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文档简介

2024届高三补充作业22《简单几何体.球的内切与外接》

1.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2兀,侧面积分别为S甲和S乙,

体积分别为,和若吃=2,则皆=()

»乙/乙

A.V5B.242C.MD.

4

2.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。,底面的四个顶点均在球。的球面上,则当该

四棱锥的体积最大时,其高为()

A.-B.;C.1D.—

3232

3.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水

库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的

面积为180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为()(近=2.65,棱台体积公式

/ugMs+s'+A7),其中S,分别为棱台的上下底的面积,〃是棱台的高)

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

4.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%,且3V/V36,

则该正四棱锥体积的取值范围是()

'811「2781]「2764]

A.18,--B.—C.—D.[18,27]

_4J144」L43_

5.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为36和4相,所有顶点在同一球面上,

则该球的表面积为()

A.100兀B.12871C.1447tD.192兀

6.如图,四边形4BCD为正方形,ED_L平面4BCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,

记三棱锥尸-/CE的体积分别为匕%题,则()

A.匕=2/B.匕=2匕C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

7.下列命题正确的有

(1)棱柱的侧面都是平行四边形;

(2)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱;

(3)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;

(4)有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.

8.(1)一个棱柱至少有个面,面数最少的一个棱锥有个顶点,顶点最少

的一个棱台有条侧棱.

(2)一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等,则该棱锥不可能是()

A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥

9.若一个平行六面体的各个侧面都是正方形,则这个平行六面体一定是()

A.正方体B.直平行六面体C.长方体D.正四棱柱

10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1:4,母线长10,求圆锥的母

线长___________

11.圆锥轴截面顶角为120°,母线长为1,则求轴截面的面积为,过顶点的圆锥

的截面中,最大截面的面积为

12.一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱,则它们的高的比值

为,母线长的比值为

13.一个正方体内接于一个球(即正方体的8个顶点都在球面上),过球心作一截面,则截

面的图形可能是.

14.将半径为/,圆心角为47r上的扇形卷成一个圆锥的侧面,则过顶点的截面面积的最大值为

3

15.在半径为3的球面上有4民C三点,NABC=90°,BA=BC,球心。到平面45c的

距离是七,则B,C两点的球面距离是

TT

16.在三棱锥N-BCD中,A5CD是边长为2的等边三角形,NABC=NABD=—,

3

AB=3,则三棱锥/-BCD的外接球的表面积为.

17.已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球。的表面上,

AD1^-^ABC,AC=43,BC=1,cosZACB=73sinZACB,AD=2,则球。的

表面积为.

18.已知三棱锥尸―DEE的各顶点都在球面上,PD±ED,EEL平面PDE,DE=4,

EF=3,若该球的体积为必84万,则三棱锥尸-DER的表面积为

3

19.如果球、正方体与等边圆柱(圆柱底面圆的直径与高相等)的体积相等,设他们的表面

积依次为H,邑,邑,那么S],邑,5的大小关系为.

20.已知直三棱柱ABC-481G,AB±BC,AB=3,BC=4,Z4=3,设该直三棱柱的外接

球的表面积为S],该直三棱柱内部最大的球的表面积为邑,则丛.

21.正四棱台4BCD-481GA的下底边长4B=6后,它的内切球半径为3,则正四棱台

的表面积S=.

22.边长为2的正四面体内有一个球,当球与正四面体的棱均相切时,球的体积为.

23.如图所示,正方形/BCD的边长为2,切去阴影部分围成一个正四棱锥,则正四棱锥的侧

面积取值范围为()yfK

A.(1,2)B.[1,2]C.[0,2]D.(0,2)

24.已知四边形4BCD是等腰梯形,

AB//DC,AB=3,CD=6,NADC=60°,梯形ABCD的四个顶点均在半径为2省的球面

上,若S是该球面上任意一点,则四棱锥S-4BCD体积的最大值为.

