数学（人教版必修3）练习3.3.1几何概型（活页作业）

活页作业(二十)几何概型(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10min的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10min，因此所求概率P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).故选B．答案：B2．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：△ABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型，点Q取自△ABE内部的概率为eq\f(1,2)．答案：C3．(2015·高考山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．1解析：先利用对数函数的单调性解出不等式，再根据几何概型的概率公式求出概率．不等式－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化为logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2).故由几何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4)．答案：A4．如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(π,3)解析：设事件A＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A的几何区域为内切圆的面积S＝πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)＝eq\f(πR2,2R2)＝eq\f(π,4)，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为eq\f(π,4)．答案：B5．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,10)C．eq\f(π,20) D．eq\f(π,40)解析：设在[0,1]内取出的数为a，b，若a2＋b2也在[0,1]内，则有0≤a2＋b2≤1.如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2＋b2在[0,1]内的点在eq\f(1,4)的单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(π,4)．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向阴影所示区域时甲胜，否则乙胜，则甲获胜的概率是________________．解析：转盘共分为8部分，阴影占5部分，故甲获胜概率为eq\f(5,8)．答案：eq\f(5,8)7．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取点M，点M落在三棱柱ABC­A1B1C1解析：∵V正方体＝a3，V三棱柱＝eq\f(1,2)a3，∴所求概率P＝eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)8．已知正方体ABCD­A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD­A1B1C1D1内任取点M，点M在球O解析：设正方体边长为1，则V正方体＝1，其内切球半径为eq\f(1,2)，故V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(π,6).故所求概率P＝eq\f(V球,V正方体)＝eq\f(π,6)．答案：eq\f(π,6)三、解答题(每小题10分，共20分)9．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的eq\r(2)倍的概率．解：如图所示，在⊙O上有一定点A，任取一点B与A连接，则弦长超过半径的eq\r(2)倍，即为∠AOB的度数大于90°，而小于270°．记“弦长超过半径的eq\r(2)倍”为事件C，则C表示的范围是∠AOB∈(90°，270°)．∵270°－90°＝180°．∴试验的的全部结果是圆周长，满足要求的结果是半圆周长，则由几何概型的概率公式，得P(C)＝eq\f(1,2)．10．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r＜a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率解：设事件A为“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，参看图，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r＜|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r，a]．所以P(A)＝eq\f(r，a]的长度,[0，a]的长度)＝eq\f(a－r,a)．(20分钟，40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，那么可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是()解析：P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1－\f(π,4),1)＝1－eq\f(π,4)，P(D)＝eq\f(1,π)，则P(A)最大，故选A．答案：A2．(2013·高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(7),4)解析：如图，不妨设AB＝1，AD＝x，则eq\f(AD,AB)＝x.由图形的对称性和题意知，点P应在EF之间(BE＝AB，AF＝AB)，EF＝eq\f(1,2)，DE＝CF＝eq\f(1,4).当点P在点E时，BP最大为eq\r(x2＋\f(9,16))，∴x2＋eq\f(9,16)＝1.∴x＝eq\f(\r(7),4)．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)3．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为eq\f(9,10)，那么该台每小时约有________________min的广告．解析：60×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))＝6(min)．答案：64．设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．解析：平面区域D的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分，其面积为4－π，所以所求概率为eq\f(4－π,4)．答案：eq\f(4－π,4)三、解答题(每小题10分，共20分)5．如图，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，试求：(1)△AOC为钝角三角形的概率；(2)△AOC为锐角三角形的概率．解：如题图，由平面几何知识可知，当AD⊥OB时，OD＝1；当OA⊥AE时，OE＝4，BE＝1．(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时，△AOC为钝角三角形，记“△AOC为钝角三角形”为事件M，则P(M)＝eq\f(OD＋BE,OB)＝eq\f(1＋1,5)＝0.4，即△AOC为钝角三角形的概率为0.4．(2)当且仅当点C在线段DE上时，△AOC为锐角三角形，记“△AOC为锐角三角形”为事件N，则P(N)＝eq\f(DE,OB)＝eq\f(3,5)＝0.6．6．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0．(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件是a≥b．(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件：(0,0)，(1,