2022年河北省唐山市统招专升本数学自考真题(含答案)

2022年河北省唐山市统招专升本数学自考

真题（含答案）

学校:________班级：________姓名:_________考号:_________

一、单选题（30题）

1.

函数）=.-------（8<十8）是（）

A.偶函数B.奇函数

C.非奇非偶函数D.既奇又偶函教

2.

计算积分[产小=

（）

A.0B.1C.-iD.i

3.

.极限土二变的值是

lim（）

x-*osin]

A.--B.~-C.0D.8

63

4.

产+1,z）0

曲线/（JT）=J’在点（0,1）处的切线斜率是（）

11+sirurV0

A.0B.1C.2D.3

5.

汲y=Ini,财⑺二（）

(—1)nn!JC-,?

A.

(—1)〃(7Z—1)!一〃

B.

(—1)〃T(〃一

C.

(—l)fI"】

6.

ll知G,b,c为非零向量.且Q・b.=O,bXc=0,则)

A.a〃b且bcB.aJ_b且》〃c

C.Q〃c且bJ_cI、aJ_c且b上c

7.

则极限lim&。+③)一/&)=C

已知/'(x°)=3,)

1。X

1

A.一B.1C.3D.9

3

8.

JZ%-，5-

()

A.1B.0C_1-2e-,D.c-1-1

H_ix<0.

小)=W(x)存在,则〃=()

\2x+a,x>0.”

9,A--，B.OC1D.2

下列结论不正确的是（）

A.单调有界数列必有极限

B.极限存在的数列必为有界数列

C.lim/（x）存在的充分必要条件是左、右极限都存在

1号＞

io.0.o是无穷小量

11.

I----dr=)

JVx(1+x)

A.-^-arctanG+CB.-^-arccotx+C

C.2arccotG+CD.2arcian>/x+C

12.

.过曲线y=arctani+F上的点(0,1)处的法线方程为()

A.21—y+1=0B.JC—2y+2=0

C.ZJC—y—1=0D..r+2y—2=0

13.

空间直线L：与2与平面〃:x+7y-2z=0的位置关系是（.）

A.垂直B.斜交C.直线在平面上D.平行

14.

1

曲线》=在1处的切线方程是)

A.3v—2x=5B.—3y+2x=5

C.3v+2JC=-5D.3y+2x=5

15.

p?a+r>

设/(x)在(0.-oo)上连续•且J,J\t)dt=M,则/(2)=()

A.5B.3C.1D.41

16.

函数f（jc'）在丁=j-（）处有定义是/'（.r）在x=x0处极限存在的（）

A.必要条件B.充分条件

C.充要条件D.无关条件

17.

曲线夕=々+2丫+2的拐点是（)

A.（0,-2）B.（2,-2）C.(-2,2)D.(0,10)

18.

若lim（2）=■，则lim---=

-r-*OX，1\

A.-j-B.2

19.

设，，阶方阵A满足T=AArE,则

A.A是满秩B.A是零矩阵C.A的秩小于"D.以上均不对

20.

如果方阵力可逆，那么（）

A.阂>0B.|j|<0C.|/|=0D.阂工0

21.

.由曲线y=与直线i=0,l==o所围成的平面图形的面积是（）

A.e",B.1

C.1-e-1D.14-e-1

22.

若函数f(x)在区间［a,6］上连续，则下列结论中正确的是()

A.在区间(a,6)内至少存在一点£使得/(e)=0

B.在区间(a,6)内至少存在一点&使得/'(»=0

C.在区间(a,6)内至少存在一点£使得片6)一/(。)=/($)(6-«)

D.在区间(a,6)内至少存在一点£,使得『/'(z)clz=/(£)"一0)

23.

1=0是函数f(r)=---笠^的()

x

A.可去间断点B.连续点

C.无穷间断点D.跳跃间断点

24.

设/(工)的定义域为［-2,2),则/(3_r+1)的定义域为()

A.[-5,7)B-[-14)

若函数f(X)=Y-3/+1在区间口,2］上().

A.单调增加且凹B.单调增加且凸

单调减少且是凸

25C.单调减少且凹D.

26.

