2022-2023学年江西省宜春市上高县高二下学期第二次月考（4月）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省宜春市上高县2022-2023学年高二下学期第二次月考（4月）数学试题一、单选题（共8题）1.已知集合，，若A=B，则a+2b=（）A.-2 B.2 C.-1 D.1〖答案〗D〖解析〗由于，所以（1），结合集合A元素的互异性可知此方程组无解.（2）解得.故选：D.2.函数的图象大致形状是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，函数，可得，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；又由当时，函数是单调递减函数，排除A.故选：C.3.若实数，，满足，其中，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，其中，所以，，，且，，所以，，即，故A错误；，，即，故B错误；，，因为，所以，即，即，故C错误；，，即，故D正确.故选：D.4.设是函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是（）A.192 B.182 C.-192 D.-182〖答案〗C〖解析〗因为，由此可得，由二项展开式的通项公式为：，令，得，所以展开式中含项的系数是.故选：C.5.若则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，则，①令，则，②=1\*GB3①-②可得，则故选：D.6.对于数列，定义为的“优值”．现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：，则，当时，，两式相减得：，，当时成立，∴，当时，即时，故当或9时，的前n项和为，取最小值，最小值为，故选D．7.已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗直线过点，令，则，所以，即.设，则，两式相减并化简得，所以，，所以椭圆的方程为.故选：D.8.设双曲线：的左、右焦点分别为、，点在上，且满足.若满足条件的点只在的左支上，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，因为满足题意的点在双曲线的左支，所以，即，所以①，若在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，想要满足题意的点在双曲线的左支上，则需要满足，即，所以②，由①②得，故选C．二、多选题（共4题）9.函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且是奇函数，则（）A. B.在区间上的最大值为-3C. D.在区间上的最大值为〖答案〗AD〖解析〗因为函数的最小正周期为，所以，，因为将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因为是奇函数，所以，因为，所以，即，故选项A正确，C错误，所以，当时，，所以的最大值为：，因此选项D正确，B错误.故选：AD.10.已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（）A.复数z的模为B.复数z的共轭复数为C.复数z的虚部为D.复数z在复平面内对应的点在第一象限〖答案〗CD〖解析〗，则，∴，故A错，复数z的共轭复数为，故B错；复数z的虚部为，故C正确；复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确.故选：CD.11.我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展（X）、体艺特长（T）、实践创新(S)、生涯找划(C)、国际视野(I)、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL项目课程（P）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（）A.某学生从中选3类，共有56种选法B.课程“X”、“T”排不相邻两天，共有种排法C.课程中“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有720种排法D.课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有种排法〖答案〗ABD〖解析〗A：，即A正确；B：若“X”、“T”不相邻，剩余6类排列方法为,形成7个空，则“X”、“T”填入7个空的方法为，所以共有种排法；C：先排列“S”、“C”、“T”三科则有种排列方法，三科形成整体与剩余5科再进行全排列，则方法有种排列方法，所以共有种方法；D：分成两类情况，一是“G”排在第一天，则此类情况下排法有种，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有种方法，则共有种排法.故选:ABD.12.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是()A.当为线段的中点时，平面B.当为线段的三等分点时，平面C.在线段的延长线上，存在一点，使得平面D.不存在点，使与平面垂直〖答案〗ABC〖解析〗如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，易知，，，，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以平面的一个法向量为.假设平面，且，则.因为也是平面的法向量，所以与共线，所以成立，但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确.故选：ABC.三、填空题（共4题）13.随机变量的分布列为为常数，则的值为____________〖答案〗〖解析〗∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，∴，∴c=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；故〖答案〗为．14.已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的，都有成立．数列满足，且.则数列的通项公式__________.〖答案〗〖解析〗由得：，由得：，，，即：，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，，本题正确结果：.15.已知圆：，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为______.〖答案〗－2〖解析〗圆的圆心，如图过作直线的对称点，设，由，，解得，，即，连接，与相交于点，可得光线的入射光线，则入射光线的斜率为，故〖答案〗为：．16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M，N两点，若且，则椭圆C的离心率为______．〖答案〗〖解析〗如图所示，作，垂足为，，点为的中点．，，则，则，即，，在中，，在中，，，化简可得：，，，解得故〖答案〗为：四、解答题（共6题）17.已知圆（1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．解：（1）圆，化为标准方程为，所以圆C的圆心为，半径为=1\*GB3①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．②若直线的斜率存在，设直线的方程为即由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，所以，即，解得，所以直线方程为综上，所求直线的方程为或（2）依题意，设又已知圆C的圆心为，半径为2，由两圆外切，可知，所以，解得或所以或，所以所求圆D的方程为或18.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若AD平分并交BC于D，且，，求的面积．解：（1）因，则，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以.（2）在中，AD平分并交BC于D，则，而，显然有，即，则，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，所以的面积.19.新高考改革是中央部署全面深化改革的重大举措之一，为了了解学生对于选择物理学科的倾向，某中学在一次大型考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩(均在50~100分之间)，将抽取的成绩分组为，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这300名同学物理平均成绩与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(结果精确到1)（2）已知全年级同学的物理成绩服从正态分布，其中，分别取（1）中的，.现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间的概率(结果精确到0.1)；（3）根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n名同学的物理成绩，若他们的成绩都在的概率不低于1%，求n的最大值(n为整数).附：，.若，则，.解：（1），，（2）.（3）由题意可得，即，故的最大值为20.20.如图所示的几何体由等高的个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且、、、四点共面．（1）证明：平面．（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（1）证明：取弧的中点，连结，，则，所以，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又平面，，所以平面．