第07讲离散型随机变量的分布列与数字特征（教师版）

第07讲离散型随机变量的分布列与数字特征（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第21题,12分求离散型随机变量的均值利用全概率公式求概率2022年全国甲卷（理），第19题,12分写出简单离散型随机变量分布列求离散型随机查量的均值/2021年新I卷，第18题,12分写出简单离散型随机变量分布列求离散型随机查量的均值/2021年新Ⅱ卷，第21题,12分求离散型随机查量的均值均值的实际应用利用导数研究方程的根2020年新I卷，第12题,5分利用随机变量分布列的性质解题对数的运算2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为512分【备考策略】1.理解、掌握离散型随机变量的定义2.会表示离散型随机变量的分布列3.会计算离散型随机变量的均值和方差【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般结合离散型随机变量的分布列及均值方差在大题中考查，需重点强化复习知识讲解1．离散型随机变量定义随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.3．离散型随机变量均值(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.4．离散型随机变量方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．考点一、离散型随机变量分布列1．（2023·全国·高三专题练习）某企业有甲、乙两个研发小组，甲组研究新产品成功的概率为，乙组研究新产品成功的概率为，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求恰好有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列．【答案】(1)；(2)分布列见解析.【分析】（1）依据题设，结合独立事件的概率的乘法公式进行求解；（2）根据题设求出所有可能取值的概率即可得其分布列.【详解】（1）因为甲、乙两个研发小组研究新产品成功的概率分别为为和，且相互独立，所以，恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）根据题意，的可能取值有.，所以分布列为：2．（2023·河北保定·统考二模）某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据前两局平局的情况下，后面分两种情况计算高二年级最终战胜高一年级的概率即可；（2）由题可知高三年级获得积分的的取值可为0，3，6，分别计算概率从而可得分布列与数学期望.【详解】（1）设高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高高一年级的事件为，则（2）根据题意得高三年级获得积分的的取值可为0，3，6的分布列为0361．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为．(1)求p的值；(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案.（2）确定随机变量X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列.【详解】（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为，所以，则．（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．，，，．所以随机变量X的分布列为X0123P2．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解，（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，进而可求解分布列.【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列为：X012P考点二、离散型随机变量的均值1．（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．；；．所以的分布列为（2）由（1）知，．若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．；；．所以．因为，所以小明应选择先回答类问题．2．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）(2)(3)丙【分析】(1)

由频率估计概率即可(2)

求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)

计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【详解】（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3，，，.∴X的分布列为X0123P∴（3）丙夺冠概率估计值最大..并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.3．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．（2）依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为0102030期望.4．（2021·北京·统考高考真题）在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，可以取20，30，，，则的分布列:所以；（2）由题意，可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，则.5．（2020·江苏·统考高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn与2pn1+qn1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）（2）【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1），，.（2），，因此，从而，即.又的分布列为012故.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.6．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中．(1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式即可求得小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，列出关于的不等式，进而求得的取值范围．【详解】（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A，小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件，根据题意可得，

