山东省青州第二中学2024届高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

山东省青州第二中学2024届高一数学第二学期期末达标检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（

）A． B． C． D．2．如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．已知，，点在内，且，设，则等于（）A． B．3 C． D．4．在中，，是边上的一点，，若为锐角，的面积为20，则（）A． B． C． D．5．函数的最大值为（）A． B． C． D．6．将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于（）对称．A．轴 B．原点 C．直线 D．点7．若，A点的坐标为，则B点的坐标为（）A． B． C． D．8．若，则下列不等式中不正确的是（）.A． B． C． D．9．设集合,则（）A． B． C． D．10．已知某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．17π B．34π C．51π D．68π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知四面体的四个顶点均在球的表面上，为球的直径，，四面体的体积最大值为____12．过点作圆的两条切线，切点分别为，则=.13．已知向量，，且，则______．14．若为锐角，，则__________．15．已知直线与圆交于两点，若，则____.16．已知，均为锐角，，，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．18．某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据：03691215182124（千辆）3.01.02.95.03.11.03.15.03.1经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象.(1)根据以上数据，求函数的近似解析式；(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？19．已知圆经过，，三点．(1)求圆的标准方程；(2)若过点N的直线被圆截得的弦AB的长为，求直线的倾斜角．20．中，角的对边分别为，且.（I）求的值；（II）求的值.21．某工厂提供了节能降耗技术改造后生产产品过程中的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对照数据．（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测产量为（吨）的生产能耗．相关公式：，．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，基本事件包含：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面），共有4中情况，出现正面向上与反面向上各一次，包含基本事件：（正面，反面），（反面，正面），共2种，所以的概率为，故选C．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟练利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2、A【解析】

设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，由已知多面体的体积求解，得到正方体外接球的半径，则外接球的表面积可求．【详解】设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，多面体的体积为，即．正方体的对角线长为．则正方体的外接球的半径为．表面积为．故选：．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题．3、B【解析】

先根据,可得,又因为，,所以可得:在轴方向上的分量为，在轴方向上的分量为,又根据,可得答案.【详解】，，

，，

在轴方向上的分量为，

在轴方向上的分量为，

，

，，

两式相比可得:.故选B.【点睛】.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．4、C【解析】

先利用面积公式计算出，计算出，运用余弦定理计算出，利用正弦定理计算出，在中运用正弦定理求解出．【详解】解：由的面积公式可知，，可得，为锐角，可得在中，，即有，由可得，由可知．故选．【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．5、D【解析】

令，根据正弦型函数的性质可得，那么，可将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题．【详解】由题意，令，可得，，∴，∴原函数的值域与函数的值域相同．∵函数图象的对称轴为，，取得最大值为．故选：D．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换、函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的使用，将问题转化为二次函数的值域问题.6、A【解析】

先利用辅助角公式将未变换后的函数解析式化简，再根据图象变换规律得出变换后的函数的解析式为，结合余弦函数的对称性来进行判断。【详解】，函数的图象向左平移个长度单位后得到，函数的图象关于轴对称，故选：A．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，以及三角函数的对称性，在考查三角函数的基本性质问题时，应该将三角函数的解析式化为一般形式，并借助三角函数的图象来理解。7、A【解析】

根据向量坐标的求解公式可求.【详解】设，因为A点的坐标为，所以.所以，即.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量坐标的运算，侧重考查数学运算的核心素养.8、D【解析】

先判断出的大小关系，然后根据不等式的性质以及基本不等式逐项判断.【详解】由，得，，，故D不正确，C正确；，，，故A正确；，，，取等号时，故B正确，故选D.【点睛】本题考查利用不等式性质以及基本不等式判断不等式是否成立，难度一般.注意使用基本不等式计算最值时，取等号的条件一定要记得添加.9、B【解析】试题分析：由已知得，，故，选B．考点：集合的运算．10、B【解析】

由三视图还原出原几何体，得几何体的结构（特别是垂直关系），从而确定其外接球球心位置，得球半径．【详解】由三视图知原几何体是三棱锥，如图，平面，平面．由这两个线面垂直，得，因此的中点到四顶点的距离相等，即为外接球球心．由三视图得，，∴．故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，考查三视图．解题关键是由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构，找到外接球球心．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】

为球的直径，可知与均为直角三角形，求出点到直线的距离为，可知点在球上的运动轨迹为小圆.【详解】如图所示，四面体内接于球，为球的直径，，，，过作于，，点在以为圆心，为半径的小圆上运动，当面面时，四面体的体积达到最大，.【点睛】立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.12、【解析】

如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故.考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.13、【解析】

根据的坐标表示，即可得出，解出即可．【详解】，，．【点睛】本题主要考查平行向量的坐标关系应用．14、【解析】因为为锐角，，所以，.15、【解析】

根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离：，由得，解得.【点睛】本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解.16、【解析】

先求出，，再由，并结合两角和与差的正弦公式求解即可.【详解】由题意，可知，则，又，则，或者，因为为锐角，所以不成立，即成立，所以.故.故答案为：.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=1，d=1，从而得到{an}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n项和为Sn==n（n+1），再由=a1Sk+1，求得正整数k的值．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=1，d=1．∴{an}的通项公式an=1+（n﹣1）1=1n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n项和为Sn==n（n+1）．∵若a1，ak，Sk+1成等比数列，∴=a1Sk+1，∴4k1=1（k+1）（k+3），k="2"或k=﹣1（舍去），故k=2．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．18、（1）（2）8个小时【解析】

（1）根据函数的最大最小值可求出和，根据周期求出，根据一个最高点的横坐标可求得；

（2）解不等式可得．【详解】(1)根据表格中的数据可得:由，,解得：

由当时，有最大值，则即，得.

所以函数的近似解析式（2）若车流量超过4千辆时，即

所以，则所以，且.所以和满足条件.所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行．【点睛】本题考查了根据一些特殊的函数值观察周期特点，求解三角函数解析式以及简单应用，属中档题．19、(1)(2)30°或90°．【解析】

（1）解法一：将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆的一般方程，再化为标准方程；解法二：求出线段和的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然后计算为圆的半径，即可写出圆的标准方程；（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，并对直线的斜率是否存在进行分类讨论：一是直线的斜率不存在，得出直线的方程为，验算圆心到该直线的距离为；二是当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并表示为一般式，利用圆心到直线的距离为得出关于的方程，求出的值．结合前面两种情况求出直线的倾斜角．【详解】（1）解法一：设圆的方程为，则∴即圆为，∴圆的标准方程为；解法二：则中垂线为,中垂线为，∴圆心满足∴，半径，∴圆的标准方程为．（2）①当斜率不存在时，即直线到圆心的距离为1，也满足题意，此时直线的倾斜角为90°，②当斜率存在时，设直线的方程为，由弦长为4，可得圆心到直线的距离为，，∴，此时直线的倾斜角为30°，综上所述，直线的倾斜角为30°或90°．【点睛】本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算，在求直线与圆所得弦长的计算中，问题的核心要转化为弦心距的计算，弦心距的计算主要有以下两种方式：一是利用勾股定理计算，二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离．20、（1）；（2）5【解析】试题分析：（1）依题意，利用正弦定理及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．试题解析：(1）由正弦定理可得，即：，∴，∴.（2由