2022-2023学年广东省重点学校三校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省重点学校三校联考高二（下）期末数学试

卷

一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合2={%|乂2—2xW0,xeZ},B={x\—2<x<2},则AnB=()

A.[-1,0]B.[0,2）C.{0,1}D.{1,2}

2.设复数z满足z（l-i）=2+i,则复数z的共轨复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（口一》9的展开式中的常数项为（）

A.64B.-64C.84D.-84

4.要得到函数/（%）=为讥2x+?cos2x的图象，只需把函数gQ）=cos2x的图象（）

A.向左平移*个单位长度B.向右平移:个单位长度

C.向左平移工个单位长度D.向右平移工个单位长度

5.如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地

图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不颜色可供选用,

则不同的涂色方案数为（）

A.480B.600C.720D.840

一一.，S4p0.2511.

6.已知Q=一b=——,c=-f则（）

454D

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

7.已知双曲线C：/一《=i的左、右焦点分别为F「F2,设点P为C右支上一点，P点到直

线x=2的距离为小过尸2的直线，与双曲线C的右支有两个交点，则下列说法正确的是（）

A.d+|P0|的最小值为2

B.早3

C.直线/的斜率的取值范围是(4,+8)

D.APaF2的内切圆圆心至Uy轴的距离为1

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

8.已知向量落后满足|五|=5,=6,a-b=-6,贝l]cos<N,a+b>=.

9.在正四棱台ABCD-Ai/GDi中，上、下底面边长分别为3，至、4，五，该正四棱台的外

接球的表面积为100兀，则该正四棱台的高为.

10.已知抛物线/=2py(p>0),焦点为尸，过定点(0,1)且斜率大于0的直线交抛物线于4,

B两点，04L0B,线段的中点为M,则直线MF的斜率的最小值为.

11.对Vx,yeR,函数/(x,y)都满足：①f(0,y)=y+l；@/(x+1,0)=/(%,1)；③f(x+

Ly+1)=f(x,f(x+l,y))；则/"(3,2023)=.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

12.(本小题10.0分)

已知锐角AABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c；且幽等2=sin(4；c).

cosBcosC

(i)若角a=(求角B；

(2)若asinC=1,求今+宏+,的最大值.

13.(本小题12.0分)

如图，三棱柱48。-4/1。1中，AB=BC=BrA=BrC,。是AC的中点，ABr1BD.

(1)证明：B/1平面ABC；

(2)若4B=，五，点/到平面4CC14的距离为?，求三棱锥前-4通也的体积.

B

14.(本小题12.0分)

正数数列｛。九｝,｛b九｝满足的=8,瓦=16,且％!，bn,。九+1成等差数列，bn,an+1,b九+1成

等比数列.

(1)求｛a九｝,｛b九｝的通项公式；

(2)求证：尚+涡+，”+曲〈全

15.(本小题12.0分)

在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题(都是四个选项

)两种：

(1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项

选择题随机猜测的概率分别是工.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求

他会这道单项选择题的概率；

(2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选

择，他选择一个选项、两个选项、二个选项的概率分别为0.5,0,3,02已知多项选择题每道

题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分

.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为X,求X的分布列

及数学期望.

16.(本小题12.0分)

已知椭圆C：m+^=l(a>b>0)的离心率为〃i，4分别为椭圆C的左右顶点，&,尸2分别

为椭圆C的左右焦点，B是椭圆C的上顶点，且的外接圆半径为守.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设与久轴不垂直的直线/交椭圆C于P,Q两点(P,Q在x轴的两侧)，记直线为P,A2P,A2Q,

&Q的斜率分别为七，k2,七，k4.

(i)求自力2的值;

(ii)若向+%=|出+七)，则求△F2PQ的面积的取值范围.

17.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=eax,g(%)=kx+a,其中a>0,kER.

(1)当k=a=l时，求函数y=的最大值；

(2)是否存在实数k,使得只有唯一的a,当％>0时，/(%)2g(x)恒成立，若存在，试求出K

a的值；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由集合a={x\x2-2x<0,xEZ）={0,1,2},B=（x\-2<x<2},

所以4rB={0,1}.

