重难点专题07 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题（三大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页重难点专题07巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题【题型归纳目录】题型一：单模长最值问题题型二：多模长之和差最值问题题型三：模长的范围问题【方法技巧与总结】求复数模的范围与最值问题是热点问题，其解题策略是：（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决；（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；（3）利用三角函数解决.【典型例题】题型一：单模长最值问题【典例1-1】（2024·上海闵行·高一海市七宝中学校考期末）在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__．【答案】【解析】在中，因为，所以.又，，所以.因为E为的中点，所以.因为M、E、N三点共线，所以，即，复数，所以，令，故当，取最小值.故答案为：【典例1-2】（2024·高一课时练习）已知复数和，i为虚数单位，求的最大值和最小值．【解析】复数和，则由，可得则的最大值，最小值【变式1-1】（2024·高一课时练习）设复数：满足，求的最大值和最小值．【解析】因为，所以；因为所以，解得；所以的最大值为7，最小值为3.【变式1-2】（2024·高一单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．(1)确定点的集合构成图形的形状；(2)求的最大值和最小值．【解析】（1）设复数在复平面内的对应点为，则，故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示．（2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示，，则的最大值即的最大值是；的最小值即的最小值是．【变式1-3】（2024·高二·上海松江·期末）若复数z满足，则的最小值是.【答案】1【解析】设，，，，则，，当时，.故答案为：1.题型二：多模长之和差最值问题【典例2-1】（2024·浙江·高一嘉兴一中校联考）已知复数满足，求的最小值______．【答案】13【解析】因为复数满足，所以，所以，所以，解得，所以，所以，则上式表示复平面上的点到点的距离和，因为关于实轴的对称点为，所以因为，当三点共线时取等号，所以的最小值为13，即的最小值为13，故答案为：13【典例2-2】（2024·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的最小值为_________.【答案】【解析】设，因为，所以，所以或，因为，所以的轨迹为，根据复数的几何意义可知表示复平面内点到与的距离和；显然当，即时，故答案为：【变式2-1】（2024·全国·高三专题练习）已知虚数，，其中i为虚数单位，，、是实系数一元二次方程的两根．(1)求实数m、n的值；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）由题意，，即，故，根据韦达定理有，，即，（2）由（1），故不妨设，设，则的几何意义即为复平面内到的距离之和为.因为到的距离为，故在线段上.故当时取得最小值2，当在或时，取得最大值，故的取值范围为题型三：模长的范围问题【典例3-1】（2024·全国·高一专题练习）若，则取值范围是___．【答案】【解析】由题意设(),则其几何意义为平面内一动点到两定点，距离之差，由图可知，当，，三点共线时，距离之差最大，当时，最小，则．的取值范围是．故答案为：．【典例3-2】（2024·山西晋中·高二榆次一中校考开学考试）已知z为复数，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，所以的最小值是，最大值是，故的取值范围是.故选:C.法二：因为复数z满足，不妨设，,则.因为，所以，所以的取值范围是.故选:C.【变式3-1】（2024·全国·高三专题练习）复数z满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】复数表示复平面上的点z到和的距离之和是4的轨迹是椭圆，则，的几何意义是复平面上的点到坐标原点的距离，所以.故选：A.【变式3-2】（2024·全国·高三专题练习）已知复数（i表示虚数单位），复数z满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.复数z对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，所以.故选：C【过关测试】1．（2024·高一·广东佛山·期末）复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【解析】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，如图，最小值为.故选：B2．（2024·高一·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，所以对应点在单位圆上，表示单位圆上的点和点的距离，其最小值为.故选：D3．（2024·高一·河北邢台·阶段练习）已知是虚数单位，复数，，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，则，，由可得，解得，则，所以，，因此，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.4．（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以.故选：A5．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知复数z满足：，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为，的最小值就是原点到直线的距离即为，故选：B．6．（2024·上海宝山·一模）已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（

）A． B．若，则的最大值为C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则【答案】B【解析】对于A，设，则，，A错误；对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确；对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误；对于D，依题意，，整理得，而，因此，解得，D错误．故选：B.7．（2024·高三·江苏南通·期末）已知复数满足，当的虚部取最大值时，（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，则，，∴，∴，，∴，故选：B.8．（2024·高三·江西赣州·阶段练习）若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．+1【答案】C【解析】设，则.由已知可得，.设，，则.所以，.当，即时，该式有最大值，所以，，所以，.故选：C.9．（多选题）（2024·高一·河南新乡·期末）已知复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，且，则（

