北京市顺义区2023-2024学年高二年级上册数学期中试卷

北京市顺义区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

阅卷入

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有

得分一个符合题目)

1.若直线％+y—3=0与2%+ay-1=0垂直，则。=()

A.-2B.2C.1D.

2.椭圆的两个焦点是(-4,0)和(4,0),椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10,则椭圆的标准方

程是()

A.A娶1B.A要1c・各*=1D.拿白1

3.若％2+y2+4x—2y-m=0表示圆的方程,则zn的取值范围是()

A.(5,+oo)B.(—oo,5)C.(—oo,—5)D.(-5,+8)

4.若双曲线C：■—记=1的焦距长为8,则该双曲线的渐近线方程为)

9m

A.y=±?XB.y=+—%C.y=+-%D.y=±四

5.已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6,则p=)

A.2B.3C.6D.8

6.已知平面a的法向量为元=(2,1,1),若平面a外的直线［的方向向量为五=(一1,0,3),则可以推断

()

A.I||aB.I1aC.1与a斜交D./ua

7.已知点M的坐标为(a,b),圆”与x轴交于A、8两点，与y轴交于C、。两点，贝广|48|=|CC|”是

“a=b”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知三棱锥。-ABC,点。是。A的中点，点G是△ABC的重心(三角形三条中线的交点叫三角形的重

心)设瓦？=五，~OB=b，0C=c，则向量直用基底m，b,方可表示为()

为（A

B.—yd+^b+^-C

C.D.+ih+ic

666333

9.设点P为函数y=V5|%|图象上的动点，Q是圆C：（%—q）2+（y—b）2=3（其中ab=0）上的动点,

若|PQ|的最小值为g，则以所有满足条件的点C为顶点的多边形的面积为（）

A.24V3B.16V3C.8VID.竽

10.如图，在正方体ABCD—中，点E是线段BG的中点，点F是线段BD上的动点，下列结论中

错误的是（）

A.对于任意的点F,均有EF14C

B.存在点F,使得EF||平面A41B1B

C.存在点F,使得EF与CG所成角是60°

D.不存在点凡使得EF与平面ABGD1的所成角是30°

阅卷人

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题

得分纸上的相应位置.）

11.直线y=l的倾斜角为.

12.平面直角坐标系中，已知直线/过点（0,4）,与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线I的方程

为.

13.已知抛物线C：产=8%的焦点为/，准线为/,则尸至〃的距离是；若斜率为8的直线经过

焦点P在第一象限与抛物线交于点M,过M作MN垂直于I于点N,则4MNF的面积为.

14.已知椭圆C：琴+q=1与双曲线氏与-g=1有共同的焦点Fi，F2,设两曲线的其中一个交点为

259a乙b

P,且COSNF1PF2=*,则双曲线的离心率为.

222422

15.关于曲线皿1：x+y=m,W2：x+y=m(m>0)

①曲线W2关于无轴、y轴和原点对称；

②当m=1时，两曲线共有四个交点；

③当0<m<1时，曲线围成的区域面积大于曲线皿2所围成的区域面积；

④当m=VI时，曲线皿2对围成的平面区域内(含边界)两点之间的距离的最大值是3.

上述结论中所有正确命题的序号是.

阅卷人

三、解答题(本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算

得分步骤.

16.平面直角坐标系中,已知圆的圆心是C(0,1),且经过点M(遍，0),直线［的方程为久+y+m=0.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若/与圆C相切，求加的值；

(3)若直线/被圆截得的弦长|MN|=2遮，求m的值

17.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是久轴，且经过点P(l,2).

(1)求抛物线的标准方程、焦点坐标；

(2)经过焦点产且斜率是1的直线与抛物线交于A、8两点，求|AB|以及AOAB的面积.

18.如图，在四棱锥P-ABC。中，PD1平面ABC。，底面4BCC是边长为2的正方形，PD=2,点E是

PC的中点.

(1)求证：BC||平面PAD；

(2)求直线AC与EB所成角的余弦值；

(3)求直线EB与平面PAD所成角的正弦值.