25.已知点M、N、P、。在同一个球面上,入W=3,NP=4,九。=5,若四面体MAP。的

体积的最大值为10,则这个球的表面积是=

26.(2023全国甲卷理科11题)在四棱锥P-48CD中,底面48CD为正方形,

AB=4,PC=PD=3/PCA=45°,则LPBC的面积为()

A.2^/2B.3V2C.4V2D.5A/2

27.(2023全国甲卷理科15题)在正方体48。。-48£2中,£、/分别为CD、4用的

中点,则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为o

28.棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体,正四面体的中心(正四面体的中心就是

该四面体外接球的球心)与正方体的中心重合,且该四面体可以在正方体内任意转动,则x的

最大值为.

29.已知A、B、C、D是体积为辿5万的球体表面上四点,若AB=4虞=2BC=2、/§,

3

且三棱锥A-BCD的体积为2、回,则线段CE长度的最大值为.

30.四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内,此时正四面体各面与球相切,则这个

正四面体外接球的表面积为.

31.如图所示,在三棱柱43C-4与G中,若E,歹分别为Z8,NC的中点,平

面防。尸将三棱柱分成体积为匕,匕的两部分,则匕:匕=()

A.7:5B.5:7C.3:2D.4:7

32.如图所示五面体A8CDE/的形状就是《九章算术》中所述"羡除"其中48/ADC//跖,"羡

除"形似"楔体广"是指"羡除"的三条平行侧棱之长a,b,c、"深"是指一条侧棱到另两条

侧棱所在平面的距离加、"袤"是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离".已知

a=3,b=2,c=l,m=2,n=2,贝U此"羡除"的体积为.

33.在如图所示的三棱柱中,点的中点M以及的中

点N所确定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分,则小部分的体积和大都分的

体积之比为.

34.如图,圆台。n的轴截面为等腰梯形44与4,44〃4旦,44=24层,4月=2,

圆台。。2的侧面积为6万.若点c,D分别为圆0,。2上的动点且点C,。在平面44与旦的

同侧,一7^

(I)求证:4cIA2C;//\

(2)若/月层C=60°,则当三棱锥C-4/X%的体积取最大值时,求多面小&---

体CD44824的体积.

35.半径为R的球内部装有4个半径相同的小球,则小球半径外的最大值为

36.已知正方体48CD-4与。]。中的棱长为26,其内有两个不同的小球,球9与二棱

锥z-C8]。]的四个面都相切,球Q与三棱锥z-的三个面和球&都相切,则球a

的体积等于,球仪的表面积等于

37.(2023全国甲卷文科16)在正方体45CD—481GA中,48=4,。为ZG的中点,

若该正方体的棱与球。的球面有公共点,则球。的半径的取值范围是.

38.如图,几何体。为一个圆柱和圆锥的组合体,圆锥的底面和圆柱的一个底面重合,圆锥

的顶点为尸,圆柱的上、下底面的圆心分别为a、O2,且该几何体有半径为1的外接球(即

圆锥的顶点与底面圆周在球面上,且圆柱的底面圆周也在球面上),外接球球心为。.

p

⑴若圆柱的底面圆半径为多求几何体。的体积;

(2)若尸a:aa=i:3,求几何体。的表面积.

39.已知一圆锥底面圆的直径是3,圆锥的母线长为3,在该圆锥内放置一个棱长为。的正四

面体(每条棱长都为。的三棱锥),并且正四面体可以在该圆柱内任意转动,则。的最大值

为.

40.在棱长为8的正方体空盒内,有四个半径为『的小球在盒底四角,分别与正方体底面处交

于某一顶点的三个面相切,另有一个半径为五的大球放在四个小球之上,与四个小球相切,

并与正方体盒盖相切,无论怎样翻转盒子,五球相切不松动,则小球半径厂的最大值

为;大球半径五的最小值为.

41.如图,在底面边长为2,高为3的正四棱柱中,大球与该正四棱柱的五/,…为

个面均相切,小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切,也与大球相(;—I;/

切,则小球的半径为___________.

