2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高一下学期期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省西安市鄂邑区2022-2023学年高一下学期期末检测数学试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分，考试时间120分钟，请将〖答案〗填写在答题纸相应的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.为虚数单位，已知复数是纯虚数，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗复数是纯虚数，所以，得.故选：C.2.已知向量，的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗如图所示建立平面直角坐标系，则，，，所以．故选：D．3.下列说法不正确的是（）A.改变样本数据中的一个数据，平均数和中位数都会发生改变B.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数C.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等D.数据、、、、、的众数为、〖答案〗A〖解析〗对于A选项，改变样本中的一个数据，则其平均数会改变，但中位数不一定改变，如样本数据为、、、，则其平均数为，在其中一个数据上加上一个非零实数，则平均数变为，即改变样本中的一个数据，则其平均数会改变，又如，数据、、，将变为，即为数据、、，变化前后中位数都为，数据、、，将变为，即为数据、、，变化前的中位数为，变化后的中位数为，A错；对于B选项，根据频率分布直方图可知，若频率分布直方图单峰不对称在右边“拖尾”，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，B对；对于C选项，根据中位数的定义可知，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，C对；对于D选项，由众数的定义可知，数据、、、、、的众数为、，D对.故选：A.4.某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立是（）A.至少一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶〖答案〗B〖解析〗由已知条件得∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，故选：.5.某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：下列说法正确的是（）A.产品升级后，产品A的营收是升级前的2倍B.产品升级后，产品B的营收不变C.产品升级后，产品C的营收减少D.产品升级后，产品B，D的营收的总和占总营收的比例不变〖答案〗D〖解析〗不妨设产品升级升级前企业营收为1，则升级后企业营收为2，故产品A升级前营收为，升级后营收为，即产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍，A错误；产品B升级前营收为，升级后营收为，即产品升级后，产品A的营收是升级前的2倍，B错误；产品C升级前营收为，升级后营收为，即产品升级后，产品A的营收是升级前的倍，营收增加，C错误；产品升级前，产品B，D的营收的总和占总营收的，产品升级后，产品B，D的营收的总和也占总营收的，故产品升级后，产品B，D的营收的总和占总营收的比例不变，D正确，故选：D6.设、为两个互斥事件，且，，则下列各式错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对A，B，、为两个互斥事件，且，，，即，故A正确，B错误；对C，为必然事件，即，故C正确；对D，、为两个互斥事件，.故选：B.7.总体由编号01，02，…，29，3030个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）第1行78166232080262426252536997280198第2行32049234493582003623486969387481A.19 B.25 C.26 D.24〖答案〗B〖解析〗依题意，按照要求选取的个体编号依次为：23，20，26，24，25，19，所以选出来的第5个个体的编号为25.故选：B8.若直线不平行于平面，且，则（）A.内的所有直线与异面 B.内不存在与平行的直线C.内存在唯一的直线与平行 D.内的直线与都相交〖答案〗B〖解析〗直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故A，C，D错误故选B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.设向量，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.在上的投影向量为〖答案〗ACD〖解析〗由题意可知，，故，A正确；因为，故不平行，B错误；因为，故，C正确；由于，，故在上的投影向量为，D正确，故选：ACD10.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.a的值为0.005 B.估计这组数据的众数为75C.估计成绩不低于90分的有50人 D.估计这组数据的第85百分位数为86〖答案〗ABCD〖解析〗对于A，根据频率分布直方图可得，A正确；对于B，由于最高小矩形得底边中点处的值为75，故估计这组数据的众数为75，B正确；对于C，估计成绩不低于90分的有（人），C正确；对于D，由于，，故设这组数据的第85百分位数为x，则，故，D正确，故选：ABCD11.在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7.现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则下列说法正确的是（）A.事件C与事件D互斥 B.事件A与事件B相互独立C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，事件C与事件D都包含事件，故事件C与事件D不互斥，A错误；对于B，由于从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，共有种可能，故，而，即有，故事件A与事件B相互独立，B正确；由B的分析可知，，C正确；对于D，两个小球标号都是奇数的情况有种，故，D正确，故选：BCD12.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（）A.平面平面B.平面C.异面直线与所成角的取值范围是D.三棱锥的体积不变〖答案〗ABD〖解析〗对于A，连接，如图，因为在正方体中，平面，又平面，所以，因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为与为平面内两条相交直线，可得平面，又平面，从而平面平面，故A正确；.对于B，连接，，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；所以与所成角的范围是，故C错误；对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，即点到面平面的距离不变，不妨设为，则，所以三棱锥的体积不变，故D正确．