19.如图，直三棱柱4BC-&B1Q中，AC=BC=逐,AB=2,441=3,/为棱4B的中点，点N是

&C上靠近C的三等分点

(1)求证：AB，平面MCCQ

(2)求二面角N—BJW—4的余弦值；

(3)棱4C上是否存在点P,使得点P在平面/MN内?若存在，求奈的值；若不存在，说明理由.

20.已知椭圆C：［+J=l(a>b>0)的长轴长为2VL离心率为*,过右焦点且与久轴不垂直的直线2

与椭圆相交于A,B两点，点M的坐标为(2,1),记直线MA,MB的斜率分别为七，k2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当|AB|=苧时，求直线，的方程；

(3)求证：七+七为定值.

21.对于空间向量沅=(a,b,c),定义||而||=max{|a|,网，|c|}>其中max{久，y,z}表示丁,y,z这

三个数的最大值.

(1)已知。=(3,-4,2),b=(x,-x,2x).

①直接写出||句|和两||(用含％的式子表示)；

②当0W%<4,写出||五—山|的最小值及此时％的值；

(2)设五=(尤1，y1；Zi),b=(久2，y2>Z2)，求证：||五+瓦|W||团|+||瓦卜

(3)在空间直角坐标系。一支yz中，4(2,0,0),B(0,2,0).<7(0,0,2),点。是△ABC内部的

动点，直接写出||曲||的最小值(无需解答过程).

答案解析部分

L【答案】A

【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程与直线的垂直关系

【解析】【解答】解：•,•直线x+y-3=0与2%+ay-1=0垂直，2X1+aX1=0,二a=-2.

故答案为：A.

【分析】根据两直线垂直得到2x1+ax1=0,求出a的值即可.

2.【答案】C

【知识点】椭圆的定义

【解析】【解答】解：••・椭圆焦点坐标为(—4,0)和(4,0),••.c=4,

•••椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10,2a=10,a=5,b=Va2-c2=V52-42=3;

•••椭圆的标准方程是+

故答案为：C.

【分析】根据椭圆定义写出椭圆的标准方程是+

3.【答案】D

【知识点】圆的标准方程；二元二次方程表示圆的条件

【解析】【解答】解：x2+y2+4x—2y—m=0可化为(％+2)2+(y—l)2=5+m,v(x+2)2+

(y-l)2=5+租表示圆的方程，.•・5+TH>0,即zn>-5.

故答案为：D.

【分析】将圆的一般方程化为标准方程(%+2尸+(y-1产=5+租，贝l」5+m>0求出m的取值范围.

4.【答案】D

【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：••・双曲线C："—*=1的焦距长为8,；.2c=2回不=8,.•.m=7,

9m

二双曲线C：《―^=1，.•.双曲线的渐近线方程为y=+，久.

故答案为：D.

【分析】根据双曲线性质得2c=2回T元=8,求出m,进而写出双曲线的渐近线方程.

5.【答案】C

【知识点】抛物线的简单性质

【解析】【解答】解：由抛物线性质知抛物线的准线为％=-与二3—（—初=6,p=6.

故答案为：C.

【分析】根据抛物线定义得到3-（-切=6,进而求出p的值.

6.【答案】C

【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量

—»—>

——TL'CL

【解析】【解答】解：设直线Z与平面a的夹角为仇贝！Jsine=cos<n，=币币

\n\\a\

(2,1,1)(—1,0,3)=1"

1与a斜交.

j22+l2+l2j(-l)2+02+322*30

故答案为：C.

【分析】设直线/与平面a的夹角为仇利用向量夹角公式求出sin。=cos〈汇a>，判断Z与a的位置关系.

7.【答案】B

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质

【解析】【解答】解：设圆M半径为r,•••点M的坐标为（a,6）,••.点M到x轴距离为|b\,到y轴距

离为Ial，...研=21r~b，IC0=2《r~a

充分性：^\AB\=\CD\,则2JJ-L=2小J-a?’求得『=>，IP|a\=\b\,充分性不成立;

必要性：若a=6,则2//一4=2I/_/，\AB\=\CD\，必要性成立，

“|4B|=|CD『是"a=6”的必要不充分条件.

故答案为：B.

【分析】根据圆的弦长公式和圆心坐标，分别证明充分性和必要性是否成立.