.（2）设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为，根据题意可知，，则，，，，，则随机变量的分布列为Y0123P，若，则，故，即的取值范围是7．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求得答案；（2）方法一：根据女生参加活动的人数确定变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，可得变量的分布列，即可求得期望；方法二：分别计算出一名女生和一名男生参加活动可获得分数的期望，设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，计算出变量Y的期望，即可求X的期望.【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B．则，，所以．（2）方法一:“选取的两人中女生人数为i”记为事件，，则，，．由题意知X的可能值为，“得分为分”分别记为事件，，，，，则，，；，，；，，．；；；；，所以X的分布列为X2030405060P所以．方法二：根据题意，一名女生参加活动可获得分数的期望为，一名男生参加活动可获得分数的期望为．设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，则，，．所以Y的分布列为Y012P则有，所以．【点睛】难点点睛：本题考查了条件概率的计算，比较基础，第二问考查随机变量的期望的求解，求解的思路并不困难，但难点在于要根据变量的取值的可能情况，计算每种情况相应的概率，计算较复杂，计算量较大，需要思维缜密，计算仔细。8．（2023·河北·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为，，，选手乙三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立．(1)用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；(2)证明：无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值．【答案】(1)分布列见详解，(2)证明见详解【分析】（1）先求甲通过每项的概率，进而根据题意求分布列和期望；（2）先求乙通过每项的概率，进而根据题意求分布列和期望，利用作差法比较大小.【详解】（1）对于选手甲：记“100米成绩合格”、“400米成绩合格”、“1500米成绩合格”分别为事件、、，则，由题意可得：的可能取值有，则有：，，，可得的分布列为：0所以.（2）对于选手乙：记“100米成绩合格”、“400米成绩合格”、“1500米成绩合格”分别为事件、、，则，用表示选手乙考核积分的总成绩，由题意可得：的可能取值有，则有：，，，可得的分布列为：0所以，因为，且均为正数，则，即，所以无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值.1．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．【答案】(1)分布列见解析；期望为(2)【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，由题意得：，，甲的得分X的可能取值为，，，所以X的分布列为：X01p.（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分的概率为，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率.2．（2023·全国·高三专题练习）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，分别讨论小李完成工序的情况并计算各类情况的概率最后求和即可；（2）设小李最终收益为X，列出其所有取值，并计算概率求期望值即可.【详解】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：，故小李成功完成三道工序的概率为；（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，有如下几种情况：两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，；两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时，；只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时，;技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，；故.3．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．【答案】(1)(2)分布列见解析，3(3)选择小宇，理由见解析【分析】（1）小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望；（3）分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案.【详解】（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则．（2）X的可能取值为2，3，4，，，X的分布列为；X234P数学期望．（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为；记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；因为，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛．4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.(i)求的取值范围；(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.【答案】(1)分布列见解析，(2)（i）；（ii）证明见解析，比赛局数越多，对实力较强者越有利【分析】（1）先写出离散型随机变量的分布列，再求出数学期望即可；（2）先根据已知不等式列式求解，再根据单调性定义作差证明单调递增说明结论.【详解】（1），即采用3局2胜制，所有可能取值为，，的分布列如下表：23所以的数学期望为.（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：，采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：，，得.（ii）由（i）知.局比赛中恰好甲赢了局的概率为，局比赛中恰好甲赢了局的概率为，则局比赛中甲至少赢局的概率为.考虑局比赛的前局：如果这局比赛甲至少赢局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为，如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场至少赢一局，其概率为，如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场都赢，其概率为，因此局里甲最终获胜的概率为：，因此，即数列单调递增.该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.5．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的2个白色球和2个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用2个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中．