2022-2023学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知2x=羊0）,则下列比例式成立的是（）

AX_3X_yx_2y=3

A.彳__B.3_TC._—TD.~

2y32y3x2

2.反比例函数y=?经过经过下面哪一个点（）

A.(4,-3)B.(-2,-6)C.(2,-6)D.(1,-12)

3.如图，在△48C中，4c=90。，AC=3,BC=4,则tcuM的值A

4.二次函数y=-3（x+l）2-7得顶点坐标是（

A.(1,7)B.(1,-7)C.(-1,7)D.(-1,-7)

反比例函数y=5的图象经过点（—2,1）,则下列说法错误的是（

A.fc=-2B.函数图象分布在第二、四象限

C.当x>0时，y随x的增大而增大D.当x<0时，y随x的增大而减小

6.如图，若4B是。。的直径，CC是。。的弦，^ABD=50°,则4BCD

的度数为（）（

A.40°~^-7

B.50°C.

C.35°

D.55°

7.若两个相似三角形的面积比是1：9,则它们对应边的中线之比为（）

A.1：9B.3：1C.1：3D.1：81

8.如图所示，若AZMC〜△ABC,则需满足（）A

CDB

A.CD2AD-DB

B.AC2=BC•CD

CACAB

C.—=—

CDBC

CD__BC_

'DA~AC

9.下列关于抛物线?=然+2刀-3的说法正确的是

①开口方向向上：

②对称轴是直线x=-2；

③当》<-1时，y随x的增大而减小；

④当x<-1或x>3时，y>0.（）

A.①③B.①④C.①③④D.①②③④

10.如图，AACB中，CA=CB=4,44cB=90。，点P为CA上的A

动点，连BP,过点4作AM_LBP于M.当点P从点C运动到点4时，线A

段BM的中点N运动的路径长为（）

B.1^兀

C.y/~3n

D.27r

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.已知锐角a满足cosa=；,则锐角a的度数是度.

12.如图，。。的内接四边形4BCD中，ND=50。，则NB的度数为.D

13.将抛物线y=%2向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解

析式为.

14.如图是反比例函数y=|和y=g(k>3)在第一象限的

图象，直线轴，并分别交两条双曲线于AB两点，若

S^AOB~%则k=----------

15.如图，48是。。的切线，B为切点，。4与。0交于点C,以点4为圆心、以0C的长为半

径作京，分别交AB,AC于点E,艮若0C=2,AB=4,则图中阴影部分的面积为.

16.如图，已知抛物线y=gx2-3%与直线y=2x交于。，A两点.点B是个

抛物线上0,4之间的一个动点，过点B分别作两条坐标轴的平行线，与直

线。4交于点C,E,以BC,BE为边构造矩形BCDE,设点。的坐标为(m,n),

则小关于n的函数关系式是.

三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)

17.计算：tan45°—sin30°cos60°—cos245°.

四、解答题(本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题6.0分)

已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,2)和(1,5).

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求这个二次函数图象的顶点坐标.

19.(本小题6.0分)

如图，在△4BC中，BC=8,AC=4,。是BC边上和点，CO=2.求证：AB=2AD.

20.（本小题8.0分）

如图所示的拱桥，用⑪表示桥拱.

（1）若触所在圆的圆心为。，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心0.（不写

作法，但要保留作图

痕迹）

（2）若拱桥的跨度（弦4B的长）为16巾,拱高（⑪的中点到弦力B的距离）为4m,求拱桥的半径R.

21.（本小题8.0分）

无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一

块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135nl的4处测得试验田右侧边界N处俯角为43。,

无人机垂直下降40nl至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35。，求MN的长.

（参考数据:tan43°«0.9,sin43°»0.7,cos35°«0.8,tan35°»0.7,结果保留整数）

22.（本小题8.0分）

某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球

每天的销售量y（个）与销售单价％（元）有如下关系：y=-2x+80（20<x<40）,设这种健身

球每天的销售利润为W元

(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；

(2)求w与x之间的函数关系式；

(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

23.(本小题10.0分)

如图，4B为。0的直径，DE切于点E,BD1DE于点D,交。。于点C,连接BE.