在下列函数中不存在拉氏变换的是()

A./B.〃(/)

C.sin2/D.小(a>0)

27.

设A.B,C为同阶方阵，若ABC=E，其中E为单位矩阵.则()

A.ACB=EB.CAB=E

C.CBA=ED.BAC=E

28.

极限lim(l22)+=()

工30

A.e2B.1C.e2D-f

29.

1234

1230

行列式=()

1200

1000

A.0B.12C.24D.-24

30.

设/(z)在(0,+8)上连续，且『/⑴出=12.则八2016)=()

A.OB.1C.2D.无法求出

、填空题(20题)

「010、

设矩阵/=001,则矩阵加的秩是

ao0y

由方程e++xyz=e:确定的隐函数:c=的偏导数三=

33.

B(x+1)"

骞级数z收敛半径是.,收敛域是

n=05+1)2"

sin2x

函数/(刈=(="，x>。，在x=0点连续，则^二

x2+a,x<0

35.

rx+1ri,

.已知函数/Q)=J则点w=1是/(i)的___________间断点.

11,①=1,

.设A,b为三阶方阵.|A|=4.AB=E.则IB|=

36._____

37.

设向量a=(1,1,0)p=(2,0,1)，则a与尸的数量积a-ft=，向量积

ax°=.

线性方程组I；二0。只有零解，则-

函数/(x)=«a+x)x，%＞。，在x=0点连续，则常数a=

x2+a,x40

4。微分方程3—3、=/的通解为

我已知极限也(一占X

=『1,则常数A=

心级数W8(看1内一言Q的和为

T■乙.

1V0,

函数/(-r)=在.「=0处连续.则“=

a十工?

工20

~1~

43.

设连续函数f(i)满足/(，)=sin/+1-/(jr)d.N,则/(1)=

44.JT

已知之=e-T，，汽■=

ojcdy

45.'

1

[312'

已知▲=.B=—23.则AB=

231

4-5

46.

47.

已知函数/(.r)=ln.r为可导函数.则f(x)在点才=1.01处的近似值为.

(1+2彳)2djr=

48.

曲线》=2亡，的拐点为

微分方程/smx-7cosx=0满足初始条件y\x_n=2的特解是一

50.2

三、计算题（15题）

求定积分「一^7=.

51."3

52.

某工厂生产某种产品需两种原料/、B,且产品的产量z与所需4原料数x及3原

料数V的关系式为z=x?+8盯+7/.已知/原料的单价为1万元/吨，3原料的单价为

2万元/吨，现有100万元，如何购置原料才能使该产品的产量最大？

判断级数£的敛散性.

53.

54.

设平面区域。是由圆周》?+/=1所围成的闭区域，计算二重积分］卜/+/仁（1），.

D

55.

设函数z=/（siru、/J,2）,其中函数/具有二阶连续偏导数,求鲁.

dxdy

f1

求不定积分厂jdw

56.

57.

已知函数X=7（？）由方程arctan—=In所确定，求孚•.

求函数之（立.了）=炉—/+6矛—12y+10的极值.

58.

1

求极限lim/In/2+——ln2172.

77fOOJ\

求不定积分|arctan/

60.

M.解方程—.

H?nn

求塞级数2”r的和函数-

62.i"!

计算不定积分f/J，

“J（1IeT）u

63.

求不定积分「半生di.

64.Je

求极限lim/1H---\e-J.

四、证明题（10题）

66.

21.设函数在［0,1］上可微,当0&H41时0V人］）＜1且/（X）力1,证明有且

仅有一点1e（0,1），使得/（J-）=

67.

设/（X）二阶可导，且满足方程r（x）+f'（x）-2/（x）=0.若f（a）=f（b）=0,求

证：E[a,b],/(x)=0.

证明：当xA0,n>1时，x"-n(x-1)>1.

68.

69.

设函数下之)=其中〃工)在区间0.+8)上连续，/“(外在

2、-a

(a.+8)内存在且大于零,求证：FQ)在(a.+8)内单调递增.

70.

证明不等式<In%〈生二工其中n<m为正整数.

mnn

证明：对于0VaV〃,有arctan人一arctanaV6—a.

71.

证明：当z〉0时，有(1+z)ln(l+JC)〉arclartr.

