2022-2023学年广东省佛山市南海区、三水区九年级（上）期末数学试卷含解析

2022-2023学年广东省佛山市南海区、三水区九年级(上)期末

数学试卷

一、选择题(本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

AB

A.40°B,30°C.20°D.15°

4.吴老师在演示概率试验时，连续随机抛掷一枚质地均匀的骰子，前3次的结果是“6”，

则第4次的结果是“6”的概率是()

A.0B;C;D.1

6L

5.反比例函数的图象经过点(2,3),则下列各点也在该函数图象上的是()

A.(->T2,3<2)B.(2<3,-/3)C.(9,|)D.

6.已知3、4、5、x成比例，则x的值为（）

1220

A.B.当C.D.6

T4T

7.以下命题正确的是（）

A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.有一个内角是直角的菱形是正方形

C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

8.关于x的一元二次方程“2-2mx+m2-l=0,以下说法正确的是（)

A.没有实数根B.有两个相等实数根

C.有两个不相等实数根D.根的情况与m的取值有关

9.如图，在△4BC中,AB=6,AC=4,将△ABC绕点4旋转得△ADE,

当B、C、E在同一直线上时，CE=3,连接BD,则BC的长为（）

9

A.2

B.4

c.3

5

D.2

10.如图，已知E,F分别为正方形48CD的边BC、CD上的点，且4E4F=

45°,4E、AF分别交对角线8。于点M、N,则下列结论：①乙4EB=UE尸;

②△ABN—MZM；@AM-AE=AN-AFx@BM2+DN2=MN2.K

中正确的结论有（）

A.①②④B.②③④C.①③D.①②③④

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.如图，矩形4BCD的对角线4c和8。相交于点0,若4。=5,则

BD=

12.小明同学在“测高”综合实践活动中发现：在一个阳光明媚的午后，身高1.7m的自己在

阳光下的影长是0.34m,在同一时刻，阳光下旗杆的影长是4m，则旗杆高为.

13.已知与,尤2是方程—l=0的两个实根，则（刀1一2）。2-2）=.

14.如图，一次函数yi=-2x+3和反比例函数：的图象交于点

力（一1,瓶），B（n,-2）,若当＜%，则》的取值范围是.

15.如图，在△4BC中，乙4cB=90。，以点B为圆心，BC长为半径画

弧，交线段4B于点D；以点4为圆心，4D长为半径画弧，交线段AC于

点E,若E为AC中点，则能=.

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题8.0分）

解方程：5x（%—1）=3—3x.

17.（本小题8.0分）

一个不透明的盒子中放有除颜色外其他都相同的4个小球，其中2个红球，2个白球，求从盒

子中摸出两个小球颜色相同的概率（请用画树状图或列表格的方法求解）.

18.（本小题8.0分）

“绿水青山就是金山银山”，为切实提高农户的收入，某村引进无花果种植项目，某农户原

计划种植100棵无花果树，一颗无花果树平均结无花果1000个,为进一步增加收入，该农户现

准备多种一些无花果树，实验发现：每多种1棵无花果树，每棵无花果树的产量就会减少2个，

但多种的无花果树不超过100棵，如果要使产量增加22.2%,那么应该多种多少棵无花果树？

19.（本小题9.0分）

如图，在一条马路，上有路灯48（灯泡在点■处）和小树CD,某天早上9：00,路灯28的影子顶

部刚好落在点C处.

（1）画出小树CD在这天早上9：00太阳光下的影子CE和晚上在路灯4B下的影子CF；

（2）若以上点E恰为CF的中点，小树CD高2m,求路灯2B的高度.

A

D

B

20.(本小题9.0分)

直线y=ax+6与双曲线y=；交于71、B两点，已知点4的横坐标为1,点B的横坐标为5.

(1)求反比例函数的解析式：

(2)求404B的面积.

21.(本小题9.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，DB=点尸是AB的中点，连接。尸并延长，交CB的延长线

于点E,连接力E.

(1)求证：四边形是菱形.

(2)若DC=2,BD=CU，求四边形4EB0的面积.

22.(本小题12.0分)

四边形48co为正方形，AB=8,点E为直线BC上一点，射线AE交对角线8。于点尸，交直线

CD于点G.

