2022-2023学年甘肃省陇南市育才学校高二下学期期末模拟测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省陇南市育才学校2022-2023学年高二下学期期末模拟测试数学试卷一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．设是等比数列，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知向量，若，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．25．已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知函数，若图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，广安市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，广安的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A． B． C． D．二、多选题9．某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：由直方图判断，以下说法正确的是（

）A．总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长B．B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长C．A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数D．B校学生做作业时长分布更接近正态分布10．如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（

）A．三棱锥的体积为B．平面C．过点作正方体的截面，所得截面的面积是D．异面直线与所成的角的余弦值为11．已知函数，则下列选项正确的有（

）A．函数极小值为1B．函数在上单调递增C．当时，函数的最大值为D．当时，方程恰有3个不等实根12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（

）A．直线与蒙日圆相切B．的蒙日圆的方程为C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为三、填空题13．已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．14．已知为等比数列，，，则______.15．近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.16．已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.四、解答题17．已知中角的对边分别为，．(1)求；(2)若，且的面积为，求周长．

18．如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，(1)证明：平面平面；(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.19．已知数列的前n项和为，满足，是以为首项，且公差不为0的等差数列，成等比数列．(1)求，的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．

20．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.

21．已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．22．已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．

——★参考答案★——一、单选题1．D〖解析〗由可得，所以，由可得，所以，所以.故选：D.2．A〖解析〗因为，即，所以，所以，其所对应的点为，位于第一象限.故选：A.3．D〖解析〗当时，由，得，则不为递增数列；当为递增数列时，，若，则，所以“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D.4．B〖解析〗，因为，所以，解得.故选：B.5．D〖解析〗因为角的终边与直线平行，即角的终边在直线上，所以；.故选：D.6．D〖解析〗关于原点对称的函数为，即，若函数图象上存在关于原点对称的点，则与在上有交点，所以方程在上有实数根，即在上有实数根，即与的图象在有交点，，所以在上单调递增，所以，所以，所以.

故选：D.7．C〖解析〗如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，设椭圆的长半轴长为，半焦距为，

由，得，，在中，，则，，由正弦定理得，，解得，则，所以该椭圆的离心率.故选：C.8．C〖解析〗因为为奇函数，∴；又，，又，∴，故选C．二、多选题9．AD〖解析〗由直方图可知，A校学生做作业时长大部分在1—2小时，而B校学生做作业时长大部分在2.5—3.5小时，故A正确，C错误；B校有学生做作业时长小于l小时的，而A校有学生做作业时长超过5小时的，故B错误；B校学生做作业时长分布相对A校更对称，故D正确．故选：AD.10．ABC〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，则，，，，，，则平面EFG，B正确；对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C正确；对于D，，，，故D错误．故选:ABC.11．AC〖解析〗对于AB：，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，的极小值为，故A正确，B错误；对于C：由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上递增，且，，故函数的最大值为，故C正确；对于D：当时，，时，，且的极大值为，的极小值为，由上述分析可知，的图象为：由图象可得当或时，有1个实数根，当或时，有2个实数根，当时，有3个实数根，故D错误.故选：AC.12．AC〖解析〗当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，因为，可得.对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，所以，直线与蒙日圆相切，A对；对于B选项，的蒙日圆的方程为，B错；对于C选项，由椭圆的定义可得，则，所以，，因为，直线的方程为，点到直线的距离为，所以，，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，所以，，所以，矩形的面积为，D错.故选：AC.三、填空题13．2〖解析〗的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以，，当时,,当时,,符合题意，所以展开式中有理项的个数为2.故〖答案〗为：2.14．〖解析〗设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，故〖答案〗为：.15．150〖解析〗由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，第一类：仅要好的两位女生去同一景点；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点，总方法数为.故〖答案〗为：150.16．〖解析〗将已知直线化为，当时，可确定直线过定点，记为M点.∵过点F做直线的垂线，垂足为Q，∴直线，即，故Q点的轨迹是以FM为直径的圆，半径，其圆心为FM的中点，记为点H，∴，∵P在抛物线上，其准线为，∴等于P到准线的距离.过P作准线的垂线，垂足为R.要使取到最小，即最小，此时R、P、Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示，此时.故〖答案〗为：.四、解答题17．解：（1）由和正弦定理可得，，因为，所以，所以，，，，；（2），，又，，，的周长为.18．（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，因为是菱形，所以，且是的中点，所以且，又，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中点，由四边形是菱形，，则，是正三角形，，，又平面，所以以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，设在棱上存在点使得平面与平面的夹角为，则，，，，，，则设，，所以，，，，设平面的一个法向量为，，，则，即，令，，得平面的法向量可以为，，解得，所以，则设平面的一个法向量为，则，即，取，得，所以点到平面的距离.19．解：（1）因为，所以当时，，所以，当时，，两式相减可得，，故，而，故，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.设等差数列的公差为，因为，所以．因为成等比数列，所以，解得：（舍去）或，所以.（2），，，，，故.20．解：（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此.的数学期望为.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除之外的数据，剩下数据的平均数为，因此的估计值为.，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为.21．解：（1）因为椭圆过，故，因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：.（2）设，因为直线的斜率存在，故，故直线，令，则，同理.直线，由可得，故，解得或.又，故，所以，又，故即，综上，或.22．（1）解：[方法一]：常规求导的定义域为，则，令,得，当单调递减，当单调递增，，若,则,即，所以的取值范围为.[方法二]：同构处理由得：，令，则，即，令，则，故在区间上是增函数，故，即，所以的取值范围为.（2）证明：[方法一]：构造函数由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设，要证,即证，因为,即证，又因为,故只需证，即证，即证，下面证明时，，设，则，设，所以,而，所以,所以，所以在单调递增，即,所以，令，，所以在单调递减，即,所以；综上,,所以.[方法二]：对数平均不等式由题意得：，令，则，，所以在上单调递增，故只有1个解，又因为有两个零点，故，两边取对数得：，即，又因为，故，即，下证，因为，不妨设，则只需证，构造，则，故在上单调递减，故，即得证.甘肃省陇南市育才学校2022-2023学年高二下学期期末模拟测试数学试卷一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．设是等比数列，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知向量，若，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．25．已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知函数，若图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，广安市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，广安的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A． B． C． D．二、多选题9．某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：由直方图判断，以下说法正确的是（

