rr«+l-

则-^6,即--6^0,

i——一1——

1212

[(4e—5)6—1)WO,

化简可得〈

5丘0,

则双曲线，的离心率的取值范围为tWe<2.

微重点11圆锥曲线中二级结论的应用

1.A2.D3.A

4.D[由椭圆中的结论,

从

可得kMA，kMB=一

由椭圆的离心率的取值范围是惇，堂)

-1a-b1、2b11

所以5-—T<—?<—z,

3a23a2

21

即an—2-1

"b=124,

I/■,2

5.AD［对于A,由

、/=〃+/,

解得a=6,b=2小,c=4,

则椭圆C的标准方程为表十旨=1,故A正确;

0

故

-B错误

对于B,令。=/尸S»AF,2

对于C,当点A为短轴的一个顶点时，最大,

.62+62—821

此时cosX.F\AF2~0义6?=§>°，

所以NQAF2为锐角，

则不存在点A,使得/人3=全故C错误;

对于D,帚南=刊+制CD

=3“鬻+1+制》*+2吸）H+坐,

2|Ag||AQ|

当且仅当

|AB|~\AF2V

即|AFI|=也忸尸2I时，等号成立，故D正确.]

6.ABD[对于A项，在点尸（xo,州）处的切线方程为XM一修'=1,

设点P（xo,州），A（xi,）1）是切线与渐近线在第一象限的交点，8（X2,”）是切线与渐近线在第

四象限的交点，

双曲线的渐近线方程为），=±法,

yoy

XOX-/1,

联立1

y=bx

b

X——,,

bxo-yo

=>'

b1

y=bxo—yo9

所”以…心^h(xob-yo'加一lryj\'

同理可得《缶，就J

则忸阴=A/Qxo-yo6xo+)'o)2+(即:yo+bxo;冲下

=24(序+1)底一1,

又因为Xoel,

所以|AB|三24(〃+])_[=26,

即依B|min=2"故A项正确；

对于B项，由A项知，

b+b

bxo—yobxo+yo

2=xo,

b1—h2

bxo—yobxo+yo

2=如

所以点P(xo,yo)是A,B的中点，

所以SM)AP=SM)BP,故B项正确；

对于C项，因为在点P(xo,yo)处的切线方程为初一笔■=1,

令y=0得x='—,

所以点0)，

则S^AOB=S^.AOD^~S^BOD

=京|0£>|又仅1_加

故C项错误；

对于D项，因为尸(1一c,0),尸2(c,0),£>%0),

所以KB=R+C,0),

亦―，4

又因为后力=2瓦，

所以2+'=2｝一£)，

解得c=+3，即用=3£

入oC

代入高一供=1得%=当-一户，

所以1「尸1|2=(沏+。2+网

2+*从

2+/+6+零-启

C(7

9(C1)

T+C2+6+~.r-(C2-1)=16,

|PF2|2=(XO—C)2+的

所以2。=|尸丹|一|尸尸2|=4—2=2,

解得4=1,所以COSNF1PF2=

IPQF+IPFZF—IF1F2F

2X\PFi\X\PF2\

_16+4-4c2_5-c2_1

=2X4X2—4=不

解得/=4,所以c=2,

所以离心率e=\=2,故D项正确.]

7.±3

8.1

解析方法一设|AFi|=Z,18al=7%,根据双曲线定义|AB|=A+2a,\BF2\=lk+2a,

在△AQB中，由余弦定理可得/+2a)2=(2c)2+Q—2-2cMcos60。，①

在中，由余弦定理可得(7k+2q)2=(7Z)2+(2c)2—2・2c-7kcos120。，②

3

由①②可得3日=2c,则e=y

方法二由焦点弦定理可知，焦点在X轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点尸的直线

交曲线于A,B两点，直线A