2022年广东省湛江市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022年广东省湛江市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.函数y_cos&_sin—Cr£R)的最小正周期是()

A.K/2B.TTC.2nD.4?r

2.若U={x|x=k,k£Z},S={x|x=2k,k£Z},T={x|x=2k+l,k£Z},则

A.S=CuTB.SUT初C.SUTD.SnT

设集合知=|‘以a-3|,'=以以毛1|,则"6'=()

(A)R(B)(-*,-3]u[l,+«)

3(C)[-3,1](D)0

向量。=（0」,0）与b=（-3,2,4）的夹角的余弦值为（）

（A）&#（B）亨

c

4（）y（D）o

5.

在一张纸上有5个白色的点，7个红色的点，其中没有3个点在同一条

直线上，由不同颜色的两个点所连直线的条数为（）

A.叱-P；-代

B.C：+（

cC•c；

D.W+W)

(13)巳知向量。小於足I-3,1il言4,且。和b的夹角为120・，则。・。■

6.(A)6。(B)-64(C)6(D)-6

7已知函数/(2x)=b&-子,则/(3)等于()

A1

A.A.A-7

B.l

C.2

n.,'(log.111)

8.

已知椭圆石l和双曲线在一号=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为

A.V与x/4

B.-V3x/4

C.'AX/2

D.y=±6x/4

9.已知f(x+l)=XA2-4，则f(x-l)=()

A.A.xA2-4xB.xA2-4C.xA2+4xD.xA2

10.设甲：a>0且b>0；乙：ab>0,则甲是乙的（）

A.A.充分条件，但非必要条件B.必要条件，但非充分条件C.既非充分

条件，也非必要条件D.充分必要条件

11.

第14题曲线|x|+|y|=l所围成的正方形的面积为（）

A.2B.屐

C.1D.4左

12.

下列函数中，为奇函数的是（）

A.y=-x3

B.y=x3-2

C?=（7）,

D.=log（!）

13.已知।=5."l=2.a-b=-54，则。与b的夹角>等于（）

A.A.rt/3B.27T/3C.3n/4D.5n/6

14.设集合乂={1,2,4）,N={2,3,5）,则集合MUN=（）

A.A.{2}B.{1,2,3,4,5}C.{3,5}D.{1,4}

15.圆柱的轴截面面积等于10,体积为5兀，它的母线长和侧面积分别是

（）

A.5和lOnB.57r和10C.5和257rD.10和10n

16.设甲：x=l：乙：X2+2X-3=0()

A.A.甲是乙的必要桑件但不窟乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件

C.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

17.

已知*b为任意正实数，则下列等式中恒成立的是（）

A.ab=ba

B.”=2。+2’

D.”'=六

不等式等二1>1的解集是

2-x)

(A)I*I-j-x<2|

4

3

(B)|xl+wxW2

4

(C)|xIx>2或xW?1

4

18.<D)xIx<2|

19.8名选手在有8条跑道的运动场进行百米赛跑，其中有2名中国选

手.按随机抽签方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道的概

率为0

A.l/2B.l/4C.l/8D.1/16

20.下列函数的周期是兀的是

fix'）=cos22x-sin22x

B.F(x)=2sin4x

C.F(x)=sinxcosx

D.F(x)=4sinx

21.已知平面向量a=(l,1),b=(l,4),则两向量的夹角为()o

A三

3B.f

D.f

..4

22.已知定义在［2,兀］上的函数f(x)=logax的最大值比最小值大1,则

«=()

A.A.n/2B.2/nC.2或nD.n/2或2/n

23.

(5)设3=------7Z-.1是虚数单位，则aif；-等于

I中gi

⑻?(B)—■(C)—(D)与

J?B-7

24.