⑴求证：BE平分“BC；

(2)若4B=10,BC=6,求CD的长.

24.(本小题10.0分)

已知4(一4,2)、B(n,-4)两点是一次函数、=kx+b和反比例函数y=三的图象的两个交点，点

P的坐标为(p,0).

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)求AAOB的面积.

(3)观察图象，直接写出不等式h+6-9>0的解集；

(4)若44BP是以AB为直角边的直角三角形时，请直接写出p的值.

25.(本小题12.0分)

【问题呈现】

如图1,△ABC和△4DE都是等边三角形，连接BD,CE.易知味=______.

CE

【类比探究】

如图2,AABC和△4CE都是等腰直角三角形，N4BC=N4DE=90。.连接BD,CE.则空=

【拓展提升】

如图3,△力BC和AADE都是直角三角形，乙4BC=乙4DE=90。，且箓=禁=*,连接BD,

CE.

图1图2图3

(1)求号的值；

(2)延长CE交BD于点F,交4B于点G.求sin/BFC的值.

26.(本小题12.0分)

若二次函数y=a/+bx+c的图象经过点4(-2,0),8(0,-4),其对称轴为直线x=1,与x轴

的另一交点为C.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点M在直线4B上，且在第四象限，过点M作MNLx轴于点N.

①若点N在线段OC上，且MN=3NC,求点M的坐标；

②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧)，当点P在抛物线上时，求点M的坐标.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根据等式性质2,可判断出只有B选项正确.

故选:B.

根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决.

本题考查的是等式的性质：

等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；

等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等.

2.【答案】B

【解析】解：当X=4时，y=¥=3,

故4选项不符合题意；

当无——2时，y=3=-6,

故8选项符合题意；

当x=2时，y=y=6,

故C选项不符合题意；

当x=l时，y=Y=12,

故。选项不符合题意；

故选：B.

将横坐标分别代入函数解析式求出纵坐标，进一步比较即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的

关键.

3.【答案】D

【解析】解：•••AC=3,BC=4,4c=90。，

故选：D.

根据锐角三角函数的定义得出ta加4=益，再代入求出答案即可.

AC

本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：・.•二次函数解析式为：y=-3(X+1)2—7,

二顶点坐标(-1,-7),

故选：D.

根据二次函数解析式的顶点式，即可直接求得.

本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，顶点式y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k).

5.【答案】D

【解析】解一•反比例函数y=g的图象经过点(-2,1),

:.k=-2x1=-2.

故A正确；

vk=-2<0,

・•・双曲线y=-：分布在第二、四象限，

故8选项正确；

•.当k=-2<0时，反比例函数y=在每一个象限内y随x的增大而增大，

即当x>0或x<0时，y随x的增大而增大.

故C选项正确，。选项错误，

综上，说法错误的是D,

故选：D.

利用待定系数法求得k的值，再利用反比例函数图象的性质对每个选项进行逐一判断即可.

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，反比例函数

图象的性质.利用待定系数法求得k的值是解题的关键.

6.【答案】a

D

［解析］解：―O/lB

vZcF

如图，连接AC,

为直径，

4ACB=90°,

vZ.ABD=50°,

•••AACD=乙ABD=50°,

•••乙BCD=Z.ACB-Z.ACD=90°-50°=40°,

故选：A.

连接4C,由圆周角定理可求得N4CB=90。，^ACD=^ABD,则可求得答案.

本题主要考查圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角、同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等

是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：••・两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，

两个相似三角形的面积之比为1：9,

二它们对应边上的中线之比为1：3.

故选：C.

根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方.

本题主要考查了相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平

方，开平方是解题关键.