故选：c.

先求得a={0,1,2},结合集合的交集的概念及运算，即可求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由足z（l—i）=2+i,得z=*◎优;=T+|i,

-13.

Z=2~21'

则Z的共轨复数在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限.

故选：D.

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出5的坐标得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：展开式的通项公式为图+1=马（，G）9-『（一31『=舄•（一1）69—丁3r,

令支券=0,解得r=3,

则展开式的常数项为C>（-1）3=—84,

故选：D.

求出展开式的通项公式，令x的指数为0,由此即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：/(x)=1sin2x+ycos2x=cos2xcos^+sin2xsin^=cos(2x—=cos2(x—工)，

即只需把函数g(x)=cos2久的图象向右平移工个单位长度，即可得到/(X)的图象.

故选：D.

利用辅助角公式进行化简，根据函数角的关系进行求解即可.

本题主要考查三角函数的图象变换，先利用辅助角公式进行化简，然后利用角的关系进行求解是

解决本题的关键，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，

首先涂一个陕西，有5种结果，再涂湖北省，有4种结果，

第二步涂安徽，分类若安徽与陕西同此时江西有三种，再湖南有三种，即5x4x1x3x3=180

若安徽与陕西不同，则安徽有三种涂法，江西，湖南也各有三种涂法，即5x4x3x3x3=540

二共有5x4(1x3x3+3x3x3)

故选：C.

本题是一个分步计数问题，首先涂一个陕西，有5种结果，再涂湖北省，有4种结果，第二步涂安

徽，分类若安徽与陕西同此时江西有三种，再湖南有三种，若安徽与陕西不同，则安徽有三种涂

法，江西，湖南也各有三种涂法，根据计数原理得到结果.

本题考查分步计数原理，对于计数原理的应用，解题的关键是分清事情分成几部分，注意做到不

重不漏.

6.【答案】A

【解析】解：a=—=jlnp

4544

^0.25411

b=——=—e=e^lne^9

44

设/(%)=xlnx,

1

/'(%)=Inx+%--=Inx+1,

令f'(x)=。得％=，，

所以在(0,3上/'(%)<0,/(x)单调递减，

在(，+8)上(。)>0,/(%)单调递增,

因为工<-<g4,

e4

所以〈/(。句，

所以gin?<e^lne^f

44

所以a<b,

1111

c=-=Ine^=ln(e4)3,

b=eMne4=ln(e4)e?,

因为11>1,

所以(e浦〉(1/

所以ln(e前>In(［产

所以c>b,

所以a<b<c,

故选：A.

根据题意可得口=打,，b=赢茄，设/㈤=x"x，求导分析单调性，进而可得a与b的大小关

系，又c=ln(e4)3，b=ln(e白)^>e5>1，可得b与c的大小关系，即可得出答案.

本题考查数的大小关系，解题中需要理清思路，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：4由题设及下图知：当P与右顶点重合时，d+|P6|最

小为(a—今+a+c=3.5,错；

B：令P(x,y)且则四=&-2,+y2=q/4x+l=在==

乙dy--y--y--

入222

2,错；

C：由渐近线方程为y=±?x,过F2的直线与双曲线C的右支有两

个交点,

结合图知：直线/的斜率的取值范围为(—8,-子)U((,+8),错；

0：若内切圆与APF/z三边相切于C，O，E,如下图，则|P0|=\PE\,\FrD\=\FrC\,\F2E\=\F2C\,

又|PFi|-IPF2I=2a,即|&D|+\PD\-\FTC\-\PE\=|&C|一|F2cl=2a,

由|&C|=a+c,\F2C\=c-a,即C与右顶点重合，易知△P&F?的内切圆圆心到y轴的距离为1,

对.

故选：D.