(1)如图，点E在8C延长线上,求证：FC?=FG•FE；

(2)是否存在点E,使得△CFG是等腰三角形？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由.

23.(本小题12.0分)

如图1,平面直角坐标系xOy中，力(一4,3),反比例函数y=g(k<0)的图象分别交矩形ABOC

的两边ZC、AB于E、F(E、F不与4重合)，沿着EF将矩形4B0C折叠使4、。重合.

(1)当点E为4c中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系；

(2)如图2,连接C。,

①ACDE的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；

②当CD平分N4C。时，直接写出k的值.

图1图2备用图

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：从正面看，是一个“田”字.

故选:B.

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

2.【答案】A

【解析】解：把x=1代入/+2x—m=0得1+2—m=0,解得m=3.

故选：A.

根据一元二次方程的解的定义,把x=1代入方程得1+2-m=O,然后解关于m的一次方程即可.

本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二

次方程的解是解题关键.

3.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BCD是菱形，

乙D+乙BCD=180°,ADCA=/.BCA,

■■■^ADC=140°,

乙BCD=40°,

Z.BCA=Z.DCA=3乙BCD=20°,

故选：C.

直接利用菱形的性质可得4BC。的度数，利用角平分线的性质进而得出答案.

此题主要考查了菱形的性质，①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱

形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对

称轴，分别是两条对角线所在直线.

4.【答案】B

【解析】解：掷第4次时有6种等可能出现的结果，其中结果是“6”的有1种，

.••第4次的结果是“6”的概率是g

O

故选：B.

直接由概率公式求解即可.

本题考查概率公式，理解题意和概率的意义是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：•••反比例函数的图象经过点(2,3),

•••k=2X3=6.

4、v—yj~~2X3yJ~~2=-6W6，••・此点不在函数图象上；

8、•.iCx(—门)=-6r6,•♦.此点不在函数图象上；

C、T9声6,•••此点不在函数图象上；

。、=.,・此点在函数图象上；

故选：D.

先根据反比例函数的图象经过点(2,3)求出k的值，再对各选项进行逐一分析即可.求出k的值，再

对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函

数的解析式是解答此题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：丫3、4、5、x成比例，

・•・3：4=5：x,

:.3%=20,

解得：%=冬

故选：C.

根据比例的性质进行计算，即可解答.

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

7.【答案】8

【解析】解：人有一组邻边相等的四边形不一定是菱形，原说法错误，不符合题意；

以有一个内角是直角的菱形是正方形，正确，符合题意；

C、对角线相等的四边形不一定是矩形，原说法错误，不符合题意；

。、对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，原说法错误，不符合题意.

故选：B.

根据菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定分别判断得出即可.

本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键

是要熟悉课本中的性质定理.

8.【答案】C

【解析】解：:/—(—2m)2—4x1x(m2—1)=4>0,

.,・关于x的一元二次方程/-2mx+m2-1-0一定有两个不相等的实数根.

故选：C.

先计算出判别式得到4=4m2-4(m2-1)>0,然后根据判别式的意义判断根的情况.

本题考查了一元二次方程。/+法+。=09清0)的根的判别式4=/?2-4(1<:：当4>0,方程有

两个不相等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当/<0,方程没有实数根.

9【答案】A

【解析】解：,•・将△ABC绕点4旋转得△ADE,

:.AB=AD=6,AC—AE—4,Z.BAC=Z.DAE,

:.乙BAD=Z.CAE,

._6_3

AE=4=29

ABD~〉ACE,

=吗

ACCE

BD3

'~=29

・•.BD=I9，

故选：A.