8.【答案】B

【知识点】空间向量的加减法

【解析】【解答】解：•.•点6是4/吕。的重心，二彳0=/（7^+7工），

----->-----»----->----->1-----»----->1-----»1----->-----»----->-----»1-----»

・・.DG=DA+AG=DA+^AB+AC)=^OAB-OA+OC-OA)=-^OA+

i-----*i----->i-*i->i->

Q-OB+八OC=-za+八b+八C.

33633

故答案为：B.

【分析】根据重心性质得AG=：（/6/人。），再根据向量的加法运算求向量而用基底仅，b,可表示.

9.【答案】A

【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：•••|PQ|的最小值为b，；.|P的最小值为8/r=2B，

当a=0,b=0时，不满足题意；

Ipc\

当a>0,b=0时，由图知——、=4，圆心为（4,0）;

siz?60

当a<0,b=0时，由对称性知圆心为（一4,0）;

Ipc\

当a=0,b>0时，由图知-%=48，圆心为（4日，0）；

当a=0,b<0时，由图知，（一2。,0）;

连接四点得得到四边形，四边形的面积S(4-(-4))(4V3-(-2V3))=24V3.

【分析】分圆心在原点、在x轴上和在y轴上结合图象讨论分析，利用圆心到直线距离求出圆心坐标，

进而求解多边形面积.

10.【答案】D

【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示

【解析】【解答】解：设正方体的棱长为2,以点D为坐标原点以DA,DC,DDi所在直线分别为x,y,

z轴建立空间直角坐标系，

.■.D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),Ai(2,0,2),B(2,2,0),Ci(0,2,2),E(l,2,1),

•••点F在线段BD上，.••设F(a,a,0),ae(0,2),

EF=(^a—1/a—2,—1)»A—2/2,-2)，CC]=(0,0,2)，

A.-.-EF-C=(a~1,a~2,一1)・(一2,2,-2)=2~2a+2a-4+2=0-二对任意F,有石尸

1A1C,A正确；

B.易知平面4夕i6的法向量为77]=(1,o,0)，当石尸.A]=(a—1,a—2,-1).(1,0,0)

=a—1=0时，求得a=1,满足ae(0,2),；.存在F,有E尸||平面/B正确；

—>T

T

EF-C(a-1,a—2/—1)-(0/0,2)

C.当IC。s{EF,CC^)\=\->TI=1-「

222

\EF\\CCA\狭…)巴-)A-l)2a—6a+6

时，求得@=与1a=3-&(°,2)，:存在F，有后尸与夹角为60°,C正确；

22

—»—»

—»——EF'n。

D.易知平面/3q%的法向量为4=(1,0,1)，当|cos〈N尸，7?2)|=|-^>——=r-|=

'''\EF\\n2\

.(a—1/a—2,—1),(1/0/1)_a_1

1—I222=|2==2时,求得a=l,满足ae(0,2),•••存在F,有

V2(a—1)7-(a—2)+(—1)2Ia—3a-A3

后产与平面A51万16夹角为30°,D错误;

故答案为：D.

【分析】设正方体的棱长为2,以点D为坐标原点以DA,DC,DDi所在直线分别为x,y,z轴建立空

间直角坐标系，利用空间向量逐一分析选项.

11.【答案】0

【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率

【解析】【解答】解：直线y=1与x轴平行斜率为0,••・倾斜角为0.

故答案为：0.

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解.

12.【答案】y=±2%+4

【知识点】直线的斜截式方程

【解析】【解答】解：显然直线斜率存在且不为0,设直线1方程为y=kx+4,则直线与x轴交点坐标为

44

-一f-

々0),・・・则直线1与坐标轴围成的三角形面积为sc

y=±2x+4.

故答案为：y-±2%+4.

【分析】显然直线斜率存在且不为0,设直线1方程为y=kx+4,根据三角形面积公式求解k的值，得到

直线方程.

13.【答案】4；16g

【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】解：由抛物线定义知焦点坐标为(2,0),准线1为％=-2,，F到1距离为2-(-2)=4,

设直线方程为y=遮(无一2),联立P=F(久一2),得3——20%+12=0,求得久=6或%=左

y—8%J

・•・M在第一象限，・•・x=6,当冗=6时，y=4旧，・,•点M(6,4旧),

SAMNF=与MN-|yMl=1x|4-(-2)|x=16同

【分析】根据题意结合抛物线的定义求下至〃的距离；求出直线方程，与抛物线联立求出点M的坐标,

进而求解AMNF的面积.

