第21章 一元二次方程 人教版数学九年级上册培优测试(含解析)

一元二次方程培优测试一、单选题（共50分）1．（本题5分）若ab≠1，且有5a2＋2018a＋9＝0及9b2＋2018b＋5＝0，则的值是(

)A． B． C．－ D．－2．（本题5分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④3．（本题5分）如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是（）A．k≥-1且k≠0 B．k>-1且k≠0C．k≥1 D．k>14．（本题5分）已知是一元二次方程较大的根，则下列对值估计正确的是(

)A． B． C． D．5．（本题5分）关于x的方程，给出下列四个题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根其中假命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（本题5分）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（）A． B． C． D．7．（本题5分）已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（

）①，，，是该四元方程的一组解；②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解；③若，则该四元方程有15组解；④若，则该四元方程有504组解．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（本题5分）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为A． B． C． D．9．（本题5分）已知是关于的一元二次方程的两实数根，则代数式的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（本题5分）若关于的方程恰有三个根，则的值为（

）A． B．或 C．或 D．或二、填空题（共50分）11．（本题5分）如果对于分式，存在两个数使分式没有意义，则m的取值范围是．12．（本题5分）若方程的两个实数根为，，则的值为．13．（本题5分）已知为实数，则的最大值为．14．（本题5分）已知a是方程一个根，则的值为．15．（本题5分）若关于x的一元二次方程（a的两根为，其中，且满足，则a的取值范围是．16．（本题5分）已知实数满足：．求的最小值17．（本题5分）若实数x满足，则的值是．18．（本题5分）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有个．19．（本题5分）如图，在等边三角形中，D是的中点，P是边上的一个动点，过点P作，交于点E，连接．若是等腰三角形，则的长是．20．（本题5分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且．（1）下列说法正确的有．（将正确选项的序号填在横线上）①若，则；②；③若，则；④若，则．（2）某数学兴趣小组为了增加此题的趣味性，将题目改成：若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，其中，，均为整数，则的最小值为．三、解答题（共50分）21．（本题13分）已知方程①，和方程②(1)若方程①的根为，，求方程②的根；(2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根；(3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值．22．（本题17分）如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．