42.已知点邑45C均在半径为2的球面上,A/3C是边长为3的等边三角也一里J

形,S4_L平面4BC,贝!|S4=.------------/

一轮复习补充作业22:简单几何体、球的内切与外接

1.【答案】C

【解析】如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥

母线)为3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为4,々,高分别为4,%,贝U2万4=4万,

2环=2万,则『2,4=1,由勾股定理,得%=布,色=2血,所以

^_3^_A_22xV5

2.【答案】C

【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关,不是一般性,假设底面是

边长为a的正方形,底面所在圆面的半径为r,贝1)r=变4

2

所以该四棱锥的高/z=所以体积

________aaI2a22

_12La2_4a2a2a24丁丁一,

v-r1万一御彳Ri一万艮押—3—)

22A

当且仅当L=1_L,即储=3时,等号成立,所以该四棱锥的高〃=故选C

423

3.【答案】C

2

【解析】由题意Si=140km2,S2=180km,/i=(157.5-148.5)km=9km,代入棱台体积

93

V=^Sl+S2+yfs^)h,公式可得:V«1.4xl0m.故选C.

4.【答案】C

【解析】记三棱锥高与侧棱夹角为0,高为/?,底面中心到各顶点的距离为m,

02.72_o2/iFj

cosd=---------=—G[—,——],贝!JI=6cos<9,m=Z-sin=6sin^cos0,

2x3x/622

2222

h==6sin%s。=6cos2°,S=lx2mx2m=2m,i^V=-S,g-h=-x2mh=144(sin^cos6>),

tan。sm6*底23底3

cosO

.OR1

令y=sin^cos920=sin0(1-sin920)=x(l-x2)=-x3+x,x=sin0e]

y'=-3x2+1,^[XG[—,—),y'<0,XG(—,—],>0,

1

22

即嗑*=144ymJng亭净F*,=144x(^x(1)).

5.【答案】A

【解析】由题意得,上底面所在平面截球所得圆的半径是3,下底面所在平面截球所得圆的半径是4,

则轴截面中由几何知识可得V7?2-32+V7?2-42=1,解得店=25,因此球的表面积是

7.(1)

8.⑴一个棱柱至少有5个面,面数最少的一个棱锥有4个顶点,顶点最少的一个棱台有___4

条侧棱.

⑵D

9.B

10.竺

3

11.(1)—;(2)-

42

12.(1)”目;(2)空+1

23

13.当截面平行于正方体的一个侧面时得(3);当截面过正方体的体对角线时得(2);当截面既不平行

于任何侧面也不过体对角线时得(1);但无论如何都不能截出(4).答案:(1)(2)(3).

2

9rrvK9

14.设圆锥底面半径为r,轴截面顶角为e,则上,于是

I3I3

sin-=-=-<—,从而£<工,.•.过顶点且面积最大的截面就是圆锥的轴截

2/322

,.,.丫1、rc1,9aoc—2155包

面,匕的面积为S=—Isincc=l7sin—cos—=I--------=------1

222339

15.B

16.根据题意画出三棱锥,如下图

由ZABC=ZABD,所以AB直线在面BCD上的身影在底面正三

角形的角平分线BE(E为CD中点),

AEBE=(AB+BE)BE=ABBE+BE2

1_______2.

=AB-(BD+BC)+BE'=0,即面BCD,点F为等边三角形BCD的中心,OF〃AE,球心一定在

OF上,设球半径为R,AB=3,BE=®AE=m,R=J(&-OF)OF-,解得

八2190,1919〃四

R——,S—47rx—=-----,选A.

882

17.由cosNACB=J§sinNACB,根据同角三角函数关系式得sii?NACB+cos?NACB=1,解得

|TT__r—

sinZACB=-,所以C=—,因为4。=也,BC=L由余弦定理AB?=AC?+BC?-2AC-BCcosC

26

代入得45=3+1-2x6x3=1,所以AABC为等腰三角形,且8=120,由正弦定理得AABC外接

2

圆半径R为=2R,解得R=l,设AABC外心为。',00'=〃,过。'作O'MLAZ)

sin120

则在A0'O4中/l2+12=R2,在A0,MD中(2—九『+12=R2,解得R=&

所以外接球面积为S=4万R2=4万=8〃

18.如图所示,因为E/,平面POE,所以EE,EFA.PE,EFLDP,

因为POLE。,EFCDE=E,所以尸平面DE尸,所以尸尸,

设尸产的中点为0,则PO=。9=。£>=。£,所以。为三棱锥尸—DE尸外接球的球

心,由题知I7兀=3万一,解得厂=34,所以PE=J式,

332

F

3

在HADE尸中,DE=4,EF=3,所以DF=4DE?+EF?=5,

在H/AP。尸中,PD=飞PF?-DF?=J34-5?=3,在R公PDE中,PE=yjPD2+DE2=5-

所以三棱锥尸-£>E厂的表面积为

sQtQf_—x3x4H—x3x4H—x3x5H—x3x5—27

DEF+PDE..PDF+PEF~2222.故答案为27.

