2022-2023学年江苏省镇江市两校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省镇江市两校2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z满足；(为虚数单位)，则z的共轭复数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，得到，所以.故选：C.2.设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗D〖解析〗由于是平面内的一个基底，故不共线，根据向量的加减法法则可知和不共线，和不共线，和不共线，故A，B，C中向量能作为平面的基底，，故和共线，不能作为平面的基底，D错误，故选：D3.ABC中，，，ABC的面积为，则=（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，由余弦定理可知：，所以，，所以．故选：．4.在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.5.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得：，故向量在向量方向上的投影向量为.故选：A6.已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，且测得点B对点A和点C的张角为120°，则点B到AC的距离为（）km．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理可得：，即，所以，解得.故选：B7.已知平面向量，，均为单位向量，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗平面向量，，均为单位向量，所以，又所以，平方得，则.故选：A.8.已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，令，，于是，而，并且不共线，因此，解得，令，，则，从而，解得，因此点是线段的中点，所以，所以.故选：C二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.)9.在复平面内有一个，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（）A.点C位于虚轴上 B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因为点对应的复数为，点对应的复数为，故，，又因为是平行四边形，设，则，，由，得到，故，所以选项A正确，选项B，因为，所以，故选项B正确；选项C，，故选项C正确；选项D，，故选项D错误.故选：ABC.10.若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则为直角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则为直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗在中，正弦定理，对于A，，A正确；对于B，由射影定理得，又，即，而，则，，为直角三角形，B正确；对于C，由正弦定理可得，即，而，则有或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C不正确；对于D，，由射影定理得，即，而，则，，为直角三角形，D正确.故选：ABD11.tan75°＝（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗，故A正确；由正切的半角公式知，故B错误；，故C正确；∵，令，得，可得D正确.故选：ACD.12.如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（）A.设，，若，则，B.设，则C.设，，若，则D.设，，若与的夹角为，则〖答案〗AC〖解析〗，对于A：即，则，，A正确；对于B：即，B错误；对于C：若，当即时，显然满足：；当即或时，则，使得，即则可得，消去得：；C正确；对于D：结合可A、B知：若，则，，根据题意得：即，可得：即，D不正确；故选：AC．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知，复数为纯虚数，则_____________．〖答案〗6〖解析〗因为复数为纯虚数，所以，解得.故〖答案〗为：6.14.已知为第二象限角，且，则___________.〖答案〗〖解析〗为第二象限角，，，又，，，，，又为第二象限角，，.故〖答案〗为：.15.在中，点满足:，，若，则=_________.〖答案〗3〖解析〗因为，，所以，故由平面向量基本定理得到，，所以.故〖答案〗为：3.16.如图所示，在等腰直角中，，O为中点，E，F分别是线段，上的动点，且．当时，则的值为______；的最大值为______．〖答案〗①.②.〖解析〗①因为是等腰直角三角形，又，所以，所以.因为，所以,在△中，由正弦定理得,△中，由余弦定理得.②设所以,在△中，由正弦定理得.同理.所以，因为，所以当即时，取最小值.所以,所以的最大值为.故〖答案〗为：；.四、解答题(本大题共6小题，共计70分.)17.已知向量．（1）若向量与垂直，求实数k的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数k的值．解：（1）因为，所以，又与垂直，所以，即，解得，所以.（2）因为，，因为，又与向量平行，所以，即，解得，所以.18.设是虚数，是实数，且．（1）求的值；（2）求的实部的取值范围．解：（1）设，则∵z2是实数，且，∴，得，∴.（2）由（1）知，则，即，∴z1的实部取值范围为.19.已知向量，，.（1）求的值.（2）若，，且，求的值.解：（1）由题意，，∵，∴，∴；（2）∵，且，∴，又∵，，∴，20.在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，___________.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.解：（1）方案一：选条件①，由题意可得，.为的平分线，，，即又，，即，，方案二：选条件②由已知结合正弦定理得，由余弦定理得方案三：选条件③由正弦定理得，又，，，易知，；（2），又，，所以.21.扇形AOB中心角为，所在圆半径为，它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF．（1）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；（2）点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；试研究（1）（2）两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？解：（1）在中，设，则又当即时，（2）令与的交点为，的交点为，则，于是，又当即时，取得最大值.,∴（1）（2）两种方式下矩形面积的最大值为方式（1）：22.已知向量，，函数，.（1）若的最小值为-1，求实数的值；（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）∵，，∴，∵∴，，令，∴∵，对称轴为，①当即时，当时，∴舍，②当即时，当时，∴，③当即是，当时，∴舍，综上，.（2）令，即，∴或，∵，有四个不同的零点，∴方程和在上共有四个不同的实根，∴∴∴.江苏省镇江市两校2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z满足；(为虚数单位)，则z的共轭复数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，得到，所以.故选：C.2.设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗D〖解析〗由于是平面内的一个基底，故不共线，根据向量的加减法法则可知和不共线，和不共线，和不共线，故A，B，C中向量能作为平面的基底，，故和共线，不能作为平面的基底，D错误，故选：D3.ABC中，，，ABC的面积为，则=（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，由余弦定理可知：，所以，，所以．故选：．4.在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.5.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得：，故向量在向量方向上的投影向量为.故选：A6.已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，且测得点B对点A和点C的张角为120°，则点B到AC的距离为（）km．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理可得：，即，所以，解得.故选：B7.已知平面向量，，均为单位向量，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗平面向量，，均为单位向量，所以，又所以，平方得，则.故选：A.8.已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，令，，于是，而，并且不共线，因此，解得，令，，则，从而，解得，因此点是线段的中点，所以，所以.故选：C二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.)9.在复平面内有一个，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（）A.点C位于虚轴上 B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因为点对应的复数为，点对应的复数为，故，，又因为是平行四边形，设，则，，由，得到，故，所以选项A正确，选项B，因为，所以，故选项B正确；选项C，，故选项C正确；选项D，，故选项D错误.故选：ABC.10.若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则为直角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则为直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗在中，正弦定理，对于A，，A正确；对于B，由射影定理得，又，即，而，则，，为直角三角形，B正确；对于C，由正弦定理可得，即，而，则有或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C不正确；对于D，，由射影定理得，即，而，则，，为直角三角形，D正确.故选：ABD11.tan75°＝（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗，故A正确；由正切的半角公式知，故B错误；，故C正确；∵，令，得，可得D正确.故选：ACD.12.如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（）A.设，，若，则，B.设，则C.设，，若，则D.设，，若与的夹角为，则〖答案〗AC〖解析〗，对于A：即，则，，A正确；对于B：即，B错误；对于C：若，当即时，显然满足：；当即或时，则，使得，即则可得，消去得：；C正确；对于D：结合可A、B知：若，则，，根据题意得：即，可得：即，D不正确；故选：AC．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知，复数为纯虚数，则_____________．〖答案〗6〖解析〗因为复数为纯虚数，所以，解得.故〖答案〗为：6.14.已知为第二象限角，且，则___________.〖答案〗〖解析〗为第二象限角，，，又，，，，，又为第二象限角，，.故〖答案〗为：.15.在中，点满足:，，若，则=_________.〖答案〗3〖解析〗因为，，所以，故由平面向量基本定理得到，，所以.故〖答案〗为：3.16.如图所示，在等腰直角中，，O为中点，E，F分别是线段，上的动点，且．当时，则的值为______；的最大值为______．〖答案〗①.②.〖解析〗①因为是等腰直角三角形，又，所以，所以.因为，所以,在△中，由正弦定理得,△中，由余弦定理得.②设所以,在△中，由正弦定理得.同理.所以，因为，所以当即时，取最小值.所以,所以的最大值为.故〖答案〗为：；.四、解答题(本大题共6小题，共计70分.)17.已知向量．（1）若向量与垂直，求实数k的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数k的值．解：（1）因为，所以，又与垂直，所以，即，解得，所以.（2）因为，，因为，又与向量平行，所以，即，解得，所以.18.设是虚数，是实数，且．（1）求的值；（2）求的实部的取值范围．解：（1）设，则∵z2是实数，且，∴，得，∴.（2）由（1）知，则，即，∴z1的实部取值范围为.19.已知向量，，.（1）求的值.（2）若，，且，求的值.解：（1）由题意，，∵，∴，∴；（2）∵，且，∴，又∵，，∴，20.在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面