72.

73.

证明不等式:才>0时，1+j'lnCf.

74.

求由抛物线3=1—*及其在点(1,0)的切线和3,轴所围成的平面图形的面积.

75.

设函数/(Z)在闭区间［0,1］上可导，且八o)・/(D<o.证明在开区间(0,1)内至少存在

一点f,使得2/(?)+&■'(0=0.

五、应用题(10题)

76.

求曲线段y=/(04工WD上一点处的切线•使该切线与直线3--0,T=1和曲线

3-=^所围成图形的面积最小.

77.

求由曲线卬=2,4'=/及了=4所围成的图形的面积，并求此图形绕7轴旋转所得

的旋转体的体积.

78.

某立体声收音机厂商测定,为了销售一新款立体声收音机工台，每台的价格(单位:元)

必须是p⑺=800一丁,厂商还测定，生产z台的总成本为C(z)=2000+lOz.为使利润最大

化，厂商必须生产多少台?最大利润是多少？

79.

在笫•象眼内.求曲线2f+y'=l上•点，使在该点处的切线।州线及两个

坐轴所用成的面积最小，并求最小值.

80.

已知D是抛物线L：y=2才和直线/=所围成的平面区域.试求：

(1)区域D的面积；

(2)区域D绕。式轴旋转所形成空间旋转体的体积.

81.

某商品的需求函数为

Q=25—P,

求：(1)P=2时的需求弹性；

(2)在P=2时,若价格P上涨1%,总收益的变化情况；

(3)P为何值时，总收益最大.

82.

将长为。的铁约成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁吆长各是多

少时，正方形与圆形的面积之和最小？

83.

设平面图形D由曲线)=-和直线y=n=2及.r轴围成.求：

(1)平面图形D的面积；

(2)这图形绕I轴旋转一周所得旋转体的体积.

84.

求曲线y=73—6z与.y所围成图形的面积.

85.

设5是由抛物线3=2/和直线.r=a,z=2及)，=0所围成的平面区域；Dz是由

抛物线y=2M和直线y=o,*=a所围成的平面区域，其中0VaV2.

(1)试求D,绕了轴旋转而成的旋转体体积％;外绕.v轴旋转而成的旋转体体积匕；

(2)问当a为何值时％+匕取得最大值?试求此最大值.

六、综合题(2题)

86.

根?八..3卡、：・.：....•

求该曲线和该切线及直线yH0所围成的平面图形的面积S；

87.

设f(x)对任意实数八y恒有/(x+y)=/(x).f(y).且/(0)#0,/(0)=1.

(1)证明/(X)=/(X)；

⑵求/⑺.

参考答案

令/(#)=--------，则

ln(，］+X?—7)

/'(—=--------------------=--------］----------

ln(v1+x24-x),(>—x2

In---,-----

z

\1+J72—x

_________1________=_________1________

in/------1------\ln(十z?—JC)

=­，

即:y=/(由为奇函数，故选B.

1i.nD

［答案］C

M1D1

【精析】=dr=丁/=一1+i)z=-i.

2.C」i+iNIL

3.A

.»1Ji2

r才―sin.r「x-sin.r「1-cosw「21

【精析】hm——=Imi-------5-----=hm———=hm-r-=

l。sin\rLOILO"x->oS厂b

4.B

【精析】1=0为函数的分段点，故在该点的导数需要分别求左导数和右导数(O)=

lim1+加丁1=lim—=1,/+(0)=lim八+11=1，故/(0)=1,则函数在

「0-1―0-0-1「。+1—0

点(0,1)处的切线斜率为1.

5.C

【精析】由y二向可衢，=-^'=-^/=--T=\=W，y⑷

1X1X1

二T，一鹏解雕可虬/二H)M雌C

X1

6.B

由a•万=0,得。，匕.由b/c=O.得b〃c,故选B.

7.D

・］pl

2,r3dr=~/d(—c-jr)

JoJo

।fl

=—.r2c**2+2;re-^Zdj

oJo

2I

=-e-1-c-J=1-2d

8.C°

9.A

［答案］A

【精析】由于li哪x)存在，则liW(x)=linV"),由题可知liW(x)=lini(.r2-1)=-1,

x^O-x-O-x-4)-

lim/(x)=lim(2x+a)=a,故a=-L

10.C

c

【评注】C不正确，因为lim/(x)存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等.