14.【答案】

【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；余弦定理

【解析】【解答】解：由题意得椭圆焦点坐标为％(—4,0),打(4,0),

•••椭圆与双曲线有共同焦点，二a2+庐=c2=16,

不妨设点P在第一象限，则|P%|+|P4I=I。，\PFi\~\PF2\=2a,求得|P%|=5+a,中乙1=5—

|PF|2+|PF|2-|FF|2=(5+a)2+(5-a)2-82=25+a2-32_1

a,又131=8,1212求得

2|吗卜叫1=-2(5+a)(5—a)~=25—a2=8'

f4

-

C2混--

q2=9,.•.双曲线离心率e=3

【分析】由题意得。2+庐=c2=16,设点P在第一象限，根据椭圆和双曲线定义求得|P%|=5+a,

\PF2\=5-a,再结合C0SNaPF2=g利用余弦定理求出a2,进而求双曲线离心率.

15.【答案】①②④

【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题

【解析】【解答】解：①设F(x,y)=x4+y2—m2(m>0),

F(—%,y)=(—%)4+y2—m2=x4+y2—m2=F(x,y)，

F(x,—y)=x4+(—y)2—m2=x4+y2—mz=F(x,y)，

F(—%,—y)=(—%)4+(—y)2—m2=%4+y2—m2=F(x,y),

・・・曲线W2关于x轴、y轴和原点对称，①正确；

②当m=l时，/1：x2+y2=1,卬2：%4+y2=1

联立尉仁f求得：;或m:;或或真二

.,•两曲线共有四个交点，②正确；

③•・•曲线01：/+y2=m2和勿2：/+y2=血2的图象关于X轴、y轴和原点对称，.•.研究第一象限的曲

线即可，

24

设当=一久2久e(0,m),y2=Jm—xxE(0,m)>

0<m<1,xe(0,m),x2>x4,-x2<-x4,Vm-%2<Vm-x4>

.•.当0<m<1时，曲线Wi围成的区域面积大于曲线卬2所围成的区域面积，③错误；

④当TH时，则勿2：%4+y2=2,%e(-V2,奁)，•••曲线/2上任意一点(x,y)到原点距离d=

J久2+y2=’久2+2_久4=J_(%2_3+去••1xG(―V2,V2),:.d=J-(%2—

根据对称性知：曲线02对围成的平面区域内(含边界)两点之间的距离的最大值是3.

故答案为：①②④.

【分析】①设F(尤，y)=x4+y2-m2＞证明F(—久，y),F(x,—y),F(—%,—y)都等于F(无，y)即

可；②联立曲线方程求出交点坐标，进而求交点个数，③设＜]=,加2_久2,y2^Jm2-X4,xe

(0,m),讨论第一象限为与丫2大小，进而判断曲线加1与卬2围成的区域面积大小；④利用二次函数性质

求曲线加2上任意一点(x，y)到原点距离的范围，结合对称性判断.

16.【答案】(1)解：由题意知，r=\CA\=2

所以圆C的方程为久2+(y—1)2_4.

,|0+l+m||m+l|、

(2)解：圆心C到直线/的距离d=-F=-==2

解得加=2V2-1或一2/-1

(3)解：设圆心C到直线/的距离为屋有(d')2+(缪=4

因为|MN|=2W，所以d'=1

I|0+l+7n|_|zn+l|_]

即有d

Jl2+12g解得m=-1+鱼或-1—V2-

【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程

【解析】【分析】(1)根据两点间距离公式求出半径，然后写出圆C的标准方程；

(2)根据圆心到直线距离等于半径求m的值；

(3)根据弦长公式求出圆心C到直线[的距离为d'，再利用点到直线的距离公式求m的值.

17.【答案】(1)解：由题设方程为y2=—2p久，

将P(l,2)代入，解得p=2

所以抛物线的标准方程为y2=4%.

焦点坐标为(1,0).

(2)解：因为直线k=l,过点F(-l,0),所以直线/的方程为y=%-1,

y=x—1

联立

.y2=4%

消y得久2—6%+1=0

设力(修，yQ，B(X2,>2)，则％i+%2=6,%1%2=1.