（2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为直线与平面所成角为，则，，，，设平面的法向量为，由可得：，令，则，同理可得：平面的法向量为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的，都有．（）写出数列的前项．（）求数列的通项公式（写出推证过程）．（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数的值．解：（1）时，∴；时，∴；时，∴．（2）∵，∴，两式相减得：，即，也即，∵，∴，即是首项为，公差为的等差数列，∴.（3），．∵对所有都成立，∴即．故的最小值是．22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，，右顶点，点为椭圆上一动点，且的面积的最大值为，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，直线交轴于点，为的中点，是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得．又，可得．当的面积最大时，点是短轴端点，所以．又，解得．所以椭圆的方程为．（2）直线．令，则，所以．联立，整理得．设，则，所以，则，即．设，因为为的中点，所以，，所以．设存在点，则．因为，所以，即对任意的都成立，所以，所以，，所以存在使得．江西省宜春市上高县2022-2023学年高二下学期第二次月考（4月）数学试题一、单选题（共8题）1.已知集合，，若A=B，则a+2b=（）A.-2 B.2 C.-1 D.1〖答案〗D〖解析〗由于，所以（1），结合集合A元素的互异性可知此方程组无解.（2）解得.故选：D.2.函数的图象大致形状是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，函数，可得，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；又由当时，函数是单调递减函数，排除A.故选：C.3.若实数，，满足，其中，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，其中，所以，，，且，，所以，，即，故A错误；，，即，故B错误；，，因为，所以，即，即，故C错误；，，即，故D正确.故选：D.4.设是函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是（）A.192 B.182 C.-192 D.-182〖答案〗C〖解析〗因为，由此可得，由二项展开式的通项公式为：，令，得，所以展开式中含项的系数是.故选：C.5.若则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，则，①令，则，②=1\*GB3①-②可得，则故选：D.6.对于数列，定义为的“优值”．现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：，则，当时，，两式相减得：，，当时成立，∴，当时，即时，故当或9时，的前n项和为，取最小值，最小值为，故选D．7.已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗直线过点，令，则，所以，即.设，则，两式相减并化简得，所以，，所以椭圆的方程为.故选：D.8.设双曲线：的左、右焦点分别为、，点在上，且满足.若满足条件的点只在的左支上，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，因为满足题意的点在双曲线的左支，所以，即，所以①，若在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，想要满足题意的点在双曲线的左支上，则需要满足，即，所以②，由①②得，故选C．二、多选题（共4题）9.函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且是奇函数，则（）A. B.在区间上的最大值为-3C. D.在区间上的最大值为〖答案〗AD〖解析〗因为函数的最小正周期为，所以，，因为将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因为是奇函数，所以，因为，所以，即，故选项A正确，C错误，所以，当时，，所以的最大值为：，因此选项D正确，B错误.故选：AD.10.已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（）A.复数z的模为B.复数z的共轭复数为C.复数z的虚部为D.复数z在复平面内对应的点在第一象限〖答案〗CD〖解析〗，则，∴，故A错，复数z的共轭复数为，故B错；复数z的虚部为，故C正确；复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确.故选：CD.11.我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展（X）、体艺特长（T）、实践创新(S)、生涯找划(C)、国际视野(I)、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL项目课程（P）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（）A.某学生从中选3类，共有56种选法B.课程“X”、“T”排不相邻两天，共有种排法C.课程中“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有720种排法D.课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有种排法〖答案〗ABD〖解析〗A：，即A正确；B：若“X”、“T”不相邻，剩余6类排列方法为,形成7个空，则“X”、“T”填入7个空的方法为，所以共有种排法；C：先排列“S”、“C”、“T”三科则有种排列方法，三科形成整体与剩余5科再进行全排列，则方法有种排列方法，所以共有种方法；D：分成两类情况，一是“G”排在第一天，则此类情况下排法有种，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有种方法，则共有种排法.故选:ABD.12.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是()A.当为线段的中点时，平面B.当为线段的三等分点时，平面C.在线段的延长线上，存在一点，使得平面D.不存在点，使与平面垂直〖答案〗ABC〖解析〗如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，易知，，，，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以平面的一个法向量为.假设平面，且，则.因为也是平面的法向量，所以与共线，所以成立，但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确.故选：ABC.三、填空题（共4题）13.随机变量的分布列为为常数，则的值为____________〖答案〗〖解析〗∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，∴，∴c=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；故〖答案〗为．14.已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的，都有成立．数列满足，且.则数列的通项公式__________.〖答案〗〖解析〗由得：，由得：，，，即：，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，，本题正确结果：.15.已知圆：，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为______.〖答案〗－2〖解析〗圆的圆心，如图过作直线的对称点，设，由，，解得，，即，连接，与相交于点，可得光线的入射光线，则入射光线的斜率为，故〖答案〗为：．16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M，N两点，若且，则椭圆C的离心率为______．〖答案〗〖解析〗如图所示，作，垂足为，，点为的中点．，，则，则，即，，在中，，在中，，，化简可得：，，，解得故〖答案〗为：四、解答题（共6题）17.已知圆（1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．解：（1）圆，化为标准方程为，所以圆C的圆心为，半径为=1\*GB3①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．②若直线的斜率存在，设直线的方程为即由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，所以，即，解得，所以直线方程为综上，所求直线的方程为或（2）依题意，设又已知圆C的圆心为，半径为2，由两圆外切，可知，所以，解得或所以或，所以所求圆D的方程为或18.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若AD平分并交BC于D，且，，求的面积．解：（1）因，则，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以.（2）在中，AD平分并交BC于D，则，而，显然有，即，则，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，所以的面积.19.新高考改革是中央部署全面深化改革的重大举措之一，为了了解学生对于选择物理学科的倾向，某中学在一次大型考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩(均在50~100分之间)，将抽取的成绩分组为，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这300名同学物理平均成绩与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(结果精确到1)（2）已知全年级同学的物理