2022-2023学年河北省石家庄市五校联合体高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省石家庄市五校联合体2022-2023学年高一下学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由图可知，，所以z在复平面内所对应的点为，则.故选：C.2.设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据相等向量的概念可得，即A错误；由向量的三角形法则可得，即B错误；易知，所以可得，即C错误；由向量的减法法则可得，所以D正确；故选：D3.如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，，所以平行四边形的周长是8．故选：A．4.若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，故体积为.故选：A5.若复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗复数，，则，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故选：D6.在中，，，，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗在中，，，，由余弦定理得，即，整理得，所以.故选：B7.设点不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗设与的夹角为，当时，因为，可得，整理得，即，则，且点不共线，所以与的夹角为钝角；当与的夹角为钝角时，则，所以，可得，即；所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件．故选：C．8.粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（）(参考数据：)A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1交AC于F，易知O1为的中心，点F为边AC的中点.易得：，则，，∴，∴，∵，∴，∴球O的体积.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中不正确的是（）A.正四棱柱一定是正方体B.圆柱的母线和它的轴不一定平行C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D.以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥〖答案〗ABD〖解析〗对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底圆锥组合体，故D错误．故选：ABD．10.已知复数，，则下列说法正确的是（）A.的共轭复数不是 B.C.复数 D.复数为纯虚数〖答案〗ACD〖解析〗复数，，对于A，复数的共轭复数，不是，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，是纯虚数，D正确，故选：ACD11.下列说法正确是（）A.若与是共线向量，则B.若，，则与可以作为平面内所有向量的基底C.已知是圆的直径，点是圆上异于、的点，且，则向量在向量上的投影向量为D.若，是单位向量，且，则〖答案〗BCD〖解析〗对A，由题意得，则，解得，故A错误；对B，因为，则与不共线，则与可以作为平面内所有向量的基底，故B正确；对C，过点作，垂足为，则则向量在向量上的投影向量为，因为为直径，则,因为，则，显然为锐角，则，则，则向量在向量上的投影向量为，故C正确；对D，由题意得，故D正确，故选：BCD.12.已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（）A.直线与直线垂直 B.直线与平面平行C.点与点到平面的距离相等 D.平面截正方体所得的截面面积为〖答案〗BD〖解析〗对于A，在正方体中，，则为直线与直线所成的角或其补角，连接AC，由平面ABCD，得，即在中，，则不可能是直角，直线与直线不垂直，A错误；对于B，连接，由，分别为，的中点，得，又，则四边形是平行四边形，于是，而四边形是正方体的对角面，点为中点，有，即平面，平面，平面，所以平面，B正确；对于C，连接交于，显然不是的中点，则平面不过的中点，即点C与点G到平面的距离不相等，C错误；对于D，由选项B知，，，即等腰梯形为平面截正方体所得的截面，，等腰梯形的高，所以等腰梯形面积为，D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗为：.14.已知以为起点的向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则______.〖答案〗2〖解析〗以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设一小格为1单位，则，，，则，故〖答案〗为：2.15.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是______.①若，，，则②若，，，则③若，，，则④若，，，则〖答案〗②〖解析〗对于①，在长方体中，平面，平面分别为，直线分别为直线，显然有，，，而，①错误；对于②，因为，，当时，由，得，当n不在平面内时，则存在过直线的平面与都相交，令交线分别为，则有，而，，于是，因此，②正确；对于③，在长方体中，平面，平面分别为，直线分别为直线，满足，，，而，③错误；对于④，在长方体中，平面，平面分别为，直线分别为直线，满足，，，而，④错误，所以正确命题的序号是②.故〖答案〗为：②16.如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________..〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，，其中是实数.（1）若，求实数的值；（2）若是纯虚数，求.解：（1）复数，则，又a是实数，因此，解得，所以实数a的值是1.（2）复数，，则，因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，则，即有，所以.18.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；（2）正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.解：（1）由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC⊂面ABC，所以CC1⊥BC，在Rt△ECD中，CD=，又D是CC1中点，故侧棱长为2.（2）底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12.所以棱柱表面积为S=S1+S2=12+2.19.已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．（1）请用，表示向量；（2）若，设，的夹角为，若，求证：．（1）解：，由题意得，所以．（2）证明：由题意，．∵，，∴．∴，∴．20.如图，在长方形中，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：在长方体中，,,，平面，平面，平面，，又，可得,，平面，平面.平面，.（2）解：记交于点，连接，由（1）得平面，所以为斜线在平面上的射影，为与平面所成的角.在长方体中，,，在中，，，.直线与平面所成角的正弦值为.21.在锐角中，角，，所对的边为，，，已知.（1）求角；（2）若，求的取值范围.解：（1）在中，由，得，由余弦定理得，又，解得，所以.（2）在锐角中，由（1）知，，则，解得，由正弦定理得，，即，，因此，而，有，于是，所以的取值范围是．22.如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是.