\AB\=Vl+k2-JQi+久2)2-4%I%2=8(或|4用=K1+亚+P=6+2=8)

1V2

所以S=*X8X¥=2A.

【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由题意设抛物线的方程为俨=—2px,代入点P(l,2),求出p,进而写出抛物线的

标准方程和焦点坐标；

(2)由题意写出直线AB方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理求|AB|=/+犯+「，再结合点到直线

距离公式求△04B的面积.

18.【答案】(1)证明：因为力BCD为正方形，所以BFIIAD,

因为BC三平面PCB,4。u平面PAD

所以BC||平面PAD.

(2)解：因为PD1平面ZBCD,所以PD1ZD,PD1DC

又因为底面/BCD是正方形，所以AC1DC,

如图，以口4、DC、DP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则配=（一2,2,0）,丽=（2,1,-1）,

所以cos（晶，EB）=一2

\AC\\EB\2V2xV6

所以直线4C与EB所成角的余弦值为夕.

6

(3)解：平面24。的法向量为元=(0,1,0)

丽=(2,1,-1),设直线EB与平面PAD所成角为仇

贝Usin。=|cos(EB,n)\==4=真所以直线EB与平面24。所成角的正弦值为电.

|EB||n|V6o6

【知识点】平面与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离

【解析】【分析】(1)因为4BCD为正方形，所以结合线面平行判定定理求BC||平面P4D；

(2)以DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求求直线AC与EB所成角的余

弦值；

(3)求出平面24。的法向量，利用空间向量求直线EB与平面24。所成角的正弦值sin。=|cos(晶，n)|-

19.【答案】(1)解：证明：连接BC「

由于=AC=BC,所以AB1CM

在直三棱柱ABC-A/iG中，

CQ1平面4BC,所以CQ14B,

又CMOCQ=C,所以AB_L平面CC]M.

(2)解：如图，

取AiBi中点Q,由于AAi_L平面ABC,MQ||AA^因止LMQ，平面ABC,

又因为AC=BC,所以MBLMC,故MB,MC,,MQ两两垂直，

以M为坐标原点，分别以前瓦~MC,前0的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系M-xyz.

则义(一1,0,3),C(0,2,0),Bt(l,0,3),M(0,0,0),N(-1,J,1).

碇=(1,2,-3),而i=(l,0,3),W=(-1,I，1)

设平面Bi"N的法向量为汨=(K，y,z),

x+3z=0%=3

-1x+|y+z=0，取y=|，则汨=(3,|,-1)

Ji：：'即

z=-1

平面BiMA的法向量为何=(0,1,0)

(3,I，-1).(0,1,0)3

设所求二面角为。，则cos。=|cos〈温，雨)|=|得嵩|=

~炉I+(|)2+(—1)2—7

(3)解：设都=4元=；1(1,2,0)=(九22,0)(0<2<1),

则加=加+而=(-1,0,0)+2(1,2,0)=(A-1,24,0),

因为平面BWN的法向量雨=(3,1,-1),

若点P在平面/MN内，则加垂直于通，

所以加电=(4一1,2九0)-(3,|,-1)=64—3=0,解得4=*[0,1],

所以棱AC上存在点P,使得点P在平面/MN内，此时桨=)

/ICZ

【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角

【解析】【分析】(1)连接AC1，BC1，通过证明AB1CM,CCrLAB,得到AB1平面CCiM；

(2)取A/i中点Q,以M为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角N-BiM-4的余弦

值；

(3)设益=4晶，(0W2M1)，求出平面/MN的法向量祗，求而.R=o时，满足0W4W1的4的值,

进而写出雾的值.

20.【答案】(1)解：依题意2a=2&，所以。=企.

因为e=£=*,所以c=L

a2

所以/=1.

2

所以椭圆。的方程为旨+y2=i.

(2)解:椭圆得右焦点F(l,0).