故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13.在某次测试中得到的样本数据如下：68，83，81，81，86，90，88.若样本数据恰好是样本数据每个都减5后得到的数据，则样本的下列数字特征对应相同的是______（填序号）.①平均数②标准差③众数④中位数⑤极差〖答案〗②⑤〖解析〗由题意知样本的数据为：，所以样本数据的极差为：，样本数据的极差为：，故⑤正确；样本数据的众数为：，样本数据的众数为：，故③不正确；样本数据的平均数为：，样本数据的平均数为：，故①不正确；设样本数据为：，标准差为，则样本数据为：，由数据的标准差性质可得：，故②正确；对样本从小到大排序：，故中位数为：，对样本从小到大排序：，故中位数为：，所以④不正确，故〖答案〗为：②⑤.14.在复数范围内方程的根______.〖答案〗i或〖解析〗，由，故复数范围内方程的根为i或.故〖答案〗为：i或15.若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，则，解得，所以圆锥的底面周长为，故侧面展开图，即扇形的弧长为，又侧面展开图是圆心角为的扇形，所以扇形的半径，故扇形面积为，故圆锥的表面积为.故〖答案〗为：16.、两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“元件正常”，用、分别表示、两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以表示元件正常，表示元件失效.下列说法正确的是______.①样本空间；②事件；③事件“电路是断路”可以用（或）表示；④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含个样本点.〖答案〗①②〖解析〗对于①，样本空间，①对；对于②，事件包含两种情况，元件不正常且元件正常，元件正常且元件正常，故事件，②对；对于③，“电路是断路”，说明元件和元件至少有一个不正常，即事件“电路是断路”可以用（或）表示，③错；对于④，“电路是通路”，说明两个元件都正常，所以，事件“电路是通路”可以用（或）表示，④错.故〖答案〗为：①②.四、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数z满足.（1）求z；（2）判定在复平面内对应点所在的象限.解：（1）由得，所以.（2），所以在复平面内对应点在第一象限.18.已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.（1）请用、表示向量；（2）设和的夹角为，若，且，求证：.（1）解：.（2）证明：，，.19.一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个.（1）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.解：（1）设黑色球记为、，白色球记为，摸出两球颜色恰好相同，有，即两个黑球或两个白球，共有4种可能情况.基本事件有，共有10种情况，故所求事件概率.（2）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”.故基本事件包括：，，，，共有25种情况，颜色不同包括：，共12种情况，故所求事件的概率.20.在中，已知，，.（1）求；（2）若D为BC上一点，且，求的面积.解：（1）由余弦定理可得：，则，，.（2）由三角形面积公式可得，则.21.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对该市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分为5组，其中第一组为，第二组为，第三组为，第四组为，第五组为，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄.（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.若第四组宣传志愿者年龄的平均数与方差为37和，第五组宣传志愿者年龄的平均数与方差为43和1，据此估计这m人中35~45所有人的年龄的方差.解：（1）这m人的平均年龄为，则（岁）.（2）由题意得，这五组的频率之比为，故第四组应抽取人，第五组应抽取人设第四组、第五组的宣传志愿者年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，方差分别，，设第四组和第五组所有宣传志愿者的年龄平均数为，方差为，则，，据此估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄的方差约为10.22.如图，中，，四边形是边长为的正方形，平面，若、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：面；（3）求和面所成角的大小.（1）证明：连接交于点，因为四边形为正方形，，则是的中点.又因为是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）证明：在中，设，则，因为，所以，，因为平面，平面，所以，，因为，、平面，所以，平面.（3）解：因为平面，所以，为和面所成的角，在中，，，所以，，因为为锐角，则，即和面所成角为.陕西省西安市鄂邑区2022-2023学年高一下学期期末检测数学试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分，考试时间120分钟，请将〖答案〗填写在答题纸相应的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.为虚数单位，已知复数是纯虚数，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗复数是纯虚数，所以，得.故选：C.2.已知向量，的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗如图所示建立平面直角坐标系，则，，，所以．故选：D．3.下列说法不正确的是（）A.改变样本数据中的一个数据，平均数和中位数都会发生改变B.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数C.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等D.数据、、、、、的众数为、〖答案〗A〖解析〗对于A选项，改变样本中的一个数据，则其平均数会改变，但中位数不一定改变，如样本数据为、、、，则其平均数为，在其中一个数据上加上一个非零实数，则平均数变为，即改变样本中的一个数据，则其平均数会改变，又如，数据、、，将变为，即为数据、、，变化前后中位数都为，数据、、，将变为，即为数据、、，变化前的中位数为，变化后的中位数为，A错；对于B选项，根据频率分布直方图可知，若频率分布直方图单峰不对称在右边“拖尾”，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，B对；对于C选项，根据中位数的定义可知，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，C对；对于D选项，由众数的定义可知，数据、、、、、的众数为、，D对.故选：A.4.某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立是（）A.