2022-2023学年江苏省南京市六校高二下学期6月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市六校2022-2023学年高二下学期6月联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足，则=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由复数z满足，可得，则.故选：A.2.已知随机变量服从正态分布，若，则等于（）A.0.484 B.0.628 C.0.936 D.0.968〖答案〗C〖解析〗由正态分布的对称性可知,所以，故选：C.3.已知函数则（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗,,故，故选：C.4.随机变量的分布列如下：-101若，则的值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题设可得，所以随机变量的方差为，故选：D．5.把分别标有号、号、号、号的个不同的小球放入分别标有号、号、号的个盒子中，没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗个小球放入个盒子，没有空盒子，则有两个小球放入同一个盒子，因此分为两类：第一类：号小球单独放入一个盒子，分步：第步，从号、号、号个小球中，选出个小球，放入与未被选中小球标号相同的盒子中，有种方法；第步，将未被选中的小球和号小球，分别放入另外个盒子中，有种方法.∴号小球单独放入一个盒子，有种方法.例如：第步，选出号、号小球放入号盒；第步，号小球放入号盒，号小球放入号盒.第二类：号小球与另一小球共同放入一个盒子，分步：第步，从号、号、号个小球中，选出个小球，有种方法；第步，将号小球与第步选出的小球放入与选出小球标号不同的盒子中，有种方法；第步，剩余的个小球，其中个，与剩余的两个空盒其中的个标号相同，只有方法放置.∴号小球与另一小球共同放入一个盒子，有种方法.例如：第步，选出号球；第步，将号、号小球放入号盒；第步，号小球放入号盒，号小球放入号盒.∴没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为种.故选：B.6.已知，为两个随机事件，，，，，则（）A.0.1 B. C.0.33 D.〖答案〗B〖解析〗，所以，，所以，所以，即，所以，即，解得，故选：B.7.已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗联立圆O与双曲线C方程得，又由圆与双曲线的对称性可得，设圆的半径为，则，因为圆心为，则，在中，由余弦定理得，因为双曲线斜率大于1，所有化简得，故选：D.8.设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为满足，令，则，所以在上单调递减，所以，即，所以.所以.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.经研究，变量与变量具有线性相关关系，数据统计如下表，并且根据表中数据，求得关于的线性回归方程为，下列正确的是（）2471015228.49.11014.518.426A.变量与呈正相关 B.样本点的中心为C. D.当时，的估计值为13.2〖答案〗AB〖解析〗由于所以样本中心为，将其代入得，故，当时，，故AB正确，CD错误，故选：AB.10.若函数，则下列结论正确的是（）A.函数最小正周期为B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于对称D.函数的图象关于点对称〖答案〗BCD〖解析〗A.函数最小正周期为，故错误；B.由，得，因为在上递增，故正确；C.因为，所以函数图象关于对称，故正确；D.因为，所以函数的图象关于点对称，故正确.故选：BCD.11.如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为2．则（）A.平面 B.平面平面C.与平面所成角的余弦值为 D.点到平面的距离为〖答案〗BD〖解析〗以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，与交点为，连接，则平面，因为正四棱锥和正方体的所有棱长均为2，所以，，点坐标为，所以，对于A：，，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，所以与平面不平行，故A错误；对于B：由A得平面的一个法向量为，，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，所以平面平面，故B正确；对于C：由A得平面的一个法向量为，，设与平面所成角为，则，所以，故C错误；对于D：由A得平面的一个法向量为，因为，所以点到平面的距离为，故D正确；故选：BD．12.对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（）A.的极大值为B.有且仅有2个零点C.点是的对称中心D.〖答案〗ACD〖解析〗由函数，可得，令，解得或；令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，当时，取得极大值，极大值为，所以A正确；又由极小值，且当时，，当时，，所以函数有3个零点，所以B错误；由，可得，令，可得，又由，所以点是函数的对称中心，所以C正确；因为是函数对称中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡的相应位置.13.已知直线：与圆交于两点，则____.〖答案〗〖解析〗由圆，可得圆心坐标为，半径为，又由圆心到直线的距离为，根据圆的弦长公式，可得.故〖答案〗为：.14.设曲线在处的切线与直线垂直，则____________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，所以，即.故〖答案〗为：.15.设等比数列的前n项和为.已知，，则____________.〖答案〗〖解析〗当的公比为1时，由可知显然不成立，故公比不为1，由得，所以时，，相减可得，故公比，又，故，故〖答案〗为：.16.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则___________.〖答案〗4〖解析〗由题意易知，可设，由，可得Q为AM中点，则，又由可得:，即，由题意可知直线AB、BM的斜率存在，故，联立抛物线与直线AB可得所以有，由抛物线定义得，故〖答案〗为：4.