2024年广东省惠州市惠城区中考数学一模试卷（含解析）

2024年广东省惠州市惠城区惠台学校中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.一2的相反数是（）

11

A.2B.-2C.'D.一5

2.下列运算正确的是（）

A./3+<2=B.X8^X2=X6D.（a5）2=a7

3.把函数y=（x-l）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A.y-x2+2B.y=(尤一I)2+1C.y=(x—2)2+2D.y=(x—l)2—3

4.将一副三角板如图放置，使点2在DE上，BC//DE,则N4FC的度数为()

A.45°

B.50°

C.60°

D.75°

5.三角形的两边长分别是3和6,第三边是方程/一6久+8=0的解，则这个三角形的周长是（）

A.11B.13C.11或13D.11和13

6.九年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量

中，与被遮盖的数据无关的是（）

成绩24252627282930

人数团团23679

A.平均数，方差B.中位数，方差C.中位数，众数D.平均数，众数

7.函数y=会自变量x的取值范围是（）

A.%>1且%。3B.x>1C.%W3D.x>1且％W3

8.若函数丫=E2：，彳^2）,则当函数值y=8时，自变量x的值是（）

A.±<6B.4C.士遮或4D.4或一幅

9.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”.这个节日的昵称是“兀（Day）”.国际数学日之所以定在3

月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字.在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，

可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志.我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把

圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年.以下对于圆周率的四个表

述:

①圆周率是一个有理数；

②圆周率是一个无理数；

③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比;

④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比.

其中表述正确的序号是（）

A.②③B.①③C.①④D.②④

10.如图，直线2是经过点（1,0）且与y轴平行的直线.RtAdBC中直角边AC=

4,BC=3,将BC边在直线/上滑动，使4B在函数y=5的图象上.那么k的值

是（）

A.3

B.6

C.12

D.当

4

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.据统计，2024年3月至17月，惠州首届马拉松比赛共有12000人参赛，其中12000用科学记数法表示为

12.点4在第二象限，它到久轴、y轴的距离分别是2,则它的坐标是.

13.已知关于x,y的二元一次方程的解互为相反数，则8k的立方根是一

14.已知，五-1的整数部分为a,小数部分为b,（，五+ab±1）的值____.

15.若函数y=mx2+2%+1的图象与汽轴只有一个公共点，则常数m的值是.

三、解答题:本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题10分)

(1)计算：I—3|—(/To-1)°+72COS45°+(3T；

(2)先化简再求值：遥篇・黑-言，其中”=L

17.(本小题7分)

(2x+5<3(x+2)

解不等式组.Ll+3x,把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解.

[2x--1<1

18.(本小题9分)

2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中

随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据

调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图.请根据统计图回答下列问题:

(1)本次抽取调查的学生共有人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有人.

(2)请补全条形统计图.

⑶“不了解”的4人中有3名男生A2,43,1名女生以为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进

行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2

名男生的概率.

图1图2

19.(本小题9分)

某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1

元，其销售量就减少10个.

(1)请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价久元间的函数关系式；

(2)设每月的利润为10000的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利

润，并指出此时书包的售价应定为多少元；

(3)请分析并回答售价在什么范围内商场就可获得利润.

20.(本小题9分)

如图，已知2(-4,0.5),8(—1,2)是一次函数y=kx+6与反比例函数丫=£(爪＜0)图象的两个交点，AC1

x轴于C,BD1y轴于D.

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？

(2)求一次函数解析式及ZH的值；

(3)P是线段4B上的一点，连接PC,PD,若APCA和APDB面积相等，求点P坐标.

21.(本小题12分)

已知抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)顶点为C(l,l)且过原点。.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=。作垂线,

垂足为M,连FM(如图).

(1)求字母a,b,c的值;

(2)在直线尤=1上有一点F(l,4，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时APFM为正

三角形；

(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请

说明理由.

Y=1

22.(本小题12分)

我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图

象上关于原点对称的两点叫做一对点”.根据该约定，完成下列各题.

(1)在下列关于x的函数中，是““函数”的，请在相应题目后面的括号中打,不是““函数”的打

“X”.

①y=2%()；

=)；

③y=3x-1().