XT%

11.D

［dx—2［―-------dx=2—d^/x=2arctan5/r+C.

J-/JTCI+.N)J2石(1+工)JI-

12.D

【精析】，=号一+ely'(O)=2,法线斜率为4=一［.

k2

所以法线方程为)—1=-大一0)e即z+2y—2=0•故应选D.

13.D

D

【评注】直线三三=一匕1=三的方向向量是:二(3」,5),平面〃:x+7y—2z=0的法

315

向量是〃=(1,7,-2),可知=0,所以直线与平面的位置关系是平行，选择D.

14.D

【精析】£=一枭+.：/|=一■!•.则切线方程为=一。(了-1),整理得3什

31i=iJJ

Zx=5.故应选D.

15.D

［答案］D

【精析】方程两边同时对J，求导得,71>2(1+幻］・(2X4-3JT2)=1,

令#=1.则/(2)•5=1,/(2)=!,故选D.

16.D

1答案」D

【精析】函数在某•点处有定义与函数在该点处有极限是无关的•举反例说明.例如.

1,1及1.

函数/(1)=V函数/O)在1=1处有定义.但在I=1处左右极限不同.

i—1,h<［1・

故极限不存在；又例如函数g(1在①=0处没有定义.但g(］)却在才=0处有

极限.故应选D.

17.C

C

【评注】y=3(x+2)2,/=6(x+2),令y"=o得：*=一2.当xv-2时，/<0,

x>-2时，/>0.

18.C

［答案］C

「"fl1BD1.4fl1当。叶小)工

【精析】5-二0,即如七Nl,TZf°时,/(2)〜不

2

即彳->。时•/(l)〜/♦所以/(告)〜Jim---=lim—=3•故选C.

33LQ，/工、LCx

T

19.C

［答案］C

【精析】A?=A可得|解|=|A/=|4|.则IA|=0或1.若|A1=1,则A可逆,

此时工=A两边同时左乘AR得到A=E.又ArE,产生矛盾•故|A|#L则|A|=

0,故A的秩小于n.

20D【评注】因为方阵力可逆的充要条件是,艮0,所以选D.

21.C

【精析】由题可知所求面积A=k&=-=-仁-1=1-b’故

应选C.

22.D

【精析】要得到人项结论，还需满足了(外在(。,6)内可导以及/((/)/(6)<0；要得到

C项结论，还需满足/(z)在",，)内可导；要得到B项结论，不仅要满足C项所需条件，

还需满足f(a)=f(b).所以A、B、C项均不正确.

23.A

［答案］A

【精析】lin"⑺=lim=lim取=4■•因此工=0为的可去间断点.

LOL0L04JTZ

24.B

【精析】由/(工)的定义域为［-2,2)得一2<3了十1<2,从而一14.》〈《，所以

/(3j-+1)的定义域为［—1，£)，故应选B.

25.C

26.A

［答案］A

【精析】B项中，令M=1,C=0,则有|«(r)|《1•c""；

C项中，令M=1,C=0.则有|sin2f|<1.

D项中.令M=1,C=".则有|e"|41•小；

故B、C、D项均为指数级函数且满足拉氐变换的存在定理，而A项中.不论选M及('多

大，总有IJ故岂不是指数级函数.故应选A.

27.B

【精析】ABC=(AB)C=E,则有C(AB)=CAB=E,故应选B.

［答案：］C

【精析】lim(12.r)^=lim(l2i)土"=e2,故选C.

28.Cl。l。

.C

1234l

］234

【评注】1233・

%,230=-24=24

123

°°200°

1000

29.C

30.B

【精析】两边对乏求导得fez?)•21=24所以/(./)=1,从而/(2016)=1,故选B.

31.

1

32.

c-y+冲

e=­jry

【精析】令F(x,.y,s)=+盯，之一e，，有

az一"(工，3,2)_e-，I1yz_e"'+"

3x£(工，y,z)xy—ereT—xy"

33.

2[-311)

34.

2

35.