函数y=sinx+coax的导数是)

(A)ainx-coax(B)co&x-sinx

(C)sinz♦cosx(D)-sinx-cosx

25.一个科研小组共有8名科研人员，其中有3名女性.从中选出3人参

加学术讨论会，选出的人必须有男有女，则有不同选法()

A.56种B.45种C.10种D.6种

26.过M(3,2),且与向量a=(-4,2)垂直的直线方程为()

A.A.2x+y-4=0B.2x-y+4=0C.2x-y-4=0D.2x+y+4=0

27.函数y=cos4x的最小正周期为()

B.4

C.7T

D.2n

一次函数y=3-2工的图像不经过

（A）第一象限（B）第二象限

2&第三象限（D）第四象限

j2

29已招梅圜=I的焦点在)轴上,则m的取值范用是

A.A.m<2或m>3

B.2<m<3

C.m>3

D.rn>?11<<in<2

30.在△ABC中，已知AB=5,AC=3,ZA=120°,则BC长为()

A.7

B.6

C.C.72C

D.D./19

二、填空题（20题）

31.各梭长都为2的正四校锥的体积为

32.若三角形三边之比为2:3:4,则此三角形的最小角为弧度.

33.函数〃X)=2X'-3X2+1的极大值为

34.若a=(l-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是________.

35.直线3X+4y-12=0与X轴、Y轴分别交于A,B两点，。为坐标原

点，则△OAB的周长为.

36.已知正方体的内切球的球面面积是s,那么这一正方体外接球的球

面面积是.

37.若a=(1-t,1-t,t)，b=(2,t,t)，则|b-a|的最小值是

设高散型随机变量X的分布列为

X-2-102

P0.20.10.40.3

38.则期望值£（X）=

39.已知向倭。，瓦若lai=2,Ibl=3.a|b=3Q.则Vo,b>=

40.过点(2」)且与直线y=x+1垂直的直线的方程为______­

41.如果2<a<4,那么（a-2）（Q-4）0.

42.

某次测试中5位同学的成绩分别为79,81,85,75,80,则他们成绩的平均数为

43.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下（单位：h）:

245256247255249260

则该样本的样本方差为———（保留小数点后一位）.

44.若不等式x2-ax-b<;0的解集是{x|2<;x<;3},则a+b=

45.

从生产一批袋装牛肉松中随机抽取10袋测得重量如下，（单位：克）

76908486818786828583则样本方差等于

已知双曲线，=1的离心率为2,则它的两条渐近线所夹的锐角

46.为----'

47.5名同学排成一排，甲乙两人必须相邻的不同排法有——种.

48.直线3x+4y-12=0与x轴，y轴分别交于A,B两点，。为坐标原

点，则aOAB的周长为

49.如图，在正方体ABCD-AiBiCDi中，直线BC1和平面ABCD所成

角的大小为__________

50.椭圆的中心在原点，-个顶点和一个焦点分别是直线x+3y-6=0与两坐

标轴的交点，则此椭圆的标准方程为.

三、简答题(10题)

(23)(本小题满分12分)

设函数/(z)=『-"2+3.

(I)求曲线-lx?+3在点(2,11)处的切线方程；

5(II)求函数/(x)的单调区间.

52.(本小题满分12分)

椭圆2x2+y2=98内有一点A(-5,0),在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

53.

(本小题满分12分)

已知数列la.l中..=ya..

(I)求数列la.l的通项公式；

(U)若数列山的前n项的和Z=1|，求"的值.

(25)(本小题满分13分)

已知抛物线>2=会，。为坐标原点,F为抛物线的焦点.

(I)求10矽的值；

(n)求抛物线上点P的坐标,使△。尸P的面积为十.

54.

55.

(本小题满分12分)

已知等差数列la」中,％=9,a,+«.=0.

(1)求数列｛a.|的通项公式•

(2)当n为何值时.数列的前"质和S.取得鼓大值，并求出该最大值•

56.

(本小题满分12分)

在包%+1)7的展开式中,%3的系数是％2的系数与Z4的系数的等差中项,

若实数a>l,求a的值.