由已知可知，直线]的斜率存在，设直线/：y=/:(%-1),

联立方程组"+y-1,消y得(1+2k2)第2一4女2冗+2(小-1)=0,△>()成立.

y=k(x-1)

22

J

设4(%i，y])，B(X：2,y2)则%]+冷=•4k亍xrx2=——

l+2k1+2《

\ABI=y/1+k2-J(久1+42)2-4K1%2=

4

O2Q

2.4〃、.2(fc-1)_5V2

V1+/c--4-1^F=­)

2

所以修』所以『土当直线，："士苧

(3)证明：由上问可知y=1叩—1),M(%i，%),N(%2,、2),

,,=1一172=(1-yj(2-％2)+(172)(2-％1)

12~2^x[2^x^~4-2(%1+%2)+%1%2

分子化为4—(%1+%2)-2仇+y2)+x2y1+x1y2=2kx1x2-(1+3k)(/+x2)+4k+4.

22

2kd*-y—(l+3k)x^^+4k+4

所以的+k2=一1±兹——.―岑任------

一4-

l+2fcl+2fc

2kx2(fc2-1)-4k2(1+3k)+4(k+1)(1+2k2)4k2+4

=---------------------------------2-----------9-----------2--------------------------=-2-------=2

4(1+2k)-8k+2(/c-1)2k+2

综上所述，七+七为定值2.

【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(D依题意得到a=V2,再根据椭圆离心率和a?=必+c2求椭圆C的方程；

(2)由题意知，直线/的斜率存在，设直线/：y=k(x-1)与椭圆方程联立，结合韦达定理和弦长公式

|AB|=+卜2•J(久1+x2)2—4久1久2=求解k的值，得到直线方程；

(3)结合(2)化简/q+/=F+?—冬，判断其是否为定值.

乙人1]4人2

21.【答案】(1)解：①||训=4,|网|=|2x|；

(—x+4,0<x<2

@\\a-b\\“a—b11nl)=2,此时久=2

12%-2,2<%<4

(2)解：||a+b||=max{%+%2卜1%+为1，\zi+z2l}

Wmax{%|+%|，|%|+㈤，㈤+㈤}

因为||a||=max{%|,㈤},|网|=max{%|，阳，㈤}，

所以㈤，|月|，㈤割叫,|%2|,|y2|,|z2|<||h||

所以||a+b\\<max{||a||+\\b\\,||a||+|网|,||a||+\\b\\]=||a||+||h||,

(3)解：质J

【知识点】不等关系与不等式；共面向量定理；不等式的证明

【解析】【解答】(3)由题意知Q,A,B,C四点共面，...OQ=光04+y03+(1_%_y)&;,又

―>

4(2,0,0),5(0,2,0),。(0,0,2),OQ=(2%/2y,2—2%—2y)j

由(2)知。Q=max^\2x\,\2y\,|2-2%-2y|j>\2x\,\2y\,|2-2%—2y|,

・•・同=m”{|2%I，|2y|,|2-2%-2y|}2附十|2"2-2x—2y|?|2x+2y+y2Ty|=|,

IOQI=i当且仅当久=y=。寸等号成立.

1'minD3

【分析】(1)①根据定义直接求解；②根据定义分0〈xM2和2<xW4讨论写出|日—山|,进而求其最

小值，和此时x的值；

(2)根据定义结合三角不等式直接证明；

⑶由四点共面的充要条件结合定义及三角不等式求解，进而直接写出||所||的最小值.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分:150分

客观题（占比）45.0(30.0%)

分值分布

主观题（占比）105.0(70.0%)

客观题（占比）11(52.4%)

题量分布

主观题（占比）10(47.6%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题（本大题共6

小题，每小题5分，

共30分.请把结果填5(23.8%)25.0(16.7%)

在答题纸上的相应位

置.）

解答题（本大题共6

小题，共85分，解

6(28.6%)85.0(56.7%)

答应写出文字说明过

程或演算步骤.

选择题（本大题共

10小题，每小题4

分，共40分，四个10(47.6%)40.0(26.7%)

选项中只有一个符合

题目）

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(52.4%)

2容易(28.6%)

3困难(19.0%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1直线与平面垂直的性质16.0(10.7%)19

2椭圆的简单性质5.0(3.3%)14

3用空间向量研究二面角16.0(10.7%)19

4直线与圆的位置关系4.0(2.7%)9

5用空间向量求直线间的夹角、距离14.0(9.3%)18

6直线与圆锥曲线的综合问题34.0(22.7%)13,17,20

7双曲线的简单性质