19.设球的半径为R,正方体的棱长为乐等边圆柱的底面半径为小且它们的体积都为V,

则丫=3尺3=〃=2勿3,解得R=?区,a=W,r=JX,所以H=4万改=4%区)?=的6万仁,

3\4TT丫2%''4万

12

S,=6a2=6(而尸=6护"=#216V2,S3=2兀r+2兀r-2r=6乃/=6^(3/—)=054犷,所以S?>W>岳,

V2式

20.易知Rt^ABC的外接圆直径为AC,所以半径长为设外接球半径为R,则改=1:+(目2=]

5=4兀代=34无,设RtAASC的内切圆半径为厂,贝!]gx(3+4+5).r=;x3x4,?.r=\,V2r=2<3,

S347r17

故该直三棱柱内半径最大的球的半径为「,.•.邑=4b2=痴,.•.寸=二一=不

〉24兀Z

(1)如图,做该正棱台的轴截面,」.GNE中,GN=3,NE=3y/3,ZGNE=9O°,

所以GE=6,NGEN=30",根据对称性,ZQEG=30°,故NQEN=60",NMPQ=120",所以

ZMPG=60°,GM=3,.=K,正四棱台上底面是一个边长为2省的正方形,

gS表.3=、[(2后+(6后+JQ后了.(6后],即S表=,(12+108+J12xl08)=g(120+36)=40+12=52

22.结合正四面体的性质:球心在正四面体的体高上,且为外接球的球心,如下图:

4

取球心O,若则。。即为球的半径,而。为底面中心,面ABC,若E为BC中点,则

AE=PE=6/•PO'=,PO=—,AO'=M,由RL.PAO

323

POOD,V2球的体积为3万。加二包万

---;,故OD=—,

PAAO'233

23.设四棱锥一个侧面为三角形AP。,乙4尸。=尤,

则AH=;xPQxtanx=AC-PQ242-PQ=V2-1P2,

22

2^2.yfltanx:

PQ=-------,AHTT=-----------,.S=4x^xPQxAH=2xPQxAH

1+tanx1+tanx

=2x2xatanx8tan%£工

2,xG上

1+tanx1+tanx(1+tanx)4'2

8

„8tan%8tanxJ=2TC

・■3=--------------------?--------------17+7,(当且仅当tanx=l,即x=*取等

(1+tanx)21+tanx+2tanx——+tanx+2

tanx

号)而tanx>0,故S>0,•.•S=2时,三角形APQ是等腰直角三角形,顶角/R4Q=90。,阴影部分不存

在,折叠后A与。重合,构不成棱锥,,S的范围为(0,2).

5

25.由MN=3,NP=4,MP=5,可得“解+册>2=加尸,所以/PNM=90。,则球心。在过PM中点。与面

MAP垂直的直线上,因为MNP面积为定值,所以四面体的高最大时体积最大,根据球的几何性

质可得,当O0过球心时体积最大,因为四面体Q-MNP的最大体积为10,所以

|X5MJVPXG>'2=1X|X3X4XO12=10,可得00=5,在&OOP中,

M

7575

师=叱+。尸,所以小…)3,得所以球的表面积为

25|2625万

47rx।16

26.如图所示,取AB,CO的中点分别为M,N,因为AB=4,所以MN=4,AC=4&.

又PC=PD=3,过尸作PO1平面A8CD,贝!JOeMN,连接PN,OA,OC,

则PN1CD,PN=V32-22=6.

令ON=x,贝l]PO2=5—f,OA2=4+(4-x)2,

R42=32+尸。2=4+(4—X)2+5—;?=25—8X.