57.

(本小题满分12分)

已知参数方程

'x=-(e1+e'')co»d,

y=y(e*-e")sinft

(1)若，为不等于零的常量，方程表示什么曲线？

(2)若叭®dy,*eN.)为常量.方程表示什么曲线?

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

58.

(本题满分13分)

求以曲线26+/-4x-10=0和，=2*-2的交点与原点的连线为渐近线,且实

轴在.'t轴匕实轴长为12的双曲线的方程.

59.(本小题满分13分)

从地面上A点处测山顶的仰角为明沿A至山底直线前行a米到B点

处，又测得山顶的仰角为0,求山高.

60.(本小题满分12分)

设一次函数f(x)满足条件2/(l)+3f(2)=3且2/(-l)-f(0)=-1,求f(x)的

解析式.

四、解答题(10题)

设数列I。1满足5=2,Q.“=3a.-2(n为正整数).

⑴求一j

a.-1

(2)求数列Ia.的通项.

ol.

62.已知六棱锥的高和底的边长都等于a

I.求它的对角面(过不相邻的两条侧棱的截面)的面积、全面积和体

积

II.求它的侧棱和底面所成的角，侧面和底面所成的角

63.在aABC中，A=30°,AB=内，BC=1.

(I)求C；

(11)求448©的面积.

64.已知椭圆x?/a2+y2/b2=l和圆x?+y2=a2+b2,M、N为圆与坐标轴的交

点，求证：圆的弦MN是椭圆的切线.

已知等差数列la.I中,5=9,/+a,=0.

(1)求数列H.I的通项公式；

65.(2)当“为何值时，数列|a.I的前n项和S.取得最大值，并求该最大值.

66.建筑一个容积为8(M)0m3,深为6m的长方体蓄水池，池壁每m?的

造价为15元,池底每m?的造价为30元。(I)把总造价y(元)表

示为长x(m)的函数(II)求函数的定义域。

67.设函数f(x)是一次函数，f(8)=15,且f(2),f(5),f(14)成等比数列.

(I)求f(x);

(II)求f(l)+f(2)+...+f(50).

已知数列储力的前"项和S“=I-2”.求

(IXaJ的前三项；

心(D)储」的通项公式.

OO.

69.设直角三角形的三边为a、b、c,内切圆直径为2r,外接圆直径为

2R,若a、b、c成等差数列，

求证：(I)内切圆的半径等于公差

(II)2r、a、b、2R也成等差数列。

70.海关缉私船在A处发现一只走私船在它的北偏东54。的方向，相距

15海里的B处向正北方向行驶，若缉私船的时速是走私船时速的2倍，

(I)向缉私船应取什么方向前进才能追上走私船；

(II)此时走私船已行驶了多少海里.

北r

勿

东

五、单选题(2题)

71.设函数f(x)=x2-l,则f(x+2)=()

A.x2+4x+5B.x2+4x+3C.x2+2x+5D.x2+2x+3

72.设全集U={x|2<x<20,xGZ},M={4的倍数},N={3的倍数},MU

N=

A.{3,4,6,8,9,12,15,16,18,20}

B.{3}

C.{x|2<x<20}

D.{3,5,7,11,13,17,19}

六、单选题(1题)

某人打靶的命中率为0.8,现射击5次,那么恰有两次击中的概率为()

(A)0.8J(B)0.82x0.23

73(C)C；0.81x0.2'(D)C1O.83xO.21

参考答案

l.B

求三角函数的周期，先将函数化简成正弦、余弦型再求周期.

cos4X-sin1x=(cos2x+sin?x)(cos2x-sin2x)

=cos2x■

3=2,；・T=n.