(1)求第4次恰好取完两个黑色球的概率；(2)若取到两个黑色球或者取球数达到5次就停止取球，设停止取球时取球次数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）前三次取球中有一次取到黑色球，则第4次取球恰好是第二次取到黑色球，求其概率即可；（2）X的所有可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，然后利用期望的公式求解取球次数的数学期望.【详解】（1）由题意知，前三次取球中有一次取到黑色球，故第4次取球恰好是第二次取到黑色球的概率．（2）由题意可知，X的所有可能取值为2，3，4，5，，，，，故X的分布列为X2345P.6．（2023·全国·模拟预测）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；(2)当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）求出X可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的p的值；（2）先得到双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为，比分为2∶1或1∶2的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可.【详解】（1）X可能取值为2，3．；．故，即，则当时，取得最大值．（2）当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；比分为2∶1或1∶2的概率均为．，则或．即获胜方两天均为2∶0获胜，不妨设A部胜，概率为，同理B部胜，概率为，故；即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，不妨设最终A部获胜，当前两天的比分为2∶0和2∶1时，先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为，当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，概率为，故最终A部获胜的概率为，同理B部胜，概率为，故．所以．7．（2023·全国·高三专题练习）某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D，并且规定若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第n题正确选项为两个的概率；(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：.【答案】(1)分布列见解析；(2)(3)证明见解析【分析】（1）设事件表示正确选项为个，事件表示正确选项为个，表示第题正确选项为个的概率，表示第题正确选项为，继而可求，再由全概率公式计算第二题得分分布列的各种情况，并根据公式计算期望；（2）根据（1）中由第一题到第二题正确选项数概率的计算理解，由全概率公式可以得出一般性的结论化简可得，可知为等比数列,求通项可得；（3）根据（2）求出的可得，在利用全概率公式即可求得的分布列，计算出,则结论可证.【详解】（1）设事件表示正确选项为个，事件表示正确选项为个，表示第题正确选项为个的概率，表示第题正确选项为个的概率.设事件表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量表示第二题得分.依题得，可能取值为.因为，，所以所以的分布列为:所以.（2）依题得，，所以，又因为，所以是以为首项，以为公比的等比数列.所以，.（3）由（2）可知，，.依题得，可能取值为.，，所以.【点睛】方法点睛：高中阶段的马尔科夫链类型的概率问题解决关键是利用全概率公式找到概率的递推式，然后用数列手段去处理求解.考点三、离散型随机变量的方差1．（2023·江西吉安·泰和县第二中学校考一模）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差.【答案】(1)；(2)的分布列见解析，期望为，方差为.【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)结合题意写出可能的取值，分别求出相应的概率即可得到的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.【详解】(1)从袋中任取3个球，共有种情况，若从袋中任取3个球中，恰好取到2个黄球共有种，故从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率为；(2)由题意可知，可能取值为，0，1，2，，，，故的分布列如下表：012从而期望，方差.2．（2023·四川内江·校考模拟预测）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分的期望和方差.【答案】(1)分布列见解析(2)，.【分析】（1）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可求得分布列.（2）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可求得分布列及数学期望和方差.【详解】（1）由题意可知，的可能取值为，，，，所以分的分布列为：101（2）由题意可知，的可能取值为，，，，，，所以的分布列为21012所以，.3．（2023·陕西西安·统考一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据）【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析(2)大约在2030年年底总资产可以翻两番【分析】（1）分别计算出两个项目的期望和方差，比较后得到结论；（2）设年后总资产可以翻两番，根据题意列出方程，求出答案.【详解】（1）若投资项目一，设获利为万元，则的分布列为6030若投资项目二，设获利为万元，则的分布列为100060，，，，，这说明虽然项目一､项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资.（2）假设年后总资产可以翻两番，依题意，，即，两边取对数，得，，，大约在2030年年底总资产可以翻两番.4．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.株高增量（单位：厘米）第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果；（2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；（3）由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系．【详解】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米,所以估计为；（2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，估计为，估计为，根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且；；；，则的分布列为：0123所以.（3）理由如下：，所以；，所以；，所以；所以.1．（2023·河北衡水·校联考二模）某小组共人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为的人数分别为.