8.【答案】B

【解析】解：由可得CD：AD=BD-.CD,由此得不出结论；

由4c2=CD,可得AC：BC=CD-.AC,

•••Z.C—/.C,

：.j\ABC-^DAC,故B选项正确；

由需=桨得不出结论；

CDDC

由照=器及NB4C=4>DC=90。可得结论，但题目中未提及.

故选:B.

根据相似三角形的判定定理依次判断即可.

本题主要考查相似三角形的性质和判定，熟知相关判定定理是解题关键.

9.【答案】a

【解析】解：•.•抛物线y=M+2x-3=(x+I/-4,

a=1,该抛物线开口向上，故①正确；

其图象的对称轴是直线x=-l,故②错误；

当<一1,y随X的增大而减小，故③正确；

y=x2+2x-3=(x+3)(x-1),

••・抛物线与x轴的交点为(―3,0)(1,0)，

••・抛物线开口向上，

二当x<-3或无>1时，y>0,故④错误；

故选：A.

根据题目中抛物线y=/+2x-3=(x+1)2—4和二次函数的性质，图象与x轴的交点可以判断

各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题.

本题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性

质解答.

10.【答案】A

【解析】解：设AB的中点为Q,连接NQ,如图所示：工

••・N为BM的中点，Q为48的中点，/

NQ为XB4M的中位线，\

AQN1BN,

：.乙QNB=90°,

.・•点N的路径是以QB的中点。为圆心，长为半径的圆交CB于0的矽,

vCA=CB=4,Z.ACB=90°,

AB=\T2CA=4/7.“BD=45°,

/.DOQ=90°,

⑥为OO的加长,

••・线段的中点N运动的路径长为：%；产=£2

1802

故选：A.

设AB的中点为Q,连接NQ,易证NQ为ABAM的中位线，由力MJ.BP,得出QNLBN,即/QNB=

90°,则点N的路径是以QB的中点。为圆心，AB长的上为半径的⑪，由等腰直角三角形的性质得出

AB=y/~2CA=4<2，^QBD=45°,由圆周角定理得出4DOQ=90。，则⑥为。。的;周长，即

可得出结果.

本题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、圆弧的计算等知

识；通过三角形中位线，判断出点N的运动路径是解题的关键.

11.【答案】60

【解析】【分析】

本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

根据特殊角三角函数值，可得答案.

【解答】解：由锐角a满足cosa=E，则锐角a的度数是60度，

故答案为60.

12.【答案】130°

【解析】解：•.•四边形4BC0是。。的内接四边形，

/.D+Z.B=180°,

•••4。=50°,

乙B=180°-50°=130°,

故答案为：130。.

根据圆内接四边形的对角互补计算即可.

本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

13.【答案】y=(x+2)2-3

【解析】解：将抛物线y=/向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线

的解析式为：y=(%+2)2—3.

故答案为：y=(x+2)2-3.

根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

14.【答案】11

【解析】解：如图，设直线ZB与y轴交于点C,

由反比例函数比例系数k的几何意义可知,

SABOC=2%

SAAOC=2'

ShBOC-S»AOC=SfOB=4,

13

f-4

2-c-2-

・•・k=11.

故答案为：11.

应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示4B0C、△AOC的面积，利用SABOC-S.oc=SAAOB

构造方程即可.

本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程.

15.【答案】4-TT

【解析】【分析】

连接。8,根据切线的性质可得N0B4=90。，从而可得48。4+=90。，根据题意可得。8=

OC=AE=AF=2,然后利用阴影部分的面积=△AOB的面积一（扇形BOC的面积+扇形EA尸的面

积），进行计算即可解答.

本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面积的计算是解题的

关键.

【解答】

解：连接OB,

E

・・・48是。。的切线，B为切点,

・・・/,OBA=90°,

・•・Z-BOA+4力=90°,

由题意得：

OB=OC=AE=AF=2,

••・阴影部分的面积5/lOB的面积-(扇形BOC的面积+扇形EAF的面积)

1907rx2?

=2AB0B―一360-

X4x2-71

=4—7T,

故答案为：4—71.