2.A

注意区分子集、真子集的符号。因为U为实数集，S为偶数集，T为

奇数集，所以T(奇数集)在实数集U中的补集是偶数集S

3.C

4.C

5.C

6.D

7.B

令笈=3,得I二9代人原式制/（3>=lo&&2=1.（答案为B）

8.D

D【解析】根据也慧,对于加OS昌+占=1有

of・3加，•，003则/■»«,—〃,3m1—5/1对

于双曲线石一方=】有a'=2m'."-3n».则

1・。'+y・2m‘+3/■故3m?-5n|=2小'+3nl.

即病=8*又双曲我的渐近线方程为y=士熟.故所求方程为尸士号工

9.A

1O.A

由甲=>乙,但乙冷甲.例如；a=—1,6=-2时.ER是乙的充分非必要条件.（答案为A）

11.A

12.A

13.D

14.B

MUN={1,2,4}U{2,3,5}={1,2,3,4,5）.（答案为B）

15.A

求母线的长，可从圆柱的截面积中求出.如图，S截面=2rxL=10,rL=5

①丫=九产＞1=5兀—r?L=5②②/①=r2L/rL=l—r=l.,..L=5,S到

=27rrxL=27rxIx5=107r.

16.B

17.D

18.A

19.B

B【解析】总样本为A：种.2名中国选手相邻

为A；A：种.所以所求概率为/>=警=：.

A,4

20.C

求三角函数的周期时，一般应将函数转化为

y=Asin(3/+g)或y=Acos((or+中)型•

然后利用正弦、余弦型的周期公式丁=等［求解.

A./(«r)=cos”1—sin22x=cos(2X2x)=cos4x♦

T=2L

/2・

B,/(x)=2sin4x,T=^p="1-'

127t

C,/(1)=sinxcosjr=至5m2],T=2=次・

D,/(N)=4sinar,7=j=2式・

21.C

该小题主要考查的知识点为向量的数量积的性质.【考试指导】

cos〈*b〉=U：%T=onw.

22.D

23.B

24.B

25.B

由题意，共有3女5男，按要求可选的情况有：1女2男，2女1男，

故K.本题是组合应用题.考生应分清本题无顺序要求，两

种情况的计算结果用加法（分类用加法）.

26.C

设PCr.y）为所求真线上任-A.MP=CJ—3.y-2）,

因为茄。，所以有才・。LlW1Q3）+2（＞一2）=0,

则所求ff线方程为21V-4=0.（答案为C）

27.A

T------

函数y=-cos4x的最小正周期•42.

28.C

29.D

30.A

在ZVIBC中，由余弦定理有

AB1-AC2AH•AC•=f-3：-2X5X3Xcosl20°=25+9+15=49

则有BC=7.(若案为A)

3俨

32.arccos7/8设三边分别为2h、3h、4h（如图），由余弦定理知

(2h)2=(3h)2+(4h)2-2x3hx4hcosa,cosa=7/8,即a=arccos7/8.

4h

33.

34.

o/F

-【解析】b0=（1+/.2/—LO）.

br."l+fH+LDN+O2

=/5?-2r-F2

=J5（T），+"1》挈.

35.

36.

设正方体的棱长为a，因为正方体的校长等于正方体的内切球的直径.

所以有4丁隐,=5.即/=?.

因为正方体的大对角线岛等于正方体的外接球的直役，

所以正方体的外接球的球面面积为（华，=3m：=3n，+7S.（答案为3S）

37.

平【解析】b-fl=（l+t,2/-1.0）.

b-a■*y（14-r）!+（2t-l）:+0J

=/5?-2z+2

=J5（L卷）'+告〉挈.

【考点指要】本题考查空间向量的坐标运算及模的相关知识.

38.0"

39.

由于8sVQ.b>n普%广建=苧.所以Va.b>=f.（答案为由

40.">-3=0

41.

<

42.

【答案】80

【解析】该小题主要考查的知识点为平均数.

【考试指导】成绩的平均数=（79+81+85+75+80）/5=80

43.

