2024届新高考新结构4月数列、概率统计压轴题训练含答案

题目1(重庆市康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷(三)数学试题)设动点P每次沿数轴的正方向移动，且第i次移动1个单位的概率为p,移动2个单位的概率为1-ps.已知a,表示动(2)若每次移动2个单位的概率都是移动1个单位的概率的2倍.②求动点P能移动到自然数n处的概率P,(n∈N*).题目)(河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试题)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数，若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于任意正整数n,欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φ(n).(1)试求φ(3),φ(9),φ(7),φ(21)的值；(2)设n是一个正整数，p,q是两个不同的素数.试求φ(3"),φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系；(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：①准备两个不同的、足够大的素数p,q;②计算n=pq,欧拉函数φ(n);③求正整数k,使得kq除以φ(n)的余数是1;④其中(n,q)称为公钥，(n,k)称为私钥.已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列{b,},数列{c,}满足80c=b₄+47,求数列{tanc:tancn+i}的前n项和T.题目(海南省2024届高三下学期学业水平诊断(三)数学试题)某学校有甲乙丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.(1)求第4天是甲管理停车场的概率；(2)求第n天是甲管理停车场的概率；(3)设今年甲乙丙管理停车场的天数分别为X,Y,Z,判断E(X),E(Y),E(Z)的大小关系.(给出结论即可，题目)(2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学试题)甲乙丙三人进行传球游戏，每次投掷一球在甲手中.题目(福建省津州市2024届高三毕业班第三次质量检测数学试题)“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为概率为,如此往复.(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X,求X的分布列与数学期望；(3)求丙在3月份第n(n=1,2,…,31)天选择“共享单车”的概率P,并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”题目)(黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024局高三学年第一次模拟考试数学试卷)这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来.据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X,求X的分布列及数学期(2)记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为n+1个的概率为an,求{a,}的前n项和S,;(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为b₂,当b,,取最题目(湖南省三湘创新发展联合体2023-2024学年高三下学期2月开学统试数学试题)某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效.某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为,而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为,如此往复.(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.(2)记该同学第n天中午选择冰糖雪梨汤的概率为P,证明：为等比数列.(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.题目(山东省漏博市2024届高三上学期摸底质量检测数学试题)第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛.已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方.现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为,乙得分的概率为;若乙发球，乙得分的概率为甲得分的概率为规定第1回合是甲先发球.(1)求第3回合由甲发球的概率；若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望.题目)(湖北省或汉市(式汉六中)部分重点中学2024届高三第二次联考数学试题)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个(1)求X₂的概率分布列并求E(X₂);人得到球后都等可能地传给其余2人之一，设P₂表示经过n次传递后球传到乙手中的概率.记前n次(即从第1次到第n次传球)中球传到乙手中的次数为Y,求E(Y).题目11(华大新高考联盟2024届高三下学期3月教学质量测评数学试卷)定义：max{a,b}=已知数列{a,}满足an+min{an+,Qn+2}=max{ap+,Q+2}.(2)若Vn∈N,3k∈N,使得a≤a恒成立.探究：是否存在正整数p,使得a,=0,若存在，求出p的可能(3)若数列{a,}为正项数列，证明：不存在实数A,使得Vn∈N*,a,≤A.题目12(山东省泰安市2024届高三下学期一轮检测数学试题)已知各项均不为0的递增数列{a,}的前n项和为S,且a₁=2,a₂=4,aQ+₁=2S,(Sn+i+S-1-2S,)((1)求数列的前n项和T;(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”.证明：①对任意k≤5且k∈N°,存在“G-数列”{b,},使得b≤题目14](江苏省镇江市2023-2024学年高三下学期期初考试数学试卷)对于数列{a,}(n∈N),记△a,=a₂+I-a₂,称数列{△a,}为数列{a,}的一阶差分数列；记△²a,=△(△a,)=△a₂+t-△a₂,称数列{△²a,}为数列△a₂,称{△^a,}为数列{a}的k阶差分数列.对于数列{a,},如果△^a=d≠0(d为常数),则称数列{a,}为k阶等差数列.(1)数列{n²}是否为k阶等差数列，如果是，求k值，如果不是，请说明为什(2)请用a₁,△ay,A²a₁,△²a₁,…表示agay,并归纳出表示a,的正确结论(不要求证明);(3)请你用(2)归纳的正确结论，证明：如果数列{a}为k阶等差数列，则其前n项和为S=C₁a₁+C₂△a₁+C(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”,巧合用了2024个球.第1层有1个球，第2层有3个，第;,;,,,,,,不越过9且与9互素的正整数有1,2,4,5,7,8,则φ(9)=6,不越过7且与7互素的正整数有1,2,3,4,5,6,则φ(7)=6,不越过21且与21互素的正整数有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,则φ(21)=12,因此φ(3")=3-3-¹=2·3-¹.,,T=tanctanc₂+tancz·tanc₃+…+tanc,·=tan2·tan4+tan4·tan6+…+tan2n·11题目3(海南省2024届高三下学期学业水平诊断(三)数学试题)某学校有甲乙丙三名保安，每天由其中一的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.(1)求第4天是甲管理停车场的概率；(3)设今年甲乙丙管理停车场的天数分别为X,Y,Z,判断E(X),E(Y),E(Z)的大小关系.(给出结论即可，记P(A,)=a,P(B₁)=b₁,P(C₁)=cn,则c₁=1-a₁-b,,,所以所以,故P(C₁)=P(An-i)P(C₁IAn-i)+P(B-i)P(C₇IB-i),可得-1,且b₁-c₁=0,可知b₄-c₄=0,即令{an}的前n项和为Sa,则E(X)=Ss或E(X)=Swo,题目4)(2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学试题)甲乙丙三人进行传球游戏，每次投掷一球在甲手中.X0123P豆18(2)由于投掷n次骰子后球不在乙手中的概率为1-pn,此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有,公比为的等比数列.所以数列是首项为,公比为的等比数列.,(3)由(2)可得,所以(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,X0123P,(3)由题意得,则是以是以为首项，所以经检验当n=1则,则n=5时，不成立.题目6(黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷)这个冬季，哈尔滨文旅持峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X,求X的分布列及数学期(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为获得2份文旅纪念品，则X的可能取值为3,4,5,6,,其中,,所以X的分布列为X3456P(2)因为n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为n+1个，则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公则(3)设只游览冰雪大世界的人数为x,则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为100-x,因此游客得到纪念品的总个数n=x+2(100-x)=200-x,此时题目7(湖南省三湘创新发展联合体2023-2024学年高三下学期2月开学统试数学试题)某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效.某同学每天中(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.午选择苹果百合汤.,,,,所以则,即则综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.题目8](山东省淄博市2024届高三上学期摸底质量检测数学试题)第19届亚运会于2023年9月23日至10规定第1回合是甲先发球.所以第3回合由甲发球的概率为所以,记第i回合甲得分为X,显然X;服从两点分布，和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个(1)求X₂的概率分布列并求E(X₂);【详解】(1)X₂可能取0,1,2,3,0123PE(Xn+i)=1×P(X+=1)+2×P(X+=2)+,,ax-=max{aQ+i}-min{ax₂a₄-2=max{a₄-n,a₁}-min{a₄a₁-g=max{a₄-2,Q₄-}-min{a₄-2,Qx-∴p的集合为{plp=k+3m-2,m∈Za=max{a₄+i,Qk+2}-min{a₄+ax-₁=max{ax