16.【答案】m=-^n2-^n

1O4

【解析】解：如图，•・•直线OA的解析式为：y=2x,点。的坐标为(巾,九),

，点E的坐标为0&九)，点。的坐标为(m,2m),

.•.点B的坐标为弓耳2zn),

把点B(gn,2m)代入y=^x2—3x,可得m=^n2—1n>

二m、n之间的关系式为m=白小—"，

ID4

故答案为：？n=白/一

io4

根据点。的坐标，可得出点E的坐标，点C的坐标，继而确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线

解析式可求出m,ri之间的关系式.

本题考查了二次函数综合题，需要掌握矩形的性质、二次函数图象上点的坐标特征的知识，解答

本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系.

17.【答案】解：原式=1—2义：一(殍)2

42

_1

-4,

【解析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可.

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关健.

18.【答案】解：(1)由题意得

解这个方程组得｛，;消，

所以所求二次函数的解析式是y=X2-6X+10；

(2)y=x2-6x+10=(x-3)2+l,

所以顶点坐标是(3,1).

【解析】(1)利用待定系数法确定二次函数的解析式；

(2)把(1)中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴.

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式.在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据

题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当己知抛物线上三

点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，

常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来

求解.

19.【答案】证明：•.・BC=8,AC=4,CD=2,

:.—AC=—4=cz,B—e=—8=Nc,

DC2AC4

tAC_B£

'~DC=ACf

又「Z.ACD=乙BCA,

*'.△BCAi

ABACc

:.—=—=2,

ADDC

・•・AB=2AD.

【解析】根据两边成比例，夹角相等，证明△4COSABC4根据相似三角形的性质即可得证.

本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

20.【答案】解：（1）作弦4B的垂直平分线,

交于G,交AB于点H,交CD的垂直平分线EF

于点。，则点。即为所求作的圆心.（如图

1）（2分）

（2）连接04（如图2）

由（1）中的作图可知：AAOH为直角三角形，H是4B的中点，GH=4,

•••AH=；AB=8.(3分)

vGH=4,

•••OH=R-4.

在R2AOH中，由勾股定理得，。炉=4"2+。”2,

AR2=82+（R-4）2.（4分）

解得：R=10.（5分）

二拱桥的半径R为10m.

【解析】（1）作弦4B的垂直平分线，交于G,交AB于点交CD的垂直平分线E尸于点。，则点。即

为所求作的圆心；

（2）首先连接。4由（1）可得：△AOH为直角三角形，，是4B的中点，GH=4,即可求得4"的长，

然后在Rt/iAOH中，由勾股定理得，CM?=4“2+。”2,即可求得拱桥的半径R.

此题考查了垂径定理的应用.此题难度不大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

21.【答案】解：由题意得：

乙ANO=43°,乙BM0=35°,AO1MN,

在收△AON中，AO=135m,

八z人。135"、

・®=^^",=r1500n），

•・•AB=40m,

・・.8。=4。-48=95(巾)，

MO=»135.7(m),

tan350.7v,

・・・MN=NO+MO=150+135.7°286(m),

MN的长约为286nl.

【解析】根据题意可得：乙4NO=43。，NBMO=35。，AOA.MN,然后在RtAAON中，利用锐角

三角函数的定义求出N。的长，再利用线段的和差关系求出B。的长，最后在RtAMBO中，利用锐

角三角函数的定义求出MO的长，进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

22.【答案】解:(1)30

(2)根据题意得：iv=(x-20)(-2x4-80)=-2x2+120x-1600,

w与x之间的函数关系式为w=-2x2+120%-1600：

(3)w=-2x2+120%-1600=-2(x-30)2+200,

,**—2<0,

.•.当x=30时，w取最大值，最大值为200,

答：该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元.

【解析】解：(1)在y=-2x+80中，令x=25,得：

y=-2X25+80=30,

故答案为：30：

(2)见答案;

(3)见答案.