可去

【精析】limf(i)=lim(jr+1)=2.而f(1)=1,故z=1为f(T)的可去间断点.

j>-I4-l

36.

]_

7

【精析】AB=E,则IA||B|=|E|.即4|ZJ|=1,故|B|=5.

4

37.

2(1-1-2)

2(l,-l,-2)【评注】本题考查的是向最的数量积与向量积.

38.

0-4

【评注】方程组只有零解的充要条件为1—2工0,即4+4。0,无。-4.

2k

39.

e2

40.

y=Ci3一,r2

【精析】方程化为y-1v=才,尸⑴一,♦Q⑺=才,

=e31nj(Pre-31njd.r+C)

=j-3(1;&r+Cj=Cr3—x2.

41.

1

［答案］-2

【精析】£,,>\,v=i—^-+4—+…+—vf

K—1k(k1)Z23M〃+1

故SIL-］、=lin“1--4TT)=1，

Y13-3V1—32(12")_o/I_

々K—3々环一3一3(12)

2

422故g(寻万一/)=1-"I.

43.0

［答案1o

【精析】由于/(.r)在-r=0处连续•故lim./,(J)=lime+=0=/(0)=£

*-*III--*/I

故《=。.

44.

sinj:+—

0

【精析】令［J（1）dr=K则对等式两边积分得IJ（7）djr=J（sinx+1一力五=

COST|+了|-fo*|=2—23即4=22"解得々=弓，故/（力）=sinw+1

2.1

—=sirkr+-.

oJ

45.

一12+，小

【精析】"・（-3）=-⑵菖―.

axdjcdy

46.

14l

,Qb、『312][951

95【精析】AB=-23=.

231012

I。n"JIJ[4-5]

47.

0.01

【精析】由/（。+&1）内/（4）+//（叁）/^.故/（1+0.01）N/（1）+/（1）-0.01=

Ini+（：]「）•0.01=0.01.

48.

①4+《彳3++C

3

【精析】原式=（1+41r2+423）di=/+-yjr++C.

49.

［答案］(2高

-JrJn-J，-J-，-2-J

【精析】y'=e—xe~>y=­e—(e—JCJ)=JCC~J—2c=e(.r-2),

令『=0得i=2,即拐点为

50.

y=2sinx

y=2sinx

【评注】y'sinx=ycosx,型sinx=ycosx，

虫=也”心,两边同时积分得lny=lnsinx+lnC,由y,=2得，C=2,于是

ysinx吃

由少=。5也%，得到y=2sinx.

51.

解：「一令4=一「9=21nq+1)2=2111a.

x+4x/+112

52.

解：依题意，有x+2y=100,即x=100-2y,代入z=f+8盯+7y?,整

dzAz

理得2=10000+400夕一59.上式对丁求导，有一=-10y+400,令一=0得

dyay

d，

y=40.又—-=-10<0,知产量z在y=40时取最大值.由y=40,得x=20,故

dy

购置4原料20吨、8原料40吨能使产量最大.

53.

【精析】方法一耳>《对于级数jlim皿=lim］乌=

n!n!£〃！lrun—g(k-1)!n

<*3txi3

㈣(皇尸=e>1.故级数W枭发散,所以级数与舄发散.

方法二lim皿=lim2-田”！.=.尊;=8,所以£斗发散.

-Un-E(〃十］)!2h-E«I1仁〃！

54.

,21

解:Jje，t/dxdp=JjerdrdO=[d^ferrdr=2TC--er2=K(e-l).

DDJoJo20

55.

【精析】言=COSJ-y\+23f2•

32

,，

i…”；—codify,•(—2y)+2工fn,(-2y)=­2ycosxf—4卬，也.

dxayl?

56.

J

原式=f1<i「e"=fdx—W]：)=x—ln(1+e)+C.

J1+eJJ1+e

57.

方程arctan—=In〃♦—一两边对y求导，得

x

].>r—yz'_].2xr，+21y

14-Z*/—"+.2'2"+#

x2

即寻=珀，'-'=（'+»"，

即用=1工一？

#+?,

58.

jZj——2x4-6=0,

【精析】解得驻点(3.2),(3,—2),

=3j,2—12=0,

Z的二阶偏导数为之门=—2,Zxy=0,Zyy

对于驻点（3.2）,因为

A=之百(3,2)=—2<0,13=%.(3,2)=O.C=2A(3,2)=12*

所以B2-AC=24>。.点(3,2)不是函数的极值点.