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知的展开式前三项的二项式系数的和等于16.（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项.解：（1）由的展开式前三项的二项式系数的和等于，可得，即，解得或（舍），所以的值为.（2）由（1）知，二项式展开式的通项为，，当时，可得，此时展开式得到的为有理项，所以展开式中所有的有理项为，，.18.已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设，别是数列的，前项和，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）∵数列，都是等差数列，且，，∴，即，解得，∴，.综上，，.（2）由（1）得：，∴.19.如图，在三棱柱中，四边形为正方形，点为棱的中点，平面平面，.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.（1）证明：取中点，连接，，因为四边形为正方形，点为的中点，点为的中点，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为点为的中点，所以.（2）解：因为平面平面，平面平面，且，，所以平面，以为基底建立如图所示空间直角坐标系，则，，，可得，，设为平面的一个法向量，则，取，得，所以，由平面，可得平面的一个法向量为，则，由图知二面角为钝二面角，所以其余弦值为.20.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（1）填写下面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记2个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X，求X的概率分布.参考公式：（其中为样本容量）0.500.400250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024解：（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在内有（只）；在内有（只）；在内有（只），在内有（只）.由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得，根据独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A，B，C发生的概率分别为，则，，，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，（ii）由题意，X的取值集合为，，，，，所以X的概率分布为X012P21.已知椭圆E：的长轴长为4，由E的三个顶点构成的三角形的面积为2.（1）求E的方程；（2）记E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交E于点M（点M在第一象限），P为线段QM的中点，设直线AQ与E的另一个交点为N，证明：直线MN过定点.（1）解：由题意可知，E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为；要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为，所以，故E的方程为.（2）证明；由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，,联立，则，直线的方程为，当时，，所以，是的中点，所以，，即，所以，则，化简得，代入得，故，所以或，故直线的方程为或，由于不与A重合，所以直线不经过，故直线的方程为，此时，故，此时直线过定点.22.已知函数.（1）当时，求的单调递增区间；（2）若恒成立，求的取值范围.解：（1）当时，，，设，又，∴在上单调递增，又，∴当时，当时，∴的单调递增区间为.（2）法1：对函数求导得，，令，则，∴在上单调递增，又，当时，故存在唯一正实数使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，由恒成立，得，由得，∴，∴，∴，∴，设，则恒成立，故上单调递增，而，∴，又且函数在上是增函数，故的取值范围为.法2：同法1得，由得，∴，当且仅当时等号成立，∴，故的取值范围为.江苏省南京市六校2022-2023学年高二下学期6月联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足，则=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由复数z满足，可得，则.故选：A.2.已知随机变量服从正态分布，若，则等于（）A.0.484 B.0.628 C.0.936 D.0.968〖答案〗C〖解析〗由正态分布的对称性可知,所以，故选：C.3.已知函数则（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗,,故，故选：C.4.随机变量的分布列如下：-101若，则的值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题设可得，所以随机变量的方差为，故选：D．5.把分别标有号、号、号、号的个不同的小球放入分别标有号、号、号的个盒子中，没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗个小球放入个盒子，没有空盒子，则有两个小球放入同一个盒子，因此分为两类：第一类：号小球单独放入一个盒子，分步：第步，从号、号、号个小球中，选出个小球，放入与未被选中小球标号相同的盒子中，有种方法；第步，将未被选中的小球和号小球，分别放入另外个盒子中，有种方法.∴号小球单独放入一个盒子，有种方法.例如：第步，选出号、号小球放入号盒；第步，号小球放入号盒，号小球放入号盒.第二类：号小球与另一小球共同放入一个盒子，分步：第步，从号、号、号个小球中，选出个小球，有种方法；第步，将号小球与第步选出的小球放入与选出小球标号不同的盒子中，有种方法；第步，剩余的个小球，其中个，与剩余的两个空盒其中的个标号相同，只有方法放置.∴号小球与另一小球共同放入一个盒子，有种方法.例如：第步，选出号球；第步，将号、号小球放入号盒；第步，号小球放入号盒，号小球放入号盒.∴没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为种.故选：B.6.