人n.crpyi.,/rm”.mi、i“u°AC~+PC~—PA^32+9—(25—8x)A/2

在△PAC中,因为NPC4=45,所以cos45=-----------------------=-----------=-------.

2ACPC2x4V2x32

解得x=1则ON=1,产。=2.过。作0H_L3C,垂足为连接PH,则OH=2,PH=2A/L

所以S/^BC=gxBCxPH=gx4x20=4立故选C.

27.如图所示,EF=^AB,所以球。是正方体ABCD-45GA的棱切球,即球

。与每条棱都有一个公共点,故填12.

28.由题意得,该正四面体在棱长为6的正方体的内切球内,故该四面体内接于球时棱长最大,

因为棱长为6的正方体的内切球半径为R=3,如图,设正四面体尸-ABC,。为

底面ABC的中心,连接尸0,则尸底面ABC,则可知CO=^x,正四面体的

3

^PO=—x,O'P=O'C=3,利用勾股定理可知(如x-31+(立尤]=32,

333

解得:x=2指,故答案为:2指

29.因为球的体积为必5»,故球的半径R满足生叵万=切&,故氏=右,

333

6

而AB=4,AC=2,8C=26,故AB?=AC?+8C?,故=故S

设3到平面ABC的距离为〃,则;x〃x2g=2石,故/z=3,故。在球

面的截面圆上,设截面圆所在的平面为。,当々与平面ABC在球心的异

侧时,DC有最大值,设球心到平面ABC的距离为d,而AACB外接圆

的半径为;A3=4,则~=52=1,故球心到平面£的距离为2,故截

面圆的半径7^4=1,设O在平面ABC上的投影为E,则E的轨迹为

圆,圆心为ABC的外心即AB的中点,当CE最长时CD最长,此时CE=2+1=3,故CD长度的最大值为

3vL故答案为:3也.

30.如图1所示,正四面体ABC。中,48,底面BCD,E、F、G、K为四个球的球心,M为CD中点,连

接BM,AM,易知8、H、M三点共线,直线A”交平面EFG于点口,连接E/九交GF于点N,则N为

GF的中点,因为内切球半径为2,故瑁三4,画出截面ABM如图2所示,正四棱锥EFGK外接球球心设为

O,则正四面体ABCD的外接球球心与正四面体EFGK外接球球心重合,设正四面体ABCD的外接球半径

为R,正四面体EFGK外接球半径为广,在图2中,EK=4,EN=26,EH.=-EN=^~,

133

KH尸还,所以OH1=迪一厂,由。员=0伐2+瓦彳,即产=±/f_r+速,解得:丫=瓜

33

所以0区=竺一r=/,过点E作EPLBM于点尸,则EP=2,则

OEOHV6

・・・亍二^^,V6行,解得:BE=6,:.R=OB=BE+OE=6+y/6

BEEP-=---

BE2

:.正四面体ABCD的外接球表面积5=4TTR2=(168+48力,

7

31.7:5

(方法一)设三棱柱的体积为V,则

VV=Vy+Vv=vy+Vv+vy=——V+-V+—v=——V,

1\-AEF丁Ai-EFQBi\-AEF丁\-EC^丁-EFCX]23612

V2=Q,.•.■:%=7:5

(方法二)

上下底面面积为s.体积为V,则V=M+%=SA,•••E、F分别为AB、AC的中点,...S3

Vi=-1/1(S+^-S+yS)=.SVV2=9i-V,=^Sh,V,«V2=7i5)

32.如图1,将该几何体分成一个三棱柱尸。石-8叱与一个四棱锥E-APQD,

%-AP8=*(-2-2=2,如图2,将三棱柱尸QE-2C尸进行割补,使得新三棱柱PQR-3CE是高为1的直

三棱柱匕磔一曲=匕3生£=,221=2.;.几何体的体积为4.故答案为:4

33.设平面AMN与棱AC交点为。,则A0=2DG,(可先补成四棱柱,如

图易得结论

VM_DNB炉》用/1%—AAM-=%-4海乌=3S_MB'%_1

!9

-----------=-------------=—vv3133

VS-2h36ABc-AiBlci_v—SAs--h°

'ABC—AMG2M14G2C-AyABBi2A玛2'