对于驻点(3.-2),

A=(3.-2)=—2V0.B=%(3,—2)=0,C=z“(3.-2)=—12,

于是B2-AC=-24V0,又AV0，

所以函数在点(3,—2)处取极大值2(3,-2)=35.

59.

.【精析】limn/In/2-|——\—ln2\=lirawin/1+\=limlnf1+77-

L8\yn)f8\)l—\Zzz)

2nJ

limln「(1+-^―

〃-►00L\zTI]

,±1

Ine2=—.

60.

【精析】令=，•贝I]i=F,d.r=2tdt,

[arctant•a

原式=d产=产arctanrdz

H-Z2

1+r-1

=〃arctan/dZ

-J1+r

=42arctanZ—|d£+1山

14-r2

=rarctanr-t十arctanz十C.

将r=\[x代入得arctanZrd.r=zarctan6-G+arctan+C.

61.

【精析】原微分方程可变形为y'—Ly=>.

所以方程的通解为y="(卜2•ehX&+C)=.r(adr+C)

=i(J—+C)=-y,r3+Cr,

C为任意常数.

62.

c,、(2"尸R2\r"1R(2i)".酎1「,、

S(x)=y.—―=>,­：1=>,——：1=e—16(—8,4-00).

J)1tj'fl'

n=\"・n=0"•n=0

63.

zd(e'+1)

(1+e，)"

(l+eJ)2

+

ex—1

=——£_+峙i

er+1

=--------+z-ln(1+d)+C

r

eT1

=-^-r-lnd-reO+C.

e*+1

64.

'arctane^.f.._,,,Tdj'

--------dr=—arctanede=——earctane+；-----

JeJJ1-re-

re2-r

=­barctane/+/1--~~：—TT

J\1+e)

=­e-rarctaneJ+才----^-ln(14-e2r)+C.

65.

2

['2]“J、5Cjln(14-y>-J1

【精析】limH+-\c°=limci"*；〉•c-'=].令，=工，则

jToo\JT/j：*4-co1

lim也芋=Ito群,

原式==e'-°+=e"7.

66.

【精析】令F(H)=/(工)一工.则由题意得FG)在[0,1]上可微.

因为当0工工01时OV/(a)<1，

所以F(0)=/(0)>O.F(l)=/(I)-1<0,

由零点定理可知，至少存在一点/e(0,1).使得F(.r)=0,即/(X)=ar.

又因为当04丁<1时，/(工)#1,

所以F'Q)=/Q)—1/0.

假设存在另外一点v6使得/(y)=则F(y)=/<>')-y=0.

当丁〉y时，由罗尔中值定理得存在一点=W(yu)，使得F'(x)=0,与F'(k)#

0矛盾.

同理可证当了Vy时也不成立.

综上可得，有且仅有一点丁e(0,1)，使得八丁)=x.

67.

证明：r(x)+尸(x)—2〃x)=0的特征方程为r2+r-2=0,

解之得a=1,弓=一2,所以/(x)=Ge'+C2e-2x.

Cea+CeT2a=0

由/⑷=〃b)=0得二bJ一);解此方程组得G=G=o，

C】e+C2e=0

所以/(x)三0,Vxe［a,b\.

68.

令F(x)=/-〃(x-1)—1=/—nx+”-l,并且F(1=l-n+nT=O.

当xNl,F'(x)=njii_,=亚/1一1)

由于xN耐，“21,所以尸(x>0,即网x)在口，力］是递增函数，

所以Fx)>F(l),

x—ZLY+H—120」也即

父—n(x-l)>l.

当0<x<1时，F'(x)=nx^~'—n=”(才'一1),由于0<x<1,n>1,

所以一<1,即尸(x)<0,以Fx)在［0,1上是递减函数，所以

F(x)>F(l),

x"—1)N1

得证.

69.

【证明】•.卡⑺=△•必三二9二一解三)一二幺切

(x-a)

由Lagrange定理工.)(型_。)