已知，为两个随机事件，，，，，则（）A.0.1 B. C.0.33 D.〖答案〗B〖解析〗，所以，，所以，所以，即，所以，即，解得，故选：B.7.已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗联立圆O与双曲线C方程得，又由圆与双曲线的对称性可得，设圆的半径为，则，因为圆心为，则，在中，由余弦定理得，因为双曲线斜率大于1，所有化简得，故选：D.8.设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为满足，令，则，所以在上单调递减，所以，即，所以.所以.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.经研究，变量与变量具有线性相关关系，数据统计如下表，并且根据表中数据，求得关于的线性回归方程为，下列正确的是（）2471015228.49.11014.518.426A.变量与呈正相关 B.样本点的中心为C. D.当时，的估计值为13.2〖答案〗AB〖解析〗由于所以样本中心为，将其代入得，故，当时，，故AB正确，CD错误，故选：AB.10.若函数，则下列结论正确的是（）A.函数最小正周期为B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于对称D.函数的图象关于点对称〖答案〗BCD〖解析〗A.函数最小正周期为，故错误；B.由，得，因为在上递增，故正确；C.因为，所以函数图象关于对称，故正确；D.因为，所以函数的图象关于点对称，故正确.故选：BCD.11.如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为2．则（）A.平面 B.平面平面C.与平面所成角的余弦值为 D.点到平面的距离为〖答案〗BD〖解析〗以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，与交点为，连接，则平面，因为正四棱锥和正方体的所有棱长均为2，所以，，点坐标为，所以，对于A：，，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，所以与平面不平行，故A错误；对于B：由A得平面的一个法向量为，，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，所以平面平面，故B正确；对于C：由A得平面的一个法向量为，，设与平面所成角为，则，所以，故C错误；对于D：由A得平面的一个法向量为，因为，所以点到平面的距离为，故D正确；故选：BD．12.对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（）A.的极大值为B.有且仅有2个零点C.点是的对称中心D.〖答案〗ACD〖解析〗由函数，可得，令，解得或；令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，当时，取得极大值，极大值为，所以A正确；又由极小值，且当时，，当时，，所以函数有3个零点，所以B错误；由，可得，令，可得，又由，所以点是函数的对称中心，所以C正确；因为是函数对称中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡的相应位置.13.已知直线：与圆交于两点，则____.〖答案〗〖解析〗由圆，可得圆心坐标为，半径为，又由圆心到直线的距离为，根据圆的弦长公式，可得.故〖答案〗为：.14.设曲线在处的切线与直线垂直，则____________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，所以，即.故〖答案〗为：.15.设等比数列的前n项和为.已知，，则____________.〖答案〗〖解析〗当的公比为1时，由可知显然不成立，故公比不为1，由得，所以时，，相减可得，故公比，又，故，故〖答案〗为：.16.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则___________.〖答案〗4〖解析〗由题意易知，可设，由，可得Q为AM中点，则，又由可得:，即，由题意可知直线AB、BM的斜率存在，故，联立抛物线与直线AB可得所以有，由抛物线定义得，故〖答案〗为：4.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知的展开式前三项的二项式系数的和等于16.（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项.解：（1）由的展开式前三项的二项式系数的和等于，可得，即，解得或（舍），所以的值为.（2）由（1）知，二项式展开式的通项为，，当时，可得，此时展开式得到的为有理项，所以展开式中所有的有理项为，，.18.已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设，别是数列的，前项和，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）∵数列，都是等差数列，且，，∴，即，解得，∴，.综上，，.（2）由（1）得：，∴.19.如图，在三棱柱中，四边形为正方形，点为棱的中点，平面平面，.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.（1）证明：取中点，连接，，因为四边形为正方形，点为的中点，点为的中点，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为点为的中点，所以.（2）解：因为平面平面，平面平面，且，，所以平面，以为基底建立如图所示空间直角坐标系，则，，，可得，，设为平面的一个法向量，则，取，得，所以，由平面，可得平面的一个法向量为，则，由图知二面角为钝二面角，所以其余弦值为.20.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（1）填写下面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记2个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X，求X的概率分布.参考公式：（其中为样本容量）0.500.400250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024解：（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在内有（只）；在内有（只）；在内有（只），