(2)若点4(1,771)与点B(?i,-4)是关于x的函数"y=ax2+bx+c(a丰0)的一对点"，且该函数的对

称轴始终位于直线x=2的右侧，求a,b,c的值或取值范围.

(3)若关于％的""函数"y=ax2+2bx+3c(a,6,c是常数)同时满足下列两个条件：①a+b+c=0,

②(2c+b-a)(2c+b+3a)<0,求该函数”截x轴得到的线段长度的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:-2的相反数是2,

故选：A.

根据相反数的定义进行判断即可.

本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提.

2.【答案】B

【解析】解：4与，I不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意.

B、原式=--2=”，计算正确，故本选项符合题意.

C、原式=式3*2=计算错误，故本选项不符合题意.

。、原式=。5'2=小。，计算错误，故本选项不符合题意.

故选：B.

根据二次根式的加减、乘除运算法则，同底数幕的除法运算法则以及幕的乘方与积的乘方计算法则进行解

答.

本题主要考查了二次根式的加减、乘除运算，塞的乘方与积的乘方以及同底数幕的除法，属于基础计算

题，熟记相关计算法则即可解答.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是二次函数图象与几何变换.

根据平移规律：左加右减可得答案.

【解答】

解：根据“左加右减”的规律可知，将函数y=(*-1)2+2的图象向右平移1个单位长度，

所得的图象解析式为y=Q-1一1尸+2,即y=(%-2)2+2.

4.【答案】D

【解析】解：BC//DE,A/IBC为等腰直角三角形，

1

・•・乙FBC=乙EAB=1(180°-90°)=45°,

•・•乙4FC是的外角，

・•.Z.AFC=^FAE+Z.E=45°+30°=75°.

故选：D.

先根据BC〃DE及三角板的度数求出NE4B的度数，再根据三角形内角与外角的性质即可求出N4FC的度

数.

本题比较简单，考查的是平行线的性质即三角形内角与外角的关系.

5.【答案】B

【解析】解：方程/—6久+8=0,

分解因式得：(x-2)(%-4)=0,

可得刀一2=。或乂-4=0,

解得：X1=2,%2=4,

当％=2时，三边长为2,3,6,不能构成三角形，舍去；

当％=4时，三边长分别为3,4,6,此时三角形周长为3+4+6=13.

故选：B.

利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：这组数据中成绩为24、25的人数和为30-(2+3+6+7+9)=3,

则这组数据中出现次数最多的数30,即众数30,

第15、16个数据分别为29、29,

则中位数为29,

故选：C.

根据众数和中位数的定义求解可得.

本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念.

7.【答案】A

【解析】解：根据题意得，％-120且％-3不。，

解得比＞1且久力3.

故选：A.

根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式进行计算即可得解.

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值，函数值是唯一的，而对应的自变量

可以是多个，熟练掌握函数值的定义是解答本题关键.

把y=8直接代入函数y=2)即可求出自变量的值.

【解答】

解：把y=8代入函数y=2),

先代入上边的方程得：X=±76,

1•1%<2,久=不合题意舍去，故x=

再代入下边的方程得：%=4,

­■•x>2,故久=4,

综上，x的值为4或-区.

故选：D.

9.【答案】A

【解析】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比,

所以表述正确的序号是②③；

故选：A.

根据实数的分类和兀的特点进行解答即可得出答案.

此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“兀”的意义是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：过点8作BMly轴、于点M,过点4作加Vlx轴于点N,延长江

交y轴于点。，

设点C的坐标为(l,y),则

•••AC=4,BC=3

OM=3+y,ON=5,

.・.B(L3+y),gy),

,f3+y=fc

,,[5y=k'

**,5y=3+y,

解得，y=%

4

...k=OMxl=-.

故选：D.

过点B作BMly轴于点M,过点力作力N1x轴于点N,延长4c交y轴于点D,设点C的坐标为(l,y),根据反

比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值是个定值作为相等关系求得y值后再

求算由直.

此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向

方轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值.

11.【答案】1.2x104

【解析】解：12000=1.2x104,

故答案为：1.2X104.