数形结合判断4；令P(x,y)且刀2微应用两点距离、点线距离及点在双曲线上列式化简判断B；

结合双曲线渐近线及直线与双曲线交点情况确定直线斜率范围判断C；利用双曲线定义及内切圆

性质确定圆心横坐标，即为双曲线右顶点横坐标判断，

本题考查了双曲线的性质，属于中档题.

8.【答案】||

【解析】M：■.■\a\=5,\b\=6,a-b=-6,

2222

•••a•(a+b)=a+a-K=5-6=19，\^+b\=J(a+b)=Ja+b^+2a-b=

V52+62—2x6=7,

a-(a+5)19

••・cos<a,a+b>=

|a|x|a+S|而'

故答案为：

利用cos<aa+b>=:求解,

t|a|x|a+o|

本题考查了利用向量的数量积求向量的模及夹角，属于基础题.

9.【答案】1或7

【解析】解：设正四棱台的外接球的半径为R,则4TTR2=IOO兀，解得R=5,

连接4C,8。相交于点E,连接&Q,B/i相交于点P,连接EF,

则球心。在直线EF上，连接OB,OB1，

如图1,当球心0在线段EF上时，

图1

则。8=。/=R=5,

因为上、下底面边长分别为3/至、4<7,

所以BE=4,B#=3,

由勾股定理得OF=J。用—B/2=4,OE=VOB2-BE2=3,

此时该正四棱台的高为3+4=7,

如图2,当球心。在FE的延长线上时，

图2

22

同理可得。F=JOB]-B/2=4,OE=VOB-BE=3,

此时该正四棱台的高为4-3=1.

故答案为：1或7.

求出外接球半径，找到球心的位置，分球心。在线段EF上和在FE的延长线上两种情况，求出高.

本题考查棱台的结构特征，属于中档题.

10.【答案】A/-6

【解析】解:设直线48的方程为丫=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),

代入抛物线方程可得/一2pkx-2p=0,xr+x2=2pk,xrx2=-2p,

(XiXo)2«

、1丫2=----7~=1，

(2p)2

vOAX.OB,~OA1OB,OA-OB=0,•1•%i%2+YiYz=0,

11

1of21

--p--+-cfXM----c+

2P2-2yM2

由P可得抛物线的焦点为（0,3,

=Z34

•••kMp=迎^=2k，4=fc+^->2/fcX=y/~6,

%N-0-k2k72k

当且仅当k=&即k=¥时取等号，

乙KL

故直线MF的斜率的最小值为/%.

故答案为：，%.

设直线4B的方程为丁=丘+1,火修,乃），83/2），禾佣布•方=0,可求P，进而可得焦点坐

1

标，可得/^=5=卜+烹，可求最小值.

lir

xN-02k

本题考查抛物线几何性质，考查运算求解能力，属中档题.

H.【答案】22026—3

【解析】解：由题意,有，f(i,y)=mmy-1))=/(l.y—1)+1，又/Q,0)=/(0,1)=2,

所以f(l,n)=n+2,nGN,

所以，有,/(2,y)=/(l,f(2,y—l))=f(2,y—1)+2,又f(2,0)="1,1)=1+2=3,所以

/(2,n)=2n+3,nEN,

所以当/(3,n)=/(2,/(3,n-1))=2/(3,n-1))+3,即/"(3,①+3=2/(3,n-1))+6=

2(f(3,ri—1)+3),

又/'(3,0)+3=/(2,1)+3=5+3=8,所以f(3,n)+3=8x2"=2n+3,所以f(3,n)=2n+3-3,

所以f(3,2023)=22°26一3.

故答案为：22026—3.

对函数的变量进行转化，先得出f(l,n)的表达式，再得出f(2,n)的表达式，进而得出f(3,n)的表

达式.

本题主要考查递推数列，属于中档题.