7=252,?=28.7（使用科学计算器计算）.（卷案为28.7）

44.-1

由已知，2,3应为方程x2-ax-b=0的两个根.根据根与系数的关系，

2+3=a,2x3=-b,即

a=5,b=-6,a+b=-l.

【解题指要】本题主要考查一元二次不等式及一元二次方程的知识.

45.

46.60

47.

P!•丹=24X2=48.（答案为48）

48.

12【解析】令y=0.得A点坐标为（4.0）；令

工=0.得B点坐标为（0.3）.由此得AB|一

,所以△QAB的同长为3+4+5=12

49.45°

由于©6，面ABCD,所以GB在面ABCD中的射影即为BC.ZCiBC

即为所求的角.

【解题指要】本题考查直线和平面所成角的概念.

50.x2/40+y2/4=l或y2/40+x2/36=l原直线方程可化为x/6+y/2=l,交点（6,0）,

（0,2）.当点（6,0）是椭圆一个焦点，点（0,2）是椭圆一个顶点时，c=6,b=2,

a2=40->x2/40+y2/4=l当点（0,2）是椭圆一个焦点，（6,0）是椭圆一个顶点时，

c=2,b=6,a2=40^y2/40+x2/36=l

（23）解：（I）］（4）=4?-4z,

sr八2）=24,

所求切线方程为y-11=24（x-2）,EP24x-y-37=0.……6分

（口）令/（工）=0.解得

*1=-1,X2=O,Xj=1.

当X变化时/（X）/（X）的变化情况如下表：

X(-8,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+«)

r（x）-0♦0-0

A*)2Z32Z

人了）的单调增区间为（-1.0）,（1,+8）,单调减区间为（-8,-1）,（0,

1）.……12分

52.解

设点8的坐标为（斫.），则

\AB\=占+5尸+yj①

因为点B在椭08上,所以2x,J+y/=98

y,1=98-2X,1②

格②代人①，得

MJ3I-y（x,+5）3+98-2X,1

=，-（*/—10x（+25）+148

=y-（x,-5）J+148

因为-（W-S）'wo.

所以当X,=5时.・3-5）’的值最大.

故"川也最大

当孙=5时,由②.得y尸±4百

所以点8的坐标为（5.4⑶或⑸-44）时IA8I最大

53.

（I）由已知得a.«°・与:=/，

所以|a.1是以2为首项，上为公比的等比数列，

所以a.=2（/j.即4=/

zn\rHPJtainT®^2"<2）.|所以

（U）由已知可得证=——一］防以（2）\2）

1"7

12分

解得n=6.

(25)解：(I)由已知得仪之,0),

o

所以IOFI=J.

8

(n)设P点的横坐标为人(x>o)

则p点的纵坐标为后或-腾，

△。尸。的面积为

\\［7\

7X8*XV2=7*

解得z=32,

54.故P点坐标为(32,4)或(32,-4).

55.

(I)设等比数列位」的公差为人由已知%+%H0,得2a,+9d=0.

又已知%=9,所以d=-2.

得数列Iaj的通项公式为a.=9-2(n-1),即%=11-2m

(2)M|a.|的前n项和S.=g(9+ll-2n)=+10n=-(n-5)2+25.

则当n=5时.S”取得最大值为25.

由于(ax+1)7=(1+ax)7.

可见.履开式中的系数分别为C：a‘，C；a\Cja4.

由巳知.2Ca'=C；a：+C；J

.hc7x6x57x67x6x52<3［八上.n

又xa>lt.则2x3Kt,°=,+J72-n,5a-10a+3=0.

56.解之用。=红［^由。>I,卷a=g^+l.

57.

(1)因为“0,所以e'+eT»*O,e'-e-yo.因此原方程可化为

-cwe①

e+e

丁%=siM②

,e-e

这里0为参数.①1+②1,消去参数8.得

J12

4x4y*,„nxy,

+/_,*=I.即/j二丁¥+厂产K=1•

(e+e)(e-e)(e+e)(e'-e")

4―7―

所以方程表示的曲线是椭网.