科学记数法的表示形式为ax的形式，其中n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，九的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，门是正整数；当原

数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10兀的形式，其中1<|a|<10,几为整

数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

12.【答案】(-2,71)

【解析】解：设点4的坐标为Q,y),

•.•点2在第二象限，它到久轴、y轴的距离分别是，2、2,

\x\=2,|y|=

•.•点力在第二象限，

%<0,y>0,

4坐标为(-2,7^).

故答案为：(—2,，!).

根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，至的轴的距离等

于横坐标的绝对值解答即可.

本题主要考查的是各个象限的点的坐标的符号特点及点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标

的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值.

13.【答案】—2

【解析】解：把y=—久代入方程组得：(2x~3x=\,

—2x=-1

解得:忙=\,

Ik——1

则8kn-8,-8的立方根是-2,

故答案为：-2

由题意得到y=-x,代入方程组求出k的值，即可求出8k的立方根.

此题考查了解二元一次方程组，以及立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

14.【答案】-7或3d-5

【解析】解：根据题意得a=2,b=V11—1—2=—3,

.•.原式=VT1+2(711-3)±1=3/11-6.±1

.♦.原式=3d-7或3d-5.

故答案为：3d-7或3/H-5.

由于3＜，五＜4,则可得到a=2,6=，五一1-2=，五-3,代入所求得式中，然后利用平方差公

式进行计算即可.

本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形，然后利用整体的思想求值.也考

查了无理数的估算.

15.【答案】0或1

【解析】解：有两种情况：

①当m=0时，函数为y=2久+1,

r图象为一条直线，与％轴有一个交点，

.・.m=0；

②当租W0时，y=mx2+2%+1的图象与汽轴只有一个公共点，

令y=0,贝ijzn%2+2%+1=0,

•••4=4—4m=0,

解得：m=1,

故答案为：0或1.

有两种情况：①当m=0时，函数为y=2%+l,是一条直线则与久轴有一个交点，②当7nH0时，贝|

mx2+2%+1=0的4=0即可求得.

本题考查了函数的图象与坐标轴交点的问题，特别是一元二次方程的根的判别式，理解题意，灵活运用所

学知识是解决问题的关键.

16.【答案】解：(1)|-3|-(AA10-1)0+71cos45。+(点一】

=3-1+VIx三+4

=3-14-1+4

=7；

x+2X2-9x

I}%2—6x4-9%+2%—3

_%+2(%+3)(%—3)x

一(%-3)2计2%-3

_%+3x

x—3X—3

__3_

-C

当久=1时，

原式=合=一/

【解析】(1)利用绝对值的意义，零次塞的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幕的意义进行计算即

可；

(2)先把分式进行计算化简，再把x=1代入计算即可.

本题考查了分式的化简求值，掌握绝对值的意义，零次幕的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幕的

意义及分式的化简是解题的关键.

'2x+5<3(x+2)①

17.【答案】解:2x-等<1②

由①)得：x>—1,

由②得：x<3,

不等式组的解集为：—1W久<3.

在数轴上表示为：[1।।।।〉

-2-2-1012345

不等式组的非负整数解为2,1,0.

【解析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，再找出解集范

围内的非负整数即可.

此题主要考查了解一元一次不等式组，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后

再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

18.【答案】(1)40,320；

(2)补全条形统计图如图：

图2

(3)画树状图如图：

开始

N：彳3B

八/N

AABABAABAA

zyxzx3

共有12个等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有6个，

・•・恰好抽到2名男生的概率为盘=

【解析】解：(1)本次调查的学生总人数为4+10%=40(人)；

•••本次抽取调查的学生中，“比较了解”的学生有：40-14-6-4=16(A),

.•・估计该校800名学生中“比较了解”的学生有800x荒=320(人)，

故答案为：40,320；

(2)见答案;

(3)见答案。

⑴用“不了解”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用800乘以样本中“比较了解”的学生

所占的百分比即可；

(2)由(1)知本次抽取调查的学生中，“比较了解”的学生为16人，直接补全条形统计图即可；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式计算.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件力

或B的结果数目小，然后根据概率公式计算事件4或事件B的概率.也考查了统计图.