12.【答案】解：(1)皿臂=啊竽，

''COSDCOSC

:.sin(i4—B)cosC=sin(A—C)cosB,

WflsinAcosBcosC—cosAsinBcosC=sinAcosCcosB—cosAsinCcosB,

•••cosAsinBcosC=cosAsinCcosB,

・•・sinBcosC=sinCcosB,WfltanB=tanC,

又B,ce(o^),A=l，则8=。，

・•・BW

(2)由(1)得B=C,则s讥8=sinC,

由正弦定理得b=c,

asinC=1,

1.「

•*,——SlTtC,

a

由正弦定理得Q=IRsinA,sinB=今

则asinC=2RsinA•2=bsinA=1,

1.A

7=sinA

bf

'：A=TI—B—C=7i—2C,

=7=sinA=sin2C,

cb

〔[1-1_rcdr

•,・滔+岸+了=sin2c+sin22c+sin22c=——-------1-(1—cos22C)+(1—cos22C)=

-2cos22c—彳cos2c+-=—2(cos2c+—)2+—>

LLo32

・••△ABC为锐角三角形，且B=C,

..4-<2，

・•・^<2C<n,

•，•—1<cos2C<0,

当cos2C=-《时，2+也+白取得最大值M

OUc3乙

故++1+△的最大值为■

abc

【解析】(1)运用两角和差的正余弦公式进行化简即可；

h11

(2)根据(1)中结论运用正弦定理得到as讥C=2RsinA­—=bsinA=1,然后等量代换出京+-2»

乙Kab

再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

13.【答案】(1)证明：raB=BC,。是ac的中点，.•.BO，ac,

VAB11BD,AB±r\AC=A,BDJ•平面ABC

又B、Du平面ABC•••BD1BrD,

■.BrA=BIC,D是AC的中点，B]D1AC,

•••BD1BrD,且BDC\AC=D,B1D，平面ABC；

(2)解：由(1)知，BDVAC,BrDA.AC,BDCB^D=D,

AC_L平面

•••AB=BC=BrA=BQ；.BD=B】D,取4Q的中点/，连接D%,B。,

可得BBJ/DDi，平面BDD/i即为平面B/D,

又ACu平面acCMi，平面8叫Bi1平面ACQAi，

过点当作当”1.DDi于点H,则Bi"1平面4CC1&,可得当"=殍,

在三棱柱ABC—AiBiG中，四边形BDD/i为平行四边形，NB/D=NB/i。,

,:BD=BD."B]BD=4BB]D=*可得BD=当4=1,则B/=小，

又,.・48=，7,；.AD=1.

.111

BJDJ■平面4BC,；.VC1-A1B1C=^B1-ABC==

【解析】⑴由已知得BD_L4C,结合4/1BD,得BD_L平面4B]C,进一步得到BD1BrD,再说

明BiD_L4C,即可证明/£>_L平面ABC；

⑵由⑴知"1平面8/D,证明平面BDD/i1平面4CC14,过点名作，。劣于点H,可得

B[H=号,进一步求得所用边长，结合平面ABC,再由等体积法求三棱锥G-451c的体

积.

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体

的体积，是中档题.

14.【答案】解：(1)an,bn,即+1成等差数列，bn,an+1,%+i成等比数列,

九+九an+l=^n^n+lf

2bn=aa+1，

•・•数列｛时｝,｛-｝为正数数列,

a=

***n+idbnbn+i，

当几>2时,an=Jbn_1bn.

•••2bn=Jbnbn+1+Jbn_]bn,

2Jbn=Jbn+i+Jbn_1,

,*'b]=16,1~瓦"=4,

2bl=%+%，a2=24,

2，

•・•境=瓦/)b2=36,yjb2—7=6—4=2,

.•・数列｛,｝时以4为首项，2为公差的等差数列，

2

••・Vbn=4+2(n—1)=2n+2，•••bn=4(n+l),

22

当九>2时，an=Jbn_\bn=J4nx4(n+l)=4n(n+1);

当九=1时,a】=8满足上式，・•・a九=4n(n+1).

]1_11_11_______1_.