(1)在、=-2尤+80中，令x=25可得y的值，即可得到答案；

(2)根据总利润=每个健身球利润X销售量即可列出w与％之间的函数关系式；

(3)结合(2)的函数关系式，根据二次函数性质可得答案；

本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式.

23.【答案】解：(1)如图，

•••DE切。。于点E,

OE1ED,

BD1.DE,

・•.OE//BD,

:.Z-OEB=乙EBD,

vOB=OE,

・•・Z-OEB=乙OBE,

・•・乙EBD=Z-OBE,

・•・BE平分“BC；

(2)连接AC,过点E作EM1AB于点M,

vBE平分N4B。，

•••ED=EM,

•••AB是。。的直径，

•••Z.ACD=NO=乙DEF=90°,

四边形CDEF是矩形，

DE=CF=^AC,

vAB=10,BC=6,

AC=VAB2-BC2=V102-62=8-

则EM=ED=CF=AF=-AC=4.

OF=VOA2-AF2=752-42=3，

EF=OE-OF=2,

:.CD=EF=2.

【解析】(1)由DE切。。于点E知。ELED,结合BDICE于点。知OE〃BD,从而得NOEB=

乙EBD=NOBE,即可得证；

(2)作DEEM1AB,由(1)中角平分线知EO=EM,连接AC,证四边形CHDF是矩形可得DE=CF=

lAC,根据勾股定理求得4C,进而求出。F,即可得出答案.

本题主要考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理及矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质、

圆周角定理、垂径定理等知识点是解题的关键.

24.【答案】解：(1)把4(—4,2)代入y=£,

得m=2x(-4)=-8,

则反比例函数解析式为y=-§

把B(n,-4)代入y=

得一4n=-8,解得n=2,则B点坐标为(2,-4),

把做-4,2)、8(2,-4)代入、=依+匕得，

C-4/c+b=2

l2k+b=-4'

解得忆多

则一次函数解析式为y=-%-2.

(2)直线与％轴的交点为C,在y=—%-2中，令y=0,则％=—2,

即直线y=-%-2与％轴交于点C(-2,0),

:.OC=2.

S^AOB=S^AOC+S^BOC=2X2X2+-X2X4=6.

⑶由图可得，不等式依+b-^>0解集范围是x<—4或0<x<2.

(4)•.•p(p,0),4(—4,2),8(2,-4),

AB2=(2+4)2+(-4-2)2=72,

PA2=(p+4)2+22=p2+8p+20,

PB2=(p-2)2+42=p2-4p+20,

①当4P是斜边时，AB2+PB2=PA2,

：722+p2-4p+20=p2+8p+20,

解得：p=6,

②当BP是斜边时，PA2+AB2=PB2,

•■p2+8m+20+722=p2—4p+20,

解得：p=—6,

p的值为：一6,6.

【解析】(1)先把4点坐标代入y=£，求出m可得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式

确定B点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；

(2)根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式，由S-OB=SA.OC+SAB℃进

行计算即可；

(3)观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式依+b-

5>0的解集；

(4)分情况讨论，利用勾股定理即可得答案.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的

解析式.解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式.

25.【答案】1冬

【解析】【问题呈现】证明：•・・△4BC和都是等边三角形，

：.AD=AE,AB=ACfZ,DAE=Z.BAC=60°,

*,•Z-DAE—乙BAE=Z-BAC-Z-BAE,

:.乙BAD=Z.CAE,

•••△840wZkC/E(SaS),

.・.BD=CE,

陛=1.

CE

故答案为：1;

【类比探究】解：「△ABC和△4DE都是等腰直角三角形,

.、器=臆=盍'W4E=NB4C=45。，

:.Z.DAE-Z.BAE=乙BAC—Z.BAE,

，Z.BAD=Z-CAE，

*，.△BAD^LCAE,

,_B_D_A_B___1__y[_~2

CE~AC~>T2~2

故答案为：

【拓展提升】解：(1)嚏噜/4ABe=4ADE=9°。,

ABC~AADE,