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会．(1)设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为”，求事件发生的概率；(2)设X为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望与方差．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为，方差为【分析】（1）利用古典概型概率计算公式，结合组合数的计算求得事件发生的概率.（2）利用古典概型概率计算公式，结合组合数的计算的分布列并求得数学期望、方差.【详解】（1）由已知得.（2）的可能取值为，，.所以随机变量X的分布列为X012P..2．（2023秋·福建宁德·高三福建省宁德第一中学校考阶段练习）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望.(3)设用表示甲学校的总得分，比较和的大小（直接写出结果）.【答案】(1)(2)分布列见解析，的期望为(3)【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲学校获得冠军的概率；（2）乙学校的总得分的值可取0，10，20，30，分别求出取上述值时的概率，可得分布列与数学期望；（3）求甲学校的总得分的分布列，再求得和的大小，即可得大小.【详解】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率乙学校获胜概率甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，①甲学校3场全胜，概率为：，②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：，所以甲学校获得冠军的概率为：；（2）乙学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：，，，，则的分布列为：0102030的期望；（3）甲学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：，，，，则的分布列为：0102030的期望；故，由（2）可得，故.3．（2023·山东泰安·统考一模）某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求①员工所获得的奖励为1000元的概率；②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望；(2)公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【答案】(1)①；②分布列答案见解析，数学期望：元(2)答案见解析【分析】（1）①根据古典概型公式计算即可；②写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式计算期望即可；（2）先根据题意可确定方案（800，800，200，200）和方案（400，400，600，600），分别求出两种方案的期望与方差，比较两者即可得出结论.【详解】（1）设员工所获得的奖励额为X，①，∴员工所获得的奖励额为1000元的概率为；②X所有可能的取值为400，1000，，，∴X的分布列为X4001000P∴员工所获得的奖励额的期望为元；（2）根据公司预算，每个员工的平均奖励额为1000元，所以先寻找期望为1000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择（200，200，200，800）的方案，因为1000元是面值之和的最大值，所以期望不可能为1000元，如果选择（800，800，800，200）的方案，因为1000元是面值之和的最小值，所以期望不可能为1000元，因此可能的方案是（800，800，200，200）记为方案1，对于面值600元和400元的情况，同理排除（600，600，600，400）和（400，400，400，600）的方案，所以可能的方案是（400，400，600，600）记为方案2，对于方案1，设员工所获得的奖励额为，可取，，，，∴的期望为，方差，对于方案2，设员工所获得的奖励额为，可取，，，，∴的期望为，方差，由于两种方案的奖励额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，所以应选择方案2.4．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由题意两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，然后求出相应的概率即可；（2）确定ξ的所有可能取值，计算相应的概率，得出分布列，进一步求解均值和方差即可．【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝．两人都付0元的概率为P1＝×＝，两人都付40元的概率为P2＝×＝，两人都付80元的概率为P3＝×＝，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．（2）ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，则P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝．所以ξ的分布列为ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．【基础过关】一、解答题1．（2023·河南开封·统考一模）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为．(1)求的值；(2)记“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为，求的分布列与期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式，列式求解（2）猜对谜语的总数为0，,1，2，3，4，结合独立事件概率乘法公式，列举出这四种情况下的概率，即可列表求解.【详解】（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为，所以，解得．（2）设表示事件“甲在两轮中猜对个成语”，表示事件“乙在两轮中猜对个成语”，根据独立性假定，得，，，，，，的可能取值为0，1，2，3，4，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234．2．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京人民大会堂顺利召开．某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神．其中“学习二十大”进行竞赛．甲、乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记－1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．(1)经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；(2)若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．【答案】(1)分布列见解析；期望为(2)【分析】(1)根据题意，X的取值可能为－1，0，1，分别写出每一个概率，列表格，用可计算出数学期望.