）A．总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长B．B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长C．A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数D．B校学生做作业时长分布更接近正态分布10．如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（

）A．三棱锥的体积为B．平面C．过点作正方体的截面，所得截面的面积是D．异面直线与所成的角的余弦值为11．已知函数，则下列选项正确的有（

）A．函数极小值为1B．函数在上单调递增C．当时，函数的最大值为D．当时，方程恰有3个不等实根12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（

）A．直线与蒙日圆相切B．的蒙日圆的方程为C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为三、填空题13．已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．14．已知为等比数列，，，则______.15．近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.16．已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.四、解答题17．已知中角的对边分别为，．(1)求；(2)若，且的面积为，求周长．

18．如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，(1)证明：平面平面；(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.19．已知数列的前n项和为，满足，是以为首项，且公差不为0的等差数列，成等比数列．(1)求，的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．

20．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.

21．已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．22．已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．

——★参考答案★——一、单选题1．D〖解析〗由可得，所以，由可得，所以，所以.故选：D.2．A〖解析〗因为，即，所以，所以，其所对应的点为，位于第一象限.故选：A.3．D〖解析〗当时，由，得，则不为递增数列；当为递增数列时，，若，则，所以“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D.4．B〖解析〗，因为，所以，解得.故选：B.5．D〖解析〗因为角的终边与直线平行，即角的终边在直线上，所以；.故选：D.6．D〖解析〗关于原点对称的函数为，即，若函数图象上存在关于原点对称的点，则与在上有交点，所以方程在上有实数根，即在上有实数根，即与的图象在有交点，，所以在上单调递增，所以，所以，所以.

故选：D.7．C〖解析〗如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，设椭圆的长半轴长为，半焦距为，

由，得，，在中，，则，，由正弦定理得，，解得，则，所以该椭圆的离心率.故选：C.8．C〖解析〗因为为奇函数，∴；又，，又，∴，故选C．二、多选题9．AD〖解析〗由直方图可知，A校学生做作业时长大部分在1—2小时，而B校学生做作业时长大部分在2.5—3.5小时，故A正确，C错误；B校有学生做作业时长小于l小时的，而A校有学生做作业时长超过5小时的，故B错误；B校学生做作业时长分布相对A校更对称，故D正确．故选：AD.10．ABC〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，则，，，，，，则平面EFG，B正确；对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C正确；对于D，，，，故D错误．故选:ABC.11．AC〖解析〗对于AB：，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，的极小值为，故A正确，B错误；对于C：由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上递增，且，，故函数的最大值为，故C正确；对于D：当时，，时，，且的极大值为，的极小值为，由上述分析可知，的图象为：由图象可得当或时，有1个实数根，当或时，有2个实数根，当时，有3个实数根，故D错误.故选：AC.12．AC〖解析〗当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，因为，可得.对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，所以，直线与蒙日圆相切，A对；对于B选项，的蒙日圆的方程为，B错；对于C选项，由椭圆的定义可得，则，所以，，因为，直线的方程为，点到直线的距离为，所以，，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，所以，，所以，矩形的面积为，D错.故选：AC.三、填空题13．2〖解析〗的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以，，当时,,当时,,符合题意，所以展开式中有理项的个数为2.故〖答案〗为：2.14．〖解析〗设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，故〖答案〗为：.15．150〖解析〗由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，第一类：仅要好的两位女生去同一景点；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点，总方法数为.故〖答案〗为：150.16．〖解析〗将已知直线化为，当时，可确定直线过定点，记为M点.∵过点F做直线的垂线，垂足为Q，∴直线，即，故Q点的轨迹是以FM为直径的圆，半径，其圆心为FM的中点，记为点H，∴，∵P在抛物线上，其准线为，∴等于P到准线的距离.过P作准线的垂线，垂足为R.要使取到最小，即最小，此时R、P、Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示，此时.故〖答案〗为：.四、解答题17．解：（1）由和正弦定理可得，，因为，所以，所以，，，，；（2），，又，，，的周长为.18．（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，因为是菱形，所以，且是的中点，所以且，又，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中点，由四边形