(1)当时，四边形面积是______(2)当t为何值时，点P和点Q距离是？(3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．23．（本题20分）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值．参考答案：1．A【来】浙教版数学八年级下册第二章一元二次方程单元检测【分析】在方程9b2＋2018b＋5＝0两边同时除以b2,得到的形式与5a2＋2018a＋9＝0比较,可以得到a与是方程5x2＋2018x＋9＝0的两个不相等实数根,根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】根据9b2＋2018b＋5＝0可得:b≠0,在方程9b2＋2018b＋5＝0两边同时除以b2,得:,又5a2＋2018a＋9＝0,ab≠1,即,∴a,是方程5x2＋2018x＋9＝0的两个不相等实数根,根据根与系数的关系可得:,即.故选A.【点睛】本题既考查了对一元二次方程的掌握,又考查了代数式求值的方法以及正确运算的能力.熟练掌握根与系数的关系的关系是解答本题的关键，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，.2．D【来】2019届九年级第一学期苏科版综合评估数学检测试题（第一、二章_一元二次方程圆）【分析】①根据根的判别式即可作出判断；②方程有两个不等的实数根，则，判断方程也一定有两个不等的实数根，只要证明方程的判别式的值大于0即可；③若是方程的一个根，则代入即可作出判断；④若是方程的一个根，即方程有实根，判别式，结合是方程的根，代入一定成立，即可作出判断.【详解】①因为，，所以①、异号，所以，所以方程有两个实数根；②若方程有两个不等的实数根，则，所以方程也一定有两个不等的实数根；若，则方程为一次，没有两个不等实数根；③若是方程的一个根，当时，不一定成立；④若是方程的一个根，所以有，即，而所以①④成立.故选：.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，此考点一直是中考中的一个经久不衰的老考点.3．A【来】山东省青岛市黄岛区第六中学2019届九年级数学上册第一次月考试卷（十月_第1-3章）【分析】根据一元二次方程的根与判别式△的关系结合一元二次方程的定义解答即可.【详解】根据题意得：△≥0且k≠0，则b2-4ac=4-4k×（-1）=4+4k≥0，∴4k≥-4，∴k≥-1，∴k的取值范围是k≥-1，k≠0，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．4．B【来】2014年人教版初中数学九年级上第二十二章22.2练习卷【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【详解】解方程得∵是一元二次方程较大的根，∴，∵，∴，∴.故选B【点睛】此题考查估算无理数的大小、解一元二次方程-公式法，解题关键在于对无理数得估算.5．A【来】【新东方】【2022】【新高一】【分班考】【77】【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可．【详解】解:时，或方程化为：①时，方程化为：②当，即时，方程①的根为：方程②的根为：分析可得时，即：时，有5个不相等的实根时，则中，不符合题意，故有2个实数根中，，均不符合题意故时，有2个实数根共有8个不相等的实数根当，即时，方程①的根为：，方程②的根为：，故共有4个不相等的实数根当，即时，方程没有实数根综上，方程可能有个、个、个、个实数根故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键．6．C【来】湖南省衡阳市衡南县第一中学2022-2023学年九年级上学期五科联赛数学试题【分析】令，则，代入进行变形整理得到，再求出，得出，求出的解集即可解答；【详解】解：先令，则，代入可变形为：，整理得，则，即，由即：(i)，或(ii)，由(i)解得：，由(ii)解得：无解；∴的解集为：，故取最大值，此最大值为；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程和根的判别式，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程由两个相等的实数根；，方程所有实数根；同时运用解决函数图象交点的个数问题和一元二次方程的解法是本题的关键．7．B【来】重庆市西南大学附属中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题【分析】将数值代入方程，判断①，设四个连续的奇数分别为，代入方程判断②，利用配方法将方程转换为：，得到当时，方程成立，判断③和④．【详解】解：把，，，，代入方程，得：，方程的左边等于右边；故①正确；设四个连续的奇数为，代入方程得：方程左边等于，方程右边左边不等于右边；故②错误；∵，∴，∴，∵，∴当时，方程成立，且m，n，p，q为正整数时：当时，，为别为：或或或或共5组方程的解；当时，，为别为：或或或共4组方程的解；当时，，为别为：或或共3组方程的解；当时，，为别为：或共2组方程的解；当时，，为别为：共1组方程的解；综上：当时，共有组方程的解；故③正确；由③可知：当时，方程成立，∵，∴，∴，∴满足条件的两个不相等的正整数的组数共有组，又∵，∴这一组数不是方程的解，∴共有503组解；故④错误；综上：正确的是①③，共2个；故选B．【点睛】本题考查方程的解和因式分解的应用，解题的关键是利用配方法将方程转换为．本题的难度较大，属于选择题中的压轴题．8．D【来】湖北省襄阳市四中、五中2022-2023学年自主招生数学试题【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论．【详解】解：方程有两个根和，，，设方程的两根为，，则，，，，，方程的两根为，，，，，，，，，方程的较小根的范围为．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系．9．A【来】山东省日照市五莲县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题【分析】首先根据二次根式的性质以及关于的一元二次方程有两个实数根，可列出关于的不等式组，求解即可获得的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系可得，；设，求得关于的函数解析式，然后根据二次函数的图像与性质解得的取值范围即可．【详解】解：根据题意，是关于的一元二次方程的两实数根，∴，解得，又∵，，设，∴，∴此关于的函数图像开口向上，对称轴为，∵，∴当时，可有，当时，可有，∴的取值范围是．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、二次根式的性质、解不等式组、一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的图像与性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．10．B【来】第13届“枫叶新希望杯”全国数学大赛初中试卷九年级A卷【分析】先化简绝对值方程为两个一元二次方程①和②，再分三种情况讨论：（1）方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；（2）方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；（3）两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根．