(2)第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）：－1，－1，－1；－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0，分别计算出概率相加.【详解】（1）由题意X的取值可能为－1，0，1，则，，那么X的分布列为：X－101P（2）第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）；－1，－1，－1;－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0．所以．3．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负.并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸球的人摸出的球后不放回；③摸球的人先从袋子中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和.(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望；【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）如果甲先摸出了绿色球，则甲还可以再摸两次，分摸到1个红球和摸到两个黄球两种情况讨论，结合古典概型及组合即可得解；（2）如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，写出随机变量的所有可能取值，分别求出求概率，即可得出分布列，再根据期望公式即可求出期望；【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件，则.（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分，，，，，，，所以的分布列为：67891011所以的数学期望.4．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）某学校组织“消防”知识竞赛，有A，B两类题目．每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．【答案】(1)分布列见解析(2)小明应选择先回答A类问题，理由见解析【分析】（1）由X的所有可能取值，计算对应的概率，列出分布列；（2）分别计算先回答A类问题累计得分的期望和先回答B类问题累计得分的期望，比较即可.【详解】（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，40，100，则；；．所以X的分布列为X040100P（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为．若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，60，100，，，，则Y的期望为，因为，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答A类问题．5．（2023·山东烟台·校联考三模），第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；(2)若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.【答案】(1)分布列见解析，(2)4【分析】（1）由题意可得可取0，1，2，3，4，进而分别求出概率即可求解；（2）先求得每一轮获得纪念章的概率，由每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，进而可得，，，由，解出即可求解.【详解】（1）由题意，可取0，1，2，3，4.,，，，，则的分布列为：01234.（2）每一轮获得纪念章的概率为，每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，设10轮答题获得纪念章的数量为，则，，.由，得，解得，又，得，则获得4枚纪念章的概率最大.6．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）某公司为了让职工业余时间加强体育锻炼，修建了一个运动俱乐部，公司随机抽查了200名职工在修建运动俱乐部前后每天运动的时间，得到以下频数分布表：表一（运动俱乐部修建前）时间（分钟）人数36588125表二（运动俱乐部修建后）时间（分钟）人数18638336(1)分别求出修建运动俱乐部前和修建运动俱乐部后职工每天运动的平均时间（同一时间段的数据取该组区间的中点值作代表）﹔(2)运动俱乐部内有一套与室温调节有关的设备，内有2个完全一样的用电器A，只有这2个用电器A都正常工作时，整套设备才正常工作，且2个用电器AA有M，N两种品牌，M品牌的销售单价为1000元，正常工作寿命为11个月或12个月（概率均为）；N品牌的销售单价为400元，正常工作寿命为5个月或6个月（概率均为）.现有两种购置方案：方案1：购置2个M品牌用电器﹔方案2：购置1个M品牌用电器和2个N品牌用电器（其中1个N品牌用电器不能正常工作时则使用另一个N品牌用电器）.试求两种方案各自设备性价比（设备正常运行时间与购置用电器A的成本比）的分布列，并从性价比的数学期望角度考虑，选择哪种方案更实惠?【答案】(1)分钟，分钟.(2)选择方案2更实惠.【分析】（1）根据平均数的概念直接求解；（2）根据分布列以及数学期望的求解方法即可比较两个方案的性价比，从而得出结论.【详解】（1）修建运动俱乐部前职工每天运动的平均时间为,修建运动俱乐部后职工每天运动的平均时间为.（2）若采用方案1，设设备正常工作时间为（单位：月），则可能的取值为11,12，则,,所以随机变量的分布列如下，1112所以,所以方案1的性价比为，若采用方案2，设设备正常工作时间为（单位：月），则可能的取值为10,11,12，则,,所以,所以随机变量的分布列如下，101112所以,所以方案2的性价比为，所以方案2的性价比更高，选择方案2更实惠.7．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：甲班813283239乙班1225

262831如果学生平均每周自我慗夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．(1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；(2)从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生总数为，写出的分布列和数学期望．(2)分布列见解析；期望为2【分析】（1）由表即可估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）计算取不同值时的概率，即可得出的分布列和数学期望.【详解】（1）由题意，甲班样本数据的平均值为：，乙班样本数据的平均值为：，∴甲班学生每周平均熬夜时间24小时，乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时．（2）由题意及（1）得，从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生，∴的可能取值为0，1，2，3，4．，，，，．的分布列是：X01234P.8．