第23章解直角三角形单元测试卷2023-2024学年沪科版九年级数学上册

沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形单元测试卷一、单选题1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，AB=2，那么BC的长等于A． B． C． D．2．在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tan的值为（）A． B． C．2 D．3．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m4．若∠α的余角是30°，则cosα的值是（）A． B． C． D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cos∠B=，则BC=（）A．6 B．8 C．9 D．156．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高为1.55米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地而的距离为（已知，，，，，）（）A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米7．把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切函数值（）A．缩小为原来的 B．不变C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍8．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点O相距30米的点A处，测得楼顶B点的仰角，则这幢大楼的高度为（）A．米 B．米C．米 D．米9．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线，已知甲山AC的坡比为15：8.乙山BD的坡比为4：3，甲山上A点到河边c的距离AC＝340米，乙山上B点到河边D的距离BD＝900米，从B处看A处的俯角为26°，则河CD的宽度是（参考值：sin26°＝0.4383，tan26°＝0.4788，co26°＝0.8988）结果精确到0.01）（）A．177.19米 B．188.85米 C．192.0米 D．258.25米10．如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）A．右转80° B．左转80° C．右转100° D．左转100°二、填空题11．若α为锐角，且tanα=1，则α=度12．已知锐角中，，，则的长为.13．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是．14．如图40-4，ED为一条宽为的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为（即）．因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点作为另一端的固定点．已知吊篮的截面为直径为的半圆（直径），绳子，钢架高度为，距离防洪堤边缘为．（1）西岸边缘点与东岸边缘点之间的距离为．（2）滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点，则的长应大于．三、解答题15．由我国完全自主设计、自主建造的某大型拖船近日完成海上测试.如图，拖船由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东30°方向，且与拖船相距80海里.继续航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的西北方向，求此时拖船与小岛的距离的长（结果保留根号）.16．“2021湖南红色文化旅游节——重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行．该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角，塔顶D的仰角，斜坡米，求宝塔的高（精确到1米）（参考数据：）17．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）18．下图是某大桥的斜拉索部分效果图，为了测得斜拉索顶端距离海平面的高度，先测出斜拉索底端到桥塔的距离（的长）约为米，又在点测得点的仰角为，测得点的俯角为，求斜拉索顶端点到海平面点的距离（的长）．（）四、综合题19．如图所示，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度.（结果保留一位小数）参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，取1.73.20．阅读下面材料，完成后面题目．0°-360°间的角的三角函数在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA=为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为r=（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα=，cosα=，tanα=，cotα=我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．（1）若90°＜α＜180°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪几个？（2）若角α的终边与直线y=2x重合，求sinα+cosα的值．（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα=x，求tanα的值．（4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范围．21．关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．22．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）23．如图，扇形的半径为，圆心角，点是上的动点（点不与点、重合），点、分别在半径、上，四边形为矩形，点在线段上，且．（1）求证：；（2）如图，以为顶点、为一边，作，射线交射线于点，联结，．①当时，求与的面积之比；②把沿直线翻折后记作，当时，求的正切值．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，因为sin=，所以BC=AB·sin=2sin.

【点评】该题较为简单，主要考查学生对三角函数意义的理解和应用，另外，对特殊角的三角函数值要熟记。2．【答案】C【解析】【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故答案为：C．【分析】将α转化为到直角三角形中，利用锐角三角函数的定义求出tanα的值.3．【答案】D【解析】【解答】解：设CD=x，在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，则tan30°=CD：AD=x：AD故AD=x，在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，则tan60°=CD：ED=x：ED故ED=x，由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，解得：x=2，则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．故选D．【分析】设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案．4．【答案】A【解析】【分析】先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】∠α=90°-30°=60°，

cosα=cos60°=．

故选A．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．5．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cos∠B＝，∴，又∵AB＝10，∴BC＝×AB＝×10＝8，故答案为：B．【分析】在Rt△ABC中根据cos∠B的意义，得出，再根据AB＝10，代入即可求出BC．6．【答案】C【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，则BF＝3＋x，∵tan65°＝，∴OF＝xtan65°≈2.1x，∵tan35°＝，∴OF＝（3＋x）tan35°≈0.7（3+x），∴2.1x＝0.7（3＋x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15＋1.55=4.7米.故答案为：C.【分析】过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，则BF＝3＋x，根据正切函数的定义得OF=xtan65°≈2.1x，OF＝BFtan35°≈0.7(3+x)，据此可得x，进而求出OF、OE.7．【答案】B【解析】【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小没改变，∴锐角A的正切函数值也不变．故答案为：B．【分析】由于△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正切的定义得到锐角A的正切函数值也不变．8．【答案】C【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，∠A＝65°，AO＝30m，∴tan65°＝，∴BO＝30•tan65°米．故答案为：C．