1113

所以上部分几何体体积%_£>N5]+%—AAMB]=(公+§)匕5C-44G=公匕3C—i4]5|Cj

8

因此小部分的体积和大都分的体积之比为13:(36-13)=13:23,故答案为:13:23

34.(1)设圆0],圆。2的半径分别为人2r,因为圆台的侧面积为6

所以6乃=gx2(29可得r=l.因此,在等腰梯形444月中,

44=244=4,44=2,on=可不下=也口=也加演连

接线段QQ,QC,Q。,在圆台。1。2中,002,平面4cB2,qcu平

面4cB2,所以•又qc=i,所以在直角,。ICQ中,

CQ=[gy+i=2.在,中,CQ=;AA,故NAS=90°,即

4C±A,C,

⑵由题意可知,三棱锥c—的体积为021s△4“=/同4|40,

又在直角三角形中,+=4也=1622|4臼4。|,所以当且仅当

|4。|=|4。|=20,即点D为弧A4的中点时,匕/5有最大值半.过点c作。0,。田2交

于点M,因为。1。2,平面用黑,CMU平面4cB2,所以O]Q,CM,OQu平面44月4,

q4u平面44月4,O]Qcq与=q,所以CM,平面4444•又/员。1。=60°,则点c到平

面4&外用的距离CM=5,所以四棱锥C—44与4的体积VC_MM=1x^x|x(2+4)xV3=|.

综上,当三棱锥C-A%体积最大值时,多面体v=%.4»&+匕一4A亚4=§百+]

35.由题意,四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时,这些小球的半径最大,以四个小球球心为

顶点的四面体棱长为2r,该四面体的中心(外接球球心)就是大球的球心,该正四面体的高为

一4+呼产,

,设正四面体的外接球半径为无,则有必=

x=®R^r+rr=^=尺=可廿R=52).

解得2,所以2,所以3+V69-6

9

36.因为正方体抽。-436"的棱长为26,所以三棱锥4-€:4月是边长为2面的正四面体,。4。

的高为3也,设底面CBR的中心为0,连接CO,则C。=|x3a=20,

AO=724^8=4,则球已是三棱锥4-M4的内切球,设其半径为&则有

匕-CBQ,=§*SCB.D,xAO=4x-xSCB|D|xR],所以N=^40=1,

4

所以球Q的体积为又球Q与三棱锥A-CBQ的三个面和球日都相

切,则设平面MNP//平面C4R,且球Q和球。2均与平面MN尸相切于点£,如

图所示,则球。2是三棱锥A-MNP的内切球,设其半径为4,故AE=40-2凡=2,

114

因此在正四面体A-MAP中,&=]所以球。2的表面积为万,故答案为:§万;万.

37•【解析】设球的半径为R.当球是正方体的外接球时,恰好经过正方体的每

个顶点,所求的球的半径最大,若半径变得更大,球会包含正方体,导致球面

和棱没有交点,正方体的外接球直径2R为体对角线长

AC1="2+42+42=43即2尺'=46,尺'=2石,故氏3=2后;

分别取侧棱A4,B4,CG,D〃的中点M,",G,N,显然四边形MNGH是边长为4的正方形,且。为正方

形的对角线交点,连接MG,则MG=4拒,当球的一个大圆恰好是四边形"NGH的外接圆,球

的半径达到最小,即R的最小值为2vL综上,尺©[20,26].故答案为[2a,26].

38.

10

⑴如图可知,过尸、。1、。2的截面为五边形A3c打入其中四边形A3CD为矩形,三角形CPQ为等腰

三角形,PC=PD,在直角,oqo中,OD=1,则0。1=

2

2

故圆锥的底面半径为高为。|尸=|一:=;’其体积为1

X—=

2

圆柱的底面半径为9,高为O02=2X;=1,其体积为万/)xl=7,

所以几何体。的体积为3一7r7T77T

488

2/z2h3

(2)若尸Qi:QQ=l:3,设002=2",则尸。1=§,故7+。=1,/./2=1

34

在直角益0。1。中,

OD=1,00x=—,则OQ=

5

42

故圆锥的底面半径为高为。/=不,其母线长为

圆锥的侧面积为万

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