至少一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶〖答案〗B〖解析〗由已知条件得∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，故选：.5.某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：下列说法正确的是（）A.产品升级后，产品A的营收是升级前的2倍B.产品升级后，产品B的营收不变C.产品升级后，产品C的营收减少D.产品升级后，产品B，D的营收的总和占总营收的比例不变〖答案〗D〖解析〗不妨设产品升级升级前企业营收为1，则升级后企业营收为2，故产品A升级前营收为，升级后营收为，即产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍，A错误；产品B升级前营收为，升级后营收为，即产品升级后，产品A的营收是升级前的2倍，B错误；产品C升级前营收为，升级后营收为，即产品升级后，产品A的营收是升级前的倍，营收增加，C错误；产品升级前，产品B，D的营收的总和占总营收的，产品升级后，产品B，D的营收的总和也占总营收的，故产品升级后，产品B，D的营收的总和占总营收的比例不变，D正确，故选：D6.设、为两个互斥事件，且，，则下列各式错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对A，B，、为两个互斥事件，且，，，即，故A正确，B错误；对C，为必然事件，即，故C正确；对D，、为两个互斥事件，.故选：B.7.总体由编号01，02，…，29，3030个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）第1行78166232080262426252536997280198第2行32049234493582003623486969387481A.19 B.25 C.26 D.24〖答案〗B〖解析〗依题意，按照要求选取的个体编号依次为：23，20，26，24，25，19，所以选出来的第5个个体的编号为25.故选：B8.若直线不平行于平面，且，则（）A.内的所有直线与异面 B.内不存在与平行的直线C.内存在唯一的直线与平行 D.内的直线与都相交〖答案〗B〖解析〗直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故A，C，D错误故选B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.设向量，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.在上的投影向量为〖答案〗ACD〖解析〗由题意可知，，故，A正确；因为，故不平行，B错误；因为，故，C正确；由于，，故在上的投影向量为，D正确，故选：ACD10.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.a的值为0.005 B.估计这组数据的众数为75C.估计成绩不低于90分的有50人 D.估计这组数据的第85百分位数为86〖答案〗ABCD〖解析〗对于A，根据频率分布直方图可得，A正确；对于B，由于最高小矩形得底边中点处的值为75，故估计这组数据的众数为75，B正确；对于C，估计成绩不低于90分的有（人），C正确；对于D，由于，，故设这组数据的第85百分位数为x，则，故，D正确，故选：ABCD11.在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7.现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则下列说法正确的是（）A.事件C与事件D互斥 B.事件A与事件B相互独立C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，事件C与事件D都包含事件，故事件C与事件D不互斥，A错误；对于B，由于从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，共有种可能，故，而，即有，故事件A与事件B相互独立，B正确；由B的分析可知，，C正确；对于D，两个小球标号都是奇数的情况有种，故，D正确，故选：BCD12.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（）A.平面平面B.平面C.异面直线与所成角的取值范围是D.三棱锥的体积不变〖答案〗ABD〖解析〗对于A，连接，如图，因为在正方体中，平面，又平面，所以，因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为与为平面内两条相交直线，可得平面，又平面，从而平面平面，故A正确；.对于B，连接，，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；所以与所成角的范围是，故C错误；对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，即点到面平面的距离不变，不妨设为，则，所以三棱锥的体积不变，故D正确．故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13.在某次测试中得到的样本数据如下：68，83，81，81，86，90，88.若样本数据恰好是样本数据每个都减5后得到的数据，则样本的下列数字特征对应相同的是______（填序号）.①平均数②标准差③众数④中位数⑤极差〖答案〗②⑤〖解析〗由题意知样本的数据为：，所以样本数据的极差为：，样本数据的极差为：，故⑤正确；样本数据的众数为：，样本数据的众数为：，故③不正确；样本数据的平均数为：，样本数据的平均数为：，故①不正确；设样本数据为：，标准差为，则样本数据为：，由数据的标准差性质可得：，故②正确；对样本从小到大排序：，故中位数为：，对样本从小到大排序：，故中位数为：，所以④不正确，故〖答案〗为：②⑤.14.在复数范围内方程的根______.〖答案〗i或〖解析〗，由，故复数范围内方程的根为i或.故〖答案〗为：i或15.若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，则，解得，所以圆锥的底面周长为，故侧面展开图，即扇形的弧长为，又侧面展开图是圆心角为的扇形，所以扇形的半径，故扇形面积为，故圆锥的表面积为.故〖答案〗为：16.、两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“元件正常”，用、分别表示、两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以表示元件正常，表示元件失效.下列说法正确的是______.①样本空间；②事件；③事件“电路是断路”可以用（或）表示；④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含个样本点.〖答案〗①②〖解析〗对于①，样本空间，①对；对于②，事件包含两种情况，元件不正常且元件正常，元件正常且元件正常，故事件，②对；对于③，“电路是断路”，说明元件和元件至少有一个不正常，即事件“电路是断路”可以用（或）表示，③错；对于④，“电路是通路”，说明两个元件都正常，所以，事件“电路是通路”可以用（或）表示，④错.故〖答案〗为：①②.四、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数z满足.（1）求z；（2）判定在复平面内对应点所在的象限.解：（1）由得，所以.（2），所以在