根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：如图，把△4。尸绕点4顺时针旋转90。得到

由旋转的性质得，BH=DF,AH=AFfABAH=^.DAF,

v/-EAF=45°,

AAEAH=乙BAH+Z.BAE=Z-DAF+/.BAE=90°-乙EAF=45°,

・•・Z.EAH=Z.EAF=45°

在△/£1/和中，

AH=AF

Z.EAH=Z.EAF,

AE=AE

AEFw/kAEH(SAS),

:.EH=EF,

/.^AEB=Z.AEF,故①正确；

・・・AAMD=4ABD+Z.BAE=45°+乙BAE,乙NAB=Z.EAF+/.BAE=45°+乙BAE,

・•・乙NAB=Z.AMD,

v乙ABN=ZLADM=45°,

mABNfMDA,故②正确；

连接NE,

•・・乙MAN=乙MBE=45°,Z.AMN=乙BME,

AMN~&BME,

•・•乙MBE=Z.EAF=45°,Z-AEB=Z.AEF,

AFE^LBME,

•・,△AMNfBME,

AMN~AAFE,

.AM_AN

''AF=AEf

AM-AEAN-AF,故③正确；

如图，将AABM绕点4逆时针旋转90。得到AADG,连接NG,

Z.ADG=/.ABM=45°,BM=DG,

乙GDN=90°,

・•.△GDN是直角三角形，

同(1)得4ANGW4ANM(SAS),

•••MN=GN,

•.MN2=NG2=DN2+DG2=DN2+BM2,故④正确.

本题正确的结论有：①②③④

故选：D.

把44。尸绕点4顺时针旋转90。得到△ABH,由旋转的性质得，BH=DF,AH=AF,Z.BAH=Z.DAF,

由已知条件得到NE4H=LEAF=45°,根据全等三角形的性质得到N4E8=^AEF,则可求得①正

确；

根据三角形的外角的性质得到乙4MD=Z.ABD+/.BAE=45°+/.BAE,由NM4B=/.EAF+

^BAE=45°+^LBAE,可得4M4B=N4MO,根据相似三角形的判定定理得到△ABNSAMZM,

故②正确；

证明△AMN—BME,△/1FE-ABME,可得△XM/V-A4FE,根据相似三角形的性质得到空=空,

AFAE

即可得AM-AE=aN-AF,故③正确；

作旋转三角形4DG,只要证明△ANG三△4VM,MN=NG,即可解决问题.

此题是相似综合题，考查旋转的性质，相似三角形三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定和性质是解此题的关键.

11.【答案】10

【解析】解：丫四边形/BCD是矩形，

・•・BD=AC»AO=OC,

-AO=5,

/IC=10,

・•・BD=10.

故答案为：10.

根据矩形的对角线相等即可得出结果.

本题考查了矩形的性质；熟记矩形的对角线相等是解决问题的关键.

12.【答案】20m

【解析】解：根据题意可得：设旗杆高为

根据在同一时刻身高与影长成比例可得：鸟=[,

0.344

故％=20.

答：旗杆高为20米，

故答案为：20m.

利用在同一时刻身高与影长成比例计算.

本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高

度，体现了方程的思想.

13.【答案】-3

【解析】解：「Xi，不是方程/-3x—1=0的两个实根，

久1+%2=3,Xj*%2=-1，

(%i—2)(%2—2)=与,%2—2(%i+%2)+4=-1-2x3+4=-3.

故答案为：-3.

根据根与系数的关系可得出与+%2=3、X1-犯=-1,再将（右-2）（冷-2）展开代入数据即可得

出结论.

本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出与+次=3、X1•右=-1•本

题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数找出两根之和与两根之积是关键.

14.【答案】%>2.5或一1<%<0

【解析】解：把4（-1,m）、B（n,-2）两点的坐标分别代入yi=-2x+3,

得m=-2x1+3=5,

-2n+3=-2,解得n=2.5,

根据函数图象可知：当》<一1或0<x<3时，一次函数图象在反比例函数图象上方.

故答案为：x>2.5或一1<x<0.

根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集

是解题的关键.

15.【答案】I

【解析】解：设8C=b,AC=Q,

•・•£为4c中点，

•••AE=\AC=1

由题意可知8。=BC=b,AD=AE—全

.-.AB=AD+BD=^+b,

•••ZACB=90°,

：.AC2+BC2=AB2,即（^+炉=^+七产，整理得，3a=伤，

b3BC3

Aa=?a即n族，•

故答案为：p

4

设BC=b,AC=a,根据E为AC中点可知4E=:由题意可知BD=BC=b,AD=AE=^,

NN4

故AB=AD+BD=l+b,再由勾股定理即可得出结论.

本题考查的是比例线段及勾股定理，解题的关键是学会利用勾股定理构建关系式解决问题.