19.【答案】解：(1)•••每个书包涨价万元，

•••y=(40-30+x)(600-10x),

=-10x2+500x+6000,

答：y与x的函数关系式为：y=-10x2+500%+6000；

(2)vy=­10x2+500%+6000

=-10(x2-5Ox)+6000,

=-10(/-50x+252)+6250+6000

=-10(%-25)2+12250,

.•.当x=25时，y有最大值12250,

即当书包售价为65元时，月最大利润为12250元，10000元不是月最大利润；

(3)解方程-10/+500%+6000=0

得，=60,x2=—1。，

即当涨价60元时和降价10元时利润y的值为0,

由该二次函数的图象性质可知，

当涨价大于60元时以及降价超过10元时利润y的值为负，

所以书包售价在大于30元且低于100元时商场就有利润.

【解析】此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与尤之间的二次函数关系式是解题关键.

(1)根据设每个书包涨价x元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式，

(2)用配方法求出二次函数的最大值即可，

(3)令二次函数等于0,利用二次函数的性质解得x的取值范围.

20.【答案】解：(1)当—4<x<—1时，一次函数大于反比例函数的值；

(2)把4(一4,0.5),代入y=kx+b得,

「"第=严，解得卜?

口+b=2^=|

所以一次函数解析式为y=9+1；

把B(-l,2)代入y=p得m=—1x2=—2；

(3)连接PC、PD,如图，设P点坐标为+

•■•APCA^APDB面积相等，

1II1s

乙乙•(t+4)=乙--1•(2-乙-1-乙,

解得"-全

P点坐标为(―|,|).

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函

数解析式.也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力.

(1)观察函数图象得到当-4<%<-1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方;

(2)先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把8点坐标代入y=/可计算出租的值;

(3)设P点坐标为+|),利用三角形面积公式可得到义.1.(t+4)解方程得到t=

-|,从而可确定P点坐标.

21.【答案】解：(1)抛物线y=ax2+b%+c(aH0)顶点为C(l,l)且过原点。，

可得一?=1,4加-庐=c=0,

2a4a

•••a=—1,b=2,c=0.

(2)由(1)知抛物线的解析式为y=-x2+2x,

故设P点的坐标为(6，一爪2+2m),则M点的坐标(科3，

PFM是以PM为底边的等腰三角形

•••PF=MF,即(nt—I)2+(―m2+2m--)2=(m—l)2+(---)2

313i

•••—7m+2m--=彳r或一7mN+2m--=

4L4Z

①当一zu?+2m--=7时，即-4租2+87n—5=0

4L

•・•△=64-80=-16<0

・•・此式无解

②当一Tn?+2m—7=—/时，即加2—2m=—7

4L4

m=1+苧或m=1一停

I、当m=l+¥时，P点的坐标为（1+苧,»M点的坐标为（1+苧,|）

II、当加=1一个时，P点的坐标为（1—苧,»M点的坐标为（1—苧,|）,

经过计算可知PF=PM,

・•.△MPF为正三角形，

••/点坐标为：（1+苧,》或（1—苧，6

⑶当t=衬，即N与F重合时PM=PN恒成立.

证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H,

在RtAPNH中,

PN2=(%—I)2+(t—y)2=x2—2x+1+t2—2ty+y2,

PM2=(|-y)2=y2_|y+II，

P是抛物线上的点，

Y=1

y=—x24-2x；

cor

•••PN2=l-y+t2-2ty+y2=y2--y+—,

525

・•・1一y+产一2ty+y2=y2--y+—,

移项，合并同类项得：—,y+2ty+2—/=o,

L16

•••y(2t一|)+爆一t2)=0对任意y恒成立.

2t—=0且＞/=0,

216

t=［，

4

o

故t=J时，PM=PN恒成立.

4

・•・存在这样的点.

【解析】（1）由抛物线、=a/+b久+c（a力0）顶点为C（l,l）且过原点。，可得a,b,c的值.

（2）过P作直线尤=1的垂线，可求P纵坐标，知道M、P、F三点坐标，就能求出三角形各边的长.

(3)存在，RtAPNH中,利用勾股定理建立起y与t的关系式，推出t的值，即可得知存在这样的点.

本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性

强，能力要求极高.

22.【答案】解：⑴丁,，X.

(2)A,B是“H点”,

.••4B关于原点对称，

•••m=4,n=—1,

・•・4(1,4),8(-1,-4)