）A．B．C．复数在复平面内对应的点在第一象限D．的最小值为4【答案】BCD【解析】由题意得，，所以，故A错误；而，故B正确；因为，故复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故C正确；因为，所以点在以原点O为圆心，为半径的圆上，而表示点，之间的距离，所以，故D正确.故选：BCD.10．（多选题）（2024·高一·江苏扬州·期末）已知复数，满足，，则有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】BD【解析】由得，令，有以及，因此，由绝对值三角不等式得，，等号在两复数对应的向量反向时成立，，等号在两复数对应的向量同向时成立，因此，，则，即有最大值，最小值.故选：BD.11．（多选题）（2024·高一·江西南昌·期末）若复数，满足，，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为2 B．的最大值为4C． D．【答案】ABC【解析】设对应的向量为，由向量加法法则可得，当反向和同向时分别取等，即，故的最小值为2，最大值为4，A、B正确；设，则，又，则，C正确；又，则，则，D错误.故选：ABC.12．（多选题）（2024·高一·福建龙岩·阶段练习）已知复数，下列结论正确的有（

）A．若，则B．若，则C．D．若，则的最大值为3【答案】BCD【解析】若复数，满足，但这两个虚数不能比大小，A选项错误；若，则，即，得或，所以，B选项正确；设，，则，，，所以，C选项正确；若，得，有，，则，时取等号，则的最大值为3，D选项正确.故选：BCD.13．（多选题）（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）设为复数，则下列结论中正确的是（

）A．若为虚数，则也为虚数B．若，则的最大值为C．D．【答案】ACD【解析】对于A，因为为虚数，为实数，所以为虚数，所以也为虚数，所以A正确；对于B，当时，满足，此时，所以B错误；对于C，设，则，，所以，，所以，所以C正确，对于D，设对应的向量分别为，则由向量三角不等式得，所以恒成立，所以D正确，故选：ACD14．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·期末）已知复数，则下列结论正确的是（

）A．B．复数的虚部为C．D．若复数满足，则的最大值为2【答案】AD【解析】因为，所以，所以，故A正确；复数的虚部为，故B错误；，所以，故C错误；若复数满足，设，则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以的最大值为，故D正确，故选：AD15．（多选题）（2024·高一·山东滨州·阶段练习）已知复数，其中为虚数单位，则（

）A．的虚部是B．C．若复数满足，则的最大值是D．若是关于的实系数方程的一个复数根，则【答案】BCD【解析】，，对选项A：的虚部是，错误；对选项B：，正确；对选项C：，故，正确；对选项D：，即，故，正确；故选：BCD.16．（多选题）（2024·高一·湖南岳阳·期末）已知复数，，则（

）A．B．若，则的最大值为3C．D．是纯虚数【答案】AB【解析】对于A：复数，，，，又，∴，A正确；对于B：设，则，即，且，，即的最大值为3，B正确；对于C：，故C错误；对于D：，不是纯虚数，D错误.故选：AB.17．（2024·高一·全国·单元测试）复数，则的最大值是，最小值是．【答案】【解析】设，作出圆，如图所示，表示点，则表示点P到圆上的点的距离，当圆上的点与点O，P共线时，取得最值，因为，则最大值为，最小值为.故答案为：；18．（2024·高一·江苏镇江·期末）已知为虚数单位，复数z满足那么的最小值是.【答案】1【解析】设，代入得，设，，则，当时，即取等号.即的最小值是1.故答案为：1.19．（2024·高一·浙江温州·期末）已知，复数，，且，若，则的最小值为.【答案】【解析】复数，所以，所以，因为，所以当时，.故答案为：.20．（2024·高一·全国·课时练习）若实数、满足，复数，则的最大值是；最小值．【答案】64【解析】设，则.则，即.即，即.因此的最大值为，最小值为.故答案为：；.21．（2024·上海闵行·模拟预测）若，则的最大值与最小值的和为.【答案】【解析】由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆，则.故答案为：22．（2024·高一·上海奉贤·期末）已知z是虚数，是实数，是虚数z的共轭复数，则的最小值是．【答案】.【解析】设，，且，则，因为是实数，所以，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以，因为，所以，，则，当时，取到最值.故答案为：．23．（2024·高一·全国·专题练习）已知复数，，则的实部的最大值为．【答案】/1.5【解析】直接计算知：，故的实部为.而，，所以的最大值为，故的实部的最大值为.故答案为：.24．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为.【答案】/【解析】令复数，，，则，所以，所以，，即.又因为，即在复