（2023·上海松江·校考模拟预测）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，）每天下午6点前的销售量/千克250300350400450天数10105(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)的分布列见解析，【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解．【详解】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为．（2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，随机变量的可能值为，可得：，，，所以随机变量的分布为：012所以的数学期望．9．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造､智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平.一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计.某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司有如下两种收费方案.方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务，每次另外收费200元；方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元.（1）设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为13次和14次的月份中任选3个月求这3个月，恰好是1个13次服务､2个14次服务的概率；（3）依据条形统计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由.【答案】（1）方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：；（2）；（3）从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适，理由见解析.【分析】（1）由题意可得方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：y=（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务､2个14次服务为事件A，根据条形图，利用组合数可得P(A)==，即求.（3）根据方案分别列出方案一与方案二中月收费的分布列，根据分布列求出数学期望，比较均值即可求解.【详解】解：（1）由题意知，方案一：中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为y=200x+4800，x∈N，方案二：当，时，，所以管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系为：y=（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务､2个14次服务为事件A，则P(A)==.（3）对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为ξ元，由条形统计图得ξ的取值为7400，7600，7800，8000，8200，P(ξ=7400)=0.1，P(ξ=7600)=0.4，P(ξ=7800)=0.1，P(ξ=8000)=0.2，P(ξ=8200)=0.2，∴ξ的分布列为：ξ74007600780080008200PE(ξ)=7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2=7800.对于方案二，设管理软件服务公式的月收费为η元，由条形统计图得η的可能取值为7600，8100，8600，P(η=7600)=0.6，P(η=8100)=0.2，P(η=8600)=0.2，∴η的分布列为：η760081008600PE(η)=7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2=7900.∵E(ξ)<E(η)，∴从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适.10．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）某猎人发现在距离他100米处的位置有一只猎物，如果直接射击，则只射击一次就击中猎物的概率为，为了有更大的概率击中猎物，猎人准备多次射击.假设每次射击结果之间相互独立，猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比.(1)如果猎人第一次射击没有击中药物，则猎人经过调整后进行第二次射击，但由于猎物受到惊吓奔跑，使得第二次射击时猎物和他之间的距离增加了50米；如果第二次射击仍然没有击中猎物，则第三次射击时猎物和他之间的距离又增加了50米，如此进行下去，每次射击如果没有击中，则下一次射击时猎物和他之间的距离都会增加50米，当猎人击中猎物或发现某次射击击中的概率小于时就停止射击，求猎人停止射击时射击次数的概率分布列与数学期望.(2)如果猎人直接连续射击，由于射击速度很快，可以认为在射击期间猎物和猎人之间的距离保持不变，如果希望至少击中猎物一次的概率超过98%，至少要连续射击多少次?附:.【答案】(1)分布列见解析，(2)5次．【分析】（1）设第i次射击击中猎物的概率为，猎人和猎物之间的距离为，则(k为常数)，由，，求出和符合题意，由射击次数X的所有取值，计算相应的概率，列出分布列，计算数学期望；（2）利用对立事件，计算至少击中一次的概率，列不等式借助对数式的运算计算射击次数.【详解】（1）因为猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比，设第i次射击击中猎物的概率为，猎人和猎物之间的距离为，则(k为常数)，∵，，∴，∴，∴，，．当时，，停止射击．设猎人的射击次数为X，则X的所有取值为1，2，3，4，，，，∴X的分布列为x1234P∴X的数学期望为.（2）记“第i次射击击中猎物”为事件，i=1，2，…，则n次连续射击至少击中猎物一次的概率为，故，所以至少要连续射击5次．【能力提升】一、解答题1．（2023·江苏·统考模拟预测）A，B，C三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C分别加2分，4分，5分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，若累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题A，B，CA，B，C回答正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率；(2)用表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）记甲同学进入下一轮为事件E，答了两题为事件F，结合题意，分别求出，代入条件概率的计算公式即可求解；（2）由题意先求出的可能取值，然后分别计算每一个值对应的概率，列出分布列，代入期望的计算公式即可求解.【详解】（1）记答对A，B，C分别为事件，，，甲同学进入下一轮为事件E，答了两题为事件F，则，，所以，即在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率为.（2）由题意知的可能取值为0，1，2.