针对每种情况分别利用根的判别式列出方程或不等式求解并验证，即可得到答案．【详解】，或，整理得①或②，设方程①的判别式为，方程②的判别式为，若原方程恰有三个根，则有三种可能：（1），，，此时，，或，解得，或，满足题意的t的值是；（2），，，当时，，或，解得，或，，，但，不满足题意，舍去；（3），且两方程恰有一个相同的根，，，设相同的根为，则，解得，，当时，，解得或或，符合题意；当时，，解得或或，但此时，三个解均不合题意，舍去；综上所述，的值为或．故选B．【点睛】本题考查了解绝对值方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解方程恰有三个根的含义是解答本题的关键．11．【来】第八届“枫叶新希望杯”全国数学大赛八年级试题（B卷）【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，理解分式有意义的条件是解题的关键．由存在两个数使分式没有意义，则对于的判别式，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵分式，存在两个数使分式没有意义，∴有两个解，∴，解得：，∴当时，存在两个实数使原式没有意义．故答案为．12．【来】四川省成都市青羊区树德实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题【分析】题考查的是一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．将代入方程可得，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算．【详解】解：∵为方程的实数根，∴，即，∴∵方程的两个实数根为，，∴，∴．故答案为：．13．2【来】第13届“枫叶新希望杯”全国数学大赛初中试卷九年级A卷【分析】本题考查二次根式有意义的条件和配方法，掌握被开方数为非负数和配方法是解题关键．先确定x的取值范围，然后利用配方法分析其最值．【详解】解：由题意可得，解得，令，则==∵∴的最大值为4，∴y的最大值为2，即的最大值为2．故答案为：2．14．2023【来】四川省广安市邻水县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案．【详解】解：∵a是方程一个根，∴，∴，∴，故答案为：．15．或【来】2022年安徽省宣城市第六中学中考模拟数学试题【分析】根据根与系数的关系以及二次函数性质即可求出答案．【详解】∵关于x的一元二次方程（a，的两根为，∴，整理得：∴或，∵∴∴，解得∵∴，∵可以看成抛物线与轴交点横坐标，∴当时，抛物线开口向下，由，可得当时，即，解得，此时；∴当时，抛物线开口向上，由，可得当时，即，解得，此时；综上所述，或．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是把可以看成抛物线与轴交点横坐标，转换成二次函数．16．6【来】江苏省南通市海门区海门区东洲国际学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题【分析】用分类讨论的思想，解决问题即可．【详解】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即，，由题设知，且，，于是b，c是一元二次方程的两实根，∴，即，所以．又当，时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设，，，则，∵，故，当，时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于竞赛题目．17．5【来】四川省南充市仪陇县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题【分析】根据方程特点设，则原方程可化为，接下来解一元二次方程求y，即为的值，最后验根即可解答．本题属于换元法解方程的问题，关键是掌握这类问题的求解方法．【详解】解：方程整理得：，设，则原方程变形为：，，，，当时，，，，则，故答案为：518．3【来】第13届“枫叶新希望杯”全国数学大赛初中试卷九年级B卷【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根，∴且，解得且，∴方程的根为，根据根与系数的关系可得，，且为正整数，∴，∵为完全平方数且为正整数，∴或或，解得或6或13，即满足条件的共有3个，故答案为：3．19．或或．【来】2021年江西中考数学最新模拟示范卷（二）【分析】过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为G、F，根据△PDE是等腰三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可．【详解】解：过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为G、F，∵AB=8，∠A=60°，D是的中点，∴AG=，，同理，CF=2，，设BP为x，同理可得，BE=2x，PE=，PG=6-x，EF=6-2x，当DP=PE时，，解得，（舍去），；当DP=DE时，，解得，（舍去），；当DE=PE时，，解得，（舍去），；故答案为：或或．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等，解题关键是熟练对等腰三角形分类讨论，利用勾股定理列出方程．20．①③5【来】2021年湖北省武汉市洪山区华中师大一附中自主招生数学试题【分析】（1）根据根与系数的关系即可判断①，分为和两种情况，分别将，表示出来，相加即可判断②，由得出的范围，由二次函数图象的性质可得，，时的范围，即可判断③，利用根与系数的关系将等量关系化为关于，的式子，即可判断④；（2）把“根分布”条件转换为对二次函数系数的限制，由，，均为整数，可以通过从小到大列举的值，判断取不同值时、是否满足条件，进而得到的最小值．【详解】解：（1），，，故①正确；，，，，，当时，，，当时，，，故②错误；，，，，，，当时，，，当时，，，当时，，，，，，，故③正确；，，，，，，，，，或，故④错误；故答案为：①③；（2）关于的方程有两个不相等的实数根，，△，，当时，，当时，，对称轴，，，，，当时，，，，，均为整数，没有满足条件的，当时，，，，，，，没有满足条件的，当，时，，，，，没有满足条件的，当，时，，，，，没有满足条件的，当，时，，，，，没有满足条件的，当，时，，，，，没有满足条件的，当，时，，，，，没有满足条件的，当，时，，，，，符合条件，的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查绝对值的分类讨论，根与系数的关系，根的判别式等知识点，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质，根与系数的关系，根的判别式的内容．21．(1)，(2)见解析(3)【来】【2022】【初二下】【启正】【开学考】【数学】【徐娴静收集】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程解得意义，当、是一元二次方程的两根时，，，解题的关键是掌握根与系数的关系．（1）根据一元二次方程的解的意义即可求得、的值，即可得到方程②，然后利用配方法解方程②即可；（2）根据方程的定义得到，两边同时除以得：，即可得证；（3）根据题意得，利用根与系数的关系得到：，，进而得到，，可得，即可求解．【详解】（1）的根为，，，解得：，方程②为：，，；（2）当方程①有一根为，，两边同时除以得：，是的根，是方程②的根；（3），，方程①的根是