16.【答案】解：5x(x-l)=3-3x.

5x(x—1)+3(x—1)=0,

(x-l)(5x+3)=0,

x—1=。或5x+3=0,

所以与=1,x2=

【解析】先移项得到5x(尤-1)+3(x-1)=0,再把方程转化为x-1=0或5x+3=0,然后解

两个一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

17.【答案】解：回树状图如下：

开始

红红白白

ZN/[\/NZN

红白白红白白红红白红红白

共有12种等可能的结果，其中从盒子中摸出两个小球颜色相同的结果有4种，

.•・从盒子中摸出两个小球颜色相同的概率为2=

【解析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中从盒子中摸出两个小球颜色相同的结果有4种，

再由概率公式求解即可.

本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两

步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18.【答案】解：设应该多种x棵无花果树，

根据题意列方程得：(100+x)(1000-2x)=100X1000X(1+22.2%),

解得与=30,x2=370(370>100,舍去).

答：应该多种30棵无花果树.

【解析】每多种一棵无花果树，每棵无花果树的产量就会减少2个，所以多种x棵树每棵无花果树

的产量就会减少2x个［即是平均产(1000-2x)个］,无花果树的总共有(100+x)棵，所以总产量是

(100+x)(1000-2x)个.要使产量增加22.2%,达至鹿00x1000x(1+22.2%)个.

本题考查一元二次方程的应用，关键找出无花果树的增加量与无花果总产量的关系.

19.【答案】解：(1)如图，连接4C,作=OE交直线，于点E,连接4。并延长4?交

直线［于点F,

v乙DCE=乙ABC=90°,&

:DCEFABC,'■/、''、、n

・•・乙DEC=Z.ACB,、、、*、、、

:.DE//AC,21、\/

DC*EF

：.CE、CF分别为CO在这天早上9：00太阳光下的

影子和晚上在路灯AB下的影子.

(2)•••点E为CF的中点，CD=2m,

：.CE=EF=3CF,

■：DE11AC,

•DF--E-F--1

••AF-CF-2

vZ.DCF=乙ABF,Z.DFC=Z.AFB,

DCF~〉ABF,

,CD_DF_1

^BA=AF=2f

・•・BA=2CD=4m,即48=4m,

答：路灯4B的高度为4m.

【解析】(1)连接4C,作NCDE=/BAC,CE交直线，于点E,连接AC并延长4D交直线I于点F,由

△DCEFABC,得ZCEC=44CB,则DE//AC,可知CE、CF分别为CD在这天早上9：00太阳光

下的影子和晚上在路灯AB下的影子；

(2)由。E〃4C,得第=萼=)再证明△£)仃一△ABF,得穿=照=；,则力B=2CD=4m.

t\rCr乙Drinr乙

此题重点考查平行线的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确

地作出图形并且证明△DCEfABC及XDCFfAB尸是解题的关键.

20.【答案】解：(1)设点4(l,m)、8(5,71),

将点力、B的横坐标分别代入反比例函数的表达式得：k=m=5n@,

将点4、B的坐标分别代入一次函数表达式得：a+6=zn且5a+6=ri②,

a=-1

骁A，

{n=1

则点4、8的坐标分别为(1,5)、(5,1),

故反比例函数的表达式为：y=-；

JX

(2)如图，设直线4B分别交x轴和y轴于点C、D,

由(1)知，直线4B的表达式为：y=-x+6,

令y=—x+6=0,则工=6,即点C(6,0),

-11

则40AB的面积=SAC0A-SA℃8=^x6x5-^x6xl=12.

【解析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)由AOAB的面积=SACO4-SAOCB，即可求解.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质,

面积的计算等，利用数形结合思想是解题的关键.

21.【答案】(1)证明：•••四边形ABCO是平行四边形，

AD//CE,

••・Z.DAF=乙EBF,

•・,乙AFD=(EFB,AF=FB,

•••△AFDwzkBFE(ASa),

:.AD=EB,

-AD//EB,

・•・四边形4EBD是平行四边形,

•・•BD=AD,

••・四边形AEBD是菱形.