（1）当落在何处时，平面平面，并说明理由；（2）在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（3）设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围.解：（1）当落上时，平面平面.因为，所以平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）直线与平面平行.取的中点，连结.因为平面，所以，在Rt和Rt中，，所以，所以，因为为的中点，所以，又在矩形中，，所以，因为平面平面，所以平面，在中，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面，又在平面中，，所以平面平面，因为平面，所以平面.（3）在矩形中，作交于，已知，由题意知在中，作，交于，沿将折起成后，又，所以平面.因为平面，所以，又，在平面中，，所以平面，因此，当时，满足题意的的集合组成的图形为线段，因为在Rt中，所以，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，因为四面体的体积为，①当取得最大值时，即与重合时，四面体的体积取得最大值；②当取得最小值时，即与重合时，四面体的体积取得最小值.综上，当时，四面体的体积的取值范围是.河北省石家庄市五校联合体2022-2023学年高一下学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由图可知，，所以z在复平面内所对应的点为，则.故选：C.2.设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据相等向量的概念可得，即A错误；由向量的三角形法则可得，即B错误；易知，所以可得，即C错误；由向量的减法法则可得，所以D正确；故选：D3.如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，，所以平行四边形的周长是8．故选：A．4.若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，故体积为.故选：A5.若复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗复数，，则，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故选：D6.在中，，，，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗在中，，，，由余弦定理得，即，整理得，所以.故选：B7.设点不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗设与的夹角为，当时，因为，可得，整理得，即，则，且点不共线，所以与的夹角为钝角；当与的夹角为钝角时，则，所以，可得，即；所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件．故选：C．8.粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（）(参考数据：)A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1交AC于F，易知O1为的中心，点F为边AC的中点.易得：，则，，∴，∴，∵，∴，∴球O的体积.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中不正确的是（）A.正四棱柱一定是正方体B.圆柱的母线和它的轴不一定平行C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D.以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥〖答案〗ABD〖解析〗对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底圆锥组合体，故D错误．故选：ABD．10.已知复数，，则下列说法正确的是（）A.的共轭复数不是 B.C.复数 D.复数为纯虚数〖答案〗ACD〖解析〗复数，，对于A，复数的共轭复数，不是，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，是纯虚数，D正确，故选：ACD11.下列说法正确是（）A.若与是共线向量，则B.若，，则与可以作为平面内所有向量的基底C.已知是圆的直径，点是圆上异于、的点，且，则向量在向量上的投影向量为D.若，是单位向量，且，则〖答案〗BCD〖解析〗对A，由题意得，则，解得，故A错误；对B，因为，则与不共线，则与可以作为平面内所有向量的基底，故B正确；对C，过点作，垂足为，则则向量在向量上的投影向量为，因为为直径，则,因为，则，显然为锐角，则，则，则向量在向量上的投影向量为，故C正确；对D，由题意得，故D正确，故选：BCD.12.已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（）A.直线与直线垂直 B.直线与平面平行C.点与点到平面的距离相等 D.平面截正方体所得的截面面积为〖答案〗BD〖解析〗对于A，在正方体中，，则为直线与直线所成的角或其补角，连接AC，由平面ABCD，得，即在中，，则不可能是直角，直线与直线不垂直，A错误；对于B，连接，由，分别为，的中点，得，又，则四边形是平行四边形，于是，而四边形是正方体的对角面，点为中点，有，即平面，平面，平面，所以平面，B正确；对于C，连接交于，显然不是的中点，则平面不过的中点，即点C与点G到平面的距离不相等，C错误；对于D，由选项B知，，，即等腰梯形为平面截正方体所得的截面，，等腰梯形的高，所以等腰梯形面积为，D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗为：.14.已知以为起点的向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则______.〖答案〗2〖解析〗以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设一小格为1单位，则，，，则，故〖答案〗为：2.15.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是______.①若，，，则②若，，，则③若，，，则④若，，，则〖答案〗②〖解析〗对于①，在长方体中，平面，平面分别为，直线分别为直线，显然有，，，而，①错误；对于②，因为，，当时，由，得，当n不在平面内时，则存在过直线的平面与都相交，令交线分别为，则有，而，，于是，因此，②正确；对于③，在长方体中，平面，平面分别为，直线分别为直线，满足，，，而，③错误；对于④，在长方体中，平面，平面分别为，直线分别为直线，满足，，，而，④错误，所以正确命题的序号是②.故〖答案〗为：②16.如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________..〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，，其中是实数.（1）若，求实数的值；（2）若是纯虚数，求.解：（1）复数，则，又a是实数，因此，解得，所以实数a的值是1.（2）复数，，则，因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，则，即有，所以.18.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；（2）正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.解：（1）由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC⊂面ABC，所以CC1⊥BC，在Rt△ECD中，CD=，又D是CC1中点，故侧棱长为2.（2）底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12.所以棱柱表面积为S=S1+S2=12+2.19.已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．