，，，所以的分布列为012P数学期望.2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.(1)若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望.(2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入两个纸箱中，箱中有3道选择题和2道填空题，箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率.【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）根据求分布列的步骤求出分布列，根据数学期望公式求出数学期望；（2）根据贝叶斯公式可求出结果.【详解】（1）依题意得甲获得决赛资格的概率为，乙获得决赛资格的概率为，的所有可能取值为，，，，所以的分布列为：012所以.（2）记“甲从箱中抽出的是道选择题”，“乙从箱中抽取的第一题是选择题”，则，，，，，，所以.甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为.3．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）由于X病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下：.已知指数不超过8表示血液中不含病毒；指数超过8表示血液中含病毒且该生已感染病毒.(1)从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含病毒的概率；(2)已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染病毒的学生全找出.方案A：逐个抽血化验；方案B：按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验；方案C：将方案中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案相同.如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据：）【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）确定不含病毒的有份，含有病毒的有份，，计算得到答案.（2）设每次化验的费用为，分别计算方案所需要的费用分别为，，，对比得到答案.【详解】（1）分血样中，不含病毒的有份，含有病毒的有份，混合血样含病毒的概率（2）设每次化验的费用为，每个人感染病毒的概率为，方案：费用为；方案：每组化验次数的分布列为：,故总费用为；方案：每组化验次数的分布列为：,故总费用为；综上所述：选用方案更合算.4．（2023·福建厦门·统考模拟预测）甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．(1)在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；(2)赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出比赛4场结束的概率，然后利用条件概率公式即可解答；（2）先由题意列出比赛收入的分布列，从而求出期望值，进而根据题意确定的值.【详解】（1）记事件为“比赛进行4场结束”；事件为“甲最终获胜”，事件表示“第场甲获胜”，事件为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件为“比赛进行4场结束乙获胜”．则，因为各场比赛结果相互独立，所以，，因为互斥，所以．又因为，所以由条件概率计算公式得.（2）设主办方本次比赛总收入为万元，由题意：的可能取值为：．，，，则随机变量的分布列为：300500700所以．设主办方本次比赛获利为万元，则，所以，由题意：，所以预支球队的费用应小于261万元．5．（2023·广东东莞·统考模拟预测）甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．(1)经过一轮踢球，记甲的得分为，求的分布列及数学期望；(2)若经过两轮踢球，用表示经过第2轮踢球后，甲累计得分高于乙累计得分的概率，求．【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）先根据题意求得甲进球与乙进球的概率，再结合独立事件的概率公式求得的分布列及数学期望；（2）分析甲累计得分高于乙累计得分的情况，从而得解.【详解】（1）记一轮踢球甲进球为事件A，乙进球为事件B，由题意知A，B相互独立，由题意得：，甲得分的可能取值为，则，，，所以的分布列为：01所以（2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种，分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分，此时乙第1轮得0分，第2轮得分；或者甲第1轮得1分，第2轮得0分，此时乙第1轮得分，第2轮得0分；或者甲两轮各得1分，此时乙两轮各得分；于是.6．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，求的分布列和数学期望；(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为，①当时，请直接写出数学期望与的关系；②求出关于的表达式.【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；(2)①；②.【分析】（1）根据给定条件，求出的所有可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）①按第次射出是空包弹和实弹求出对应的概率及空包弹数，进而求出即可；②利用构造法求出数列的通项公式作答.【详解】（1）依题意，的所有可能取值为，，，所以的分布列为012……的数学期望，显然，两式相减得，所以.（2）①第次射击后，包含两种情况：第次射出空包弹和第次射出实弹，第次射击前，剩余空包弹的期望是，若第次射出空包弹，则此时对应的概率为，因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为，若第次射出实弹，则此时对应的概率为，此时空包弹的数量为，所以.②当时，弹巢中有发空包弹，即，由，得，当时，数列是首项为，公比为的等比数列，因此，而当时，满足上式，所以.7．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义建设者，《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度.某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为.(1)若，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；(2)当，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学组成的小组在此次活动中获得“优秀小组”的期望值为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？【答案】(1)(2)理论上至少要进行19轮竞赛【分析】（1）由题意可知获“优秀小组”的情况包含三种情况，分别计算概率，再求和；（2）首先计算甲乙同学获得“优秀小组”的概率P，通过基本不等式求的范围，再利用二次函数的性质分析P的最大值，结合二