:.AE=BD=yT1^,AB1DE,AF=FB=1,EF=EBC

DF,

•••EF=VAE2-AF2=3，

DE=9,

"S^AEBD=1-^B-DE=|X2X9=9.

【解析】(1)由△AFD三ABFE,推出ZD=BE,可知四边形AEBD是平行四边形，再根据8。=4。

可得结论；

(2)利用勾股定理求出EF的长即可解决问题；

本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

22.【答案】(1)证明：・••四边形ABCC为正方形，

■■AD=CD,Z.ADF=/.CDF=45°,AD//BC,

•・,DF=DF,

•••△4DFwaCDF(S4S),

・•・Z.DAF=乙DCF,

-AD//BC,

・•・(E=Z.DAF,

:.Z.E=乙DCF,

•・•Z.CFG=乙EFC,

CFG~AEFC,

:、—FC=—FG.

FEFC

・・・FC2=FG•FE；

(2)解：存在点E,使得△CFG是等腰三角形,

①当点E在BC延长线上时，设上凡4D=x,

由（1）知，Z.E=Z,DAF=Z.DCF=%,

当△CFG是等腰三角形时，

v乙FGC=Z-DAG+乙ADG=Z-DAG+90°>90°,

••・乙GFC=乙GCF=x,

・•・Z.AGD=Z-GFC+Z-GCF=2x,

:.Z-DAG+Z-AGD=3%=90°,

・•・x=30°,

在中，Z-E=x=30°,AB=8,

・・・AE=2AB=16,

・•・BE=VAE2-AB2=80；

②当点E在8c上时，设乙4G0=y,

当△CFG是等腰三角形时，

•・・乙GCF=Z.BCF+乙BCG=Z-BCF+90°>90°,

・•・Z-GFC=Z.CGF=y,

Z.FCD=Z-GFC+Z.CGF=2y,

由(1)知，&ADF三2CDF,

・•・Z.FAD=Z.FCD=2y,

•・.Z.DAF+Z.AGD=3y=90°,

・•・y=30°,

;四边形4BCD为正方形，

:・AB"DC,

:.2LBAE=Z.AGD==30°

在Rt△48E中，AB=8,

・•・AE=2BE,

・•・BE2=(28E)2-45，

222

ABE=4BF-8,

・•.BE咛

综上，BE的长为8C或手.

【解析】(1)先证明△4。尸三△CO尸(S4S),则4。月尸=4。。尸，根据正方形的性质得4O〃BC,可

得M=^DAF=乙DCF,再证△CFG八EFC,根据相似三角形的性质即可得出结论；

(2)分两种情况：①当点E在BC延长线上时，②当点E在BC上时，根据等腰三角形的性质以及直

角三角形的性质即可求解.

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直

角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

23.【答案】解：(1)连接BC,如图：

•••E为AC的中点，

•••E(-2,3),

k=-2x3=—6,

把x=-4代入y=得：y=|>

3

•・・4(-4,3),8(—4,0),

F是AB的中点，

...EF是△ABC的中位线，

EF//BC,EF

〃,口k

将y=3代入y=嚏得：X=子

k/口k

将％=—4代入y=4得，y=一不

kk+12+4=

...AF=3+z=F-，AE-3十3

AFk+12AE_k+1

=AC-3

AF_竺

而=而

ABC,

・•.LAFE=/-ABC,

・・.EF//BC,

A,D关于EF对称，

・・・ADLEF,

:.AD1BC,

...0在过A且与BC垂直的直线上;

①^CDE的周长有最小值，

如图:

.•.当CD1AD时，CD取最小值，CACDE也取最小值，

此时，点。在BC上，

v4CAD=90°-UCB=/.ABC,Z.ADC=90°=I.BAC,

*'•△ACD~4BCAf

.”二£2nn4£2

**BCs''与=-4'

解得CO=y,

CDE的周长的最小值为9+4=y；

②当D'在x轴上时，如图：

AD1BC,

乙BAD'=90°-/.CAD'=UCB,

•••4ABD'=90°=^BAC,

*'•△ABD'sACAB>

AB_BDr即3_BD'

CA-~ABf'4~~

BD'=3,

4

•R(-，0)，

由4(-4,3),。(一£0)可得直线力。解析式为y=

当CD