(2)由“”入N.知Z"0.sin'"0.而r为参数，原方程可化为

［占=e，e\①

CfW

%=e'-e，②

Ism。

ay-②1.得

±t-44=(e'+e-*)，-(e，-e-')2.

cos。sin0

因为2e<e<=2/=2,所以方程化简为

急一3L

因此方程所表示的曲线是双曲线.

(3)证由(I)知，在椭圆方程中记工〃=.丁);

则c'=1-6,=1,c=1，所以焦点坐标为(±1.0).

由(2)知，在双曲线方程中记J=88%.M=sin、.

'则J=a'+b、l,c=l.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(1)与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

58.

本题主要考查双曲线方程及综合解跑能力

(2x2-4x-10=0

根据鹿意,先解方程组｛/.」

fx=3

4=3J.I、

(y=2,[y=-2

先分别把这两点和原点连接.得到两条直线7=1~«

这两个方程也可以写成竟=。

所以以这两条直线为渐近线的双曲线方程为=o

由于已知双曲线的实轴长为12.于是有

%=6'

所以*=4

所求双曲线方程为台-3=1

59.解

设山高C〃=x则Ri△仞C中.AP=xcota.

RtABDC中.BD=xcdfi.

图为ABAD-HD.所以asxcota7co嗜所以x=---------

cota-cot/3

答:山离为;米.

oota-cotp

60.

设〃z)的解析式为/(N)=3+b.

依题意傅疗"片:弋0解方程组出=抖=$

12(-04-6)-6s-1,99

二〃口=於一/.

解⑴4.1=34-2

4.1-1=3a,-3=3(4-1)

.-.^41=3

a.-1

(2)|a.-II的公比为g=3,为等比数列

Aa.=9-'=3-'

61a.=3*T+1

62.I.设正六棱锥为S-ABCDEF,SO为高，SK为面SEF的斜高，连

接AC、AD,ASACASAD

是对角面，AD=2a.AC=2AB・sin60'=煦a,

SA=SC=々＞+4(7=辰.

(IJSASAD^O2-

*展

△SAC的高八二三。，

2

n.因为SO_LAO,50_1庆0所以/5人0=45。因为50_1底面，SK±

EF,EF?OK±EF所以NSKO是面SEF与底面所成的二面角的平面

角

tan/SKO=四=q=2畲

OK733,

Ta

、NSKO=arctan

3•

63.

(I)由正弦定理得再=券.

sinAsinC

即W-=具,解得sinC=噂，

1sinC2

故C=60°或120*.

/n、小人才白加他AAB1+AC1-BC23+AC2-1A

(Il)由余弦定理得cosA=------z-rg~~彳------------.....=V.

2AB•AC273AC2

解得AC=1或AC=2.

当AC=1时，S^ABC=--AB•AC•sinA

=yX73XlXy

=鱼

4

当AC=2时,S3=yAB•AC•sinA

=yXV3X2X-1-

=囱

2•

64.

•；M、N为回与唯标"的交点.不妨JkM、N在ye轴的正方向.

.*.M(0,々+丛/N(，0》.

由直线的微卧式可知.弦MN的方程为，

__：_+」，.1

直线方程与■■方程联立fll

I

可得Q'+y〉y-2/-4rB*+/・<),

面△=(2"'//4y>-4(r+”)一=0.

可知二次方程IT两个相等女根•因因MN是■■的切tt.

同鹿•可让其他3料情况弦MN仍是■■的切纹.

解(1)设等差数列I。」的公差为人由已知的+%=0,得

2a,+9d=0.又已知％=9.所以d=-2.

数列I。」的通项公式为a.=9-2(n-l).即a.：

(2)数列|a.1的前n项和

S.=y(9+l-2n)=-nI2+10n=-(n-5)2+25.

65.