【分析】根据锐角三角函数列出算式tan65°＝，再将数据代入计算即可。9．【答案】A【解析】【解答】解：过点A、B分别作CD的垂线段AE、BF，过点B作BF的垂线BM交EA的延长线于M，则得到三个直角三角形；由AC的坡比为15：8，设，在直角中，，，解得；于是；同理可得：；；在直角中，，；，即；；.故答案为：A.【分析】利用正切的定义可计算出AH的值，再利用CD=EF-EC-DF进行计算。10．【答案】A【解析】【解答】解：60°+20°＝80°．由北偏西20°转向北偏东60°，需要向右转．故答案为：A．【分析】将射线BC绕点B顺时针旋转80°可使A、B、C三点共线，据此解答即可.11．【答案】45【解析】【解答】解：∵为锐角，且tanα=1，∴α=45，故答案为：45.【分析】根据特殊角的锐角三角函数值可知tan45°=1，则α的值可求解.12．【答案】【解析】【解答】解：如图，过点A作于点D，设，，，，故答案为：.【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质可得BD=CD，设BD=a，根据三角函数的概念可得AD=3a，利用勾股定理可得AB=a，结合AB=AC=10可得a的值，进而可得BC的值.13．【答案】【解析】【解答】解：∵BC=2，∴AB==3∴AC=故答案为：.【分析】根据锐角三角函数的定义，结合勾股定理，计算得到答案即可。14．【答案】（1）5（2）0.7【解析】【解答】解：（1）如图，连接，，

由题意知，，，，∴；（2）如图，延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，，，是等腰三角形，，，∵滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则至少为米，，，，，设，则，，，，，，故答案为：5，0.7．【分析】（1）连接，，直角利用勾股定理计算即可；（2）延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，然后可得吊篮的总长度，然后证明，根据相似三角形的性质可得，设，表示出PE，GE，PO和AO，然后代入计算，求出x即可．15．【答案】解：过点作，垂足为，所以，.在中，，即，解得：；在中，，即，解得：；答：此时拖船与小岛的距离的长是海里.【解析】【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，在Rt△BAE中，由求出BE的长，在Rt△BCE中，由求出BC的长.16．【答案】解：在中，（米），（米），在中，（米），则，，，（米），答：宝塔的高约为27米．【解析】【分析】根据锐角三角函数求出，，再利用线段的和差可得，最后将数据代入计算即可。17．【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．18．【答案】解：在中，∠ACD=45°．在中，∵米．【解析】【分析】先解直角三角形ADC得出AD的长，然后在直角三角形BDC中求得BD的长，两者相加即可求得AB的长．19．【答案】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DMCN是矩形，∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，∴DN＝AD＝3，AN＝AD•cos30°＝6×＝3，设大树的高度为x，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴DM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△BDM中，，BM＝DM，∴x﹣3＝（3+），解得：x≈12.5.答：树高BC约12.5米.【解析】【分析】过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，易证四边形DMCN是矩形，利用坡度的定义可求出DN的长，利用解直角三角形求出AN的长；设大树的高度为x，利用解直角三角形建立关于x的方程，解方程求出x的值，根据DM=AN+AC，看求出DM的长；然后根据BM＝DM，建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BC的长.20．【答案】（1）解：∵点P（x，y）在第二象限，∴x＜0，y＞0，∵sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，∴sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，cotα＜0，∴取取正值的是sinα（2）解：如图1中，①当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP=a，∴sinα+cosα=．②当点P在第三象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP=a，∴sinα+cosα=．综上所述，sinα+cosα=或．（3）解：如图2中，作PE⊥x轴于E．由题意PE=，cosα=，∴OP=2，∴OE=，∴tanα=．（4）解：当α=0°或90°时，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，当α=45°时，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，∴1≤sinα+cosα≤【解析】【分析】（1）根据点P（x，y）在第二象限可知，x＜0，y＞0，再根据sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，即可判断其符号；

（2）由（1）知，点P所在的象限不同，sinα和cosα的值的符号不同，所以由题意分两种情况讨论求解：①当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E，解直角三角形OPE即可求解；

②当点P在第三象限时，作PE⊥x轴于E，解直角三角形OPE即可求解；

（3）由题意可作辅助线，作PE⊥x轴于E．解直角三角形OPE即可求解；

（4）由题意可知，当α=0°或90°时，sinα+cosα有最小值；当α=45°时，sinα+cosα有最大值，则范围可求解。21．【答案】（1）解：根据题意得△=25sin2A-16=0，∴sin2A=，∴sinA=±，∵∠A为锐角，∴sinA=（2）解：由题意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根，则△≥0，∴100-4（k2-4k+29）≥0，∴-（k-2）2≥0，∴（k-2）2≤0，又∵（k-2）2≥0，∴k=2，把k=2代入方程，得y2-10y+25=0，解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，∵sinA=，∴AD=3，BD=4∴DC=2，∴BC=2．∴△ABC的周长为10+2；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，∵sinA=，∴AD=DC=3，∴AC=6．∴△ABC的周长为16，综合以上讨论可知：△ABC的周长为10+2或16．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根知其根的判别式等于0，从而得出方程求出并根据实际情况得出sinA的值；

（2）由题意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根，故则△≥0，从而得出不等式，根据偶次方的非负性从而求解得出k的值，把k的值代入原方程求解得出y的值，从而判断出△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，根据锐角三角函数的定义及sinA的值，求出BC的长，根据三角形周长的计算方法得出答案；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据锐角三角函数的定义及sinA的值等腰三角形的三线合一求出AC的长，根据三角形周长的计算方法得出答案；22．【答案】（1）解：作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2（千米），AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.9