9.2.4总体离散程度的估计（2）高一数学下学期人教A版2019

9.2.4总体离散程度的估计（2）一组数据是x1，x2，…，xn，用

表示这组数据的平均数，这组数据的方差为

=

，标准差为

.１.方差、标准差的定义复习引入2.总体方差、总体标准差的定义如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为

，则称

S2=

为总体方差，S=

为总体标准差

．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体方差为

.

3.样本方差、样本标准差的定义如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为

，则称

s2=

为样本方差，s=

为样本标准差

．说明：标准差和方差刻画了数据的

程度或

幅度．标准差（或方差）越大，数据的离散程度越

；标准差（或方差）越小，数据的离散程度越

．数据x1，x2，…，xn的平均数为，数据y1，y2，…，yn的平均数为,a,b为常数.如果满足y1=ax1+b，y2=ax2+b，…，yn=axn+b，证明例题例１：数据x1，x2，…，xn的方差和标准差分别为，数据y1，y2，…，yn的方差和标准差为.若y1=ax1+b，y2=ax2+b，…，yn=axn+b成立，a,b为常数，证明证明：此题结论可当作公式直接运用.课本188页课本215页练习2.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为______.解析：设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.答案：16例2：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？例题解：把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；

把女生样本记为，其平均数记为，方差

记为

；

把总体数据样本的平均数记为，方差记为；课本212页由

,根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.分层随机抽样总样本方差的计算反思归纳练习1.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70kg，标准差为4，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为________.月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077频率/组距样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小,平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.例如,根据节中100户居民用户的月均用水量数据,可以计算出样本平均数和样本标准差分别为2.5914.9921.19月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077频率/组距2.5914.9921.19甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.（1）分别计算以上两组数据的平均数；（2）分别求出两组数据的方差；（3）若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？（4）甲、乙两名战士的成绩在[－2s，

＋2s]内有多少？练习解：(1)＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式

，得(3)由

，说明甲战士射击情况波动比乙大.因此，乙战士比甲战士射击情况稳定.从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛.(4)因为因为所以甲战士的成绩全部在[－2s，

＋2s]内.所以乙战士的成绩全部在[－2s，

＋2s]内.随堂检测1.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A.57.2,3.6

B.57.2,56.4C.62.8,63.6

D.62.8,3.6解析：每一个数据都加上60，所得新数据的平均数