(2)证明:4(2n—12n+3

。71一14n(n+l)—14n2+4n—14n2+4n—3(2n—l)(2n+3)

]1V1

当九=时,1<3'

1a-^—1

111.11.14,1

当几22时,1=—IV—|=—<—•

。1一1--。2一1---723721213'

ill1111

当几23时，注I+石与+诏+…=尹方+…+4n2+41

+…+(------------------)+(---------1-------)1

<2+表+v2n-32n+Fv2n-l2n+37J

=,+天+1仆+,一罚_咫)<7+天+工q+，)<,+五+五=,<§'

1111

综上所述，对一切正整数九，有;;~~7+---+-~7<7.

Q]—J.敢一，Qn—1D

【解析】(1)由条件可得2%=%+%+「a^+1=bnbn+1,由两式化简可求得心，an；

1111

(2)通过放缩法得已<3(白-右)，再由裂项相消法和放缩法即可证明.

Cln—14Z71—±Z71十5

本题考查求数列的通项公式和前几项和、放缩法证明不等式成立，属于中档题.

15.【答案】解：(1)记事件4为“该单项选择题回答正确”，事件B为“甲会该单项选择题”，

因为P(4)=P(B)PQ4|B)+P(B)P(4|B)

5344

所以P(B|4)=霸='=£,

甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，会这道单项选择题的概率是*

(2)由题意知：X所有可能的取值为0,2,5,

设事件4表示甲选择了i个选项，事件C表示选择的选项是正确的,

£|_21

所以P(X=2)=P(4C)+P(4C)0.5xj+0,3x

Cj―40'

P(X=5)=P(&C)=0.2X3=^,

P(X=0)=1—P(X=2)-P(X=5)=言,

所以随机变量X的分布列为:

X025

17211

p

404020

所以期望为E(X)=0X^+2X^+5X/=M

【解析】(1)记事件4为“该单项选择题回答正确”，事件B为“甲会该单项选择题”，根据独立

事件和互斥事件的概率公式，求得p(a)=:,结合条件概率的公式，即可求解.

(2)由题意得到X所有可能的取值为0,2,5,求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期

望的公式，即可求解.

本题主要考查条件概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中

档题.

16.【答案】解：⑴已知椭圆C的离心率为今

所以e=1=-,

2a

即|BF/=a=2c=2\OF1\,

所以4&B。=30°,NB&。=60°,NB&Ai=120°,

又=7=，4c2+3c2=且外接圆半径为2:31,

所以■丁=W=2X*，

sm/B%力isml203

解得a=4,b=2AT3,

所以椭圆C的方程为盘+会=1;

lo12

(2)(团)取P①的中点为M,连接。M,

因为。用是4的中位线，

所以。M〃PAi，

设P(%i，yi),A2(x3,y3),

代入椭圆方程中,

,2

由点差法可得心出,k°M=七,七=一"

（川）因为「，Q在工轴的两侧，

若直线PQ平行%轴，

此时七+肌=++==+不满足条件;

若直线PQ斜率存在，

设直线PQ为％=ty-\-m,

（x2,y2_

联立元+运-1,消去工并整理得

lx=ty+m

(3t2+4)y2+6mty4-3m2-48=0,

此时4>0,

3m2-48

由韦达定理得力+、2=瑞，y02

3产+4

■2

由(i)知攵1,k――丁

24

同理可得七,%=-丁

4

33

所以灯+%=地=|（的+坛）,

4k24k34k2k3

因为七+&。0,

9=%力

所以七女

3=20卬―4%2-4'

由韦达定理可得血2—3m—4=0,

解得zn=-1或m=4,

又P,Q在%轴的两侧,

37n248v0

所以力为

3产+4

解得一4<m<4,

所以TH=-1,

即直线PQ恒过N(—1,0),

[UpDvf*118J4t2+5

S

^F2PQ=1l^l-|yi-y2l=；t2+4

令人=74t2+5,A>y/~5,

则S“2PQ=~re

3A+A

故小F2PQ的面积的取值范围为(0,亨).

【解析】(I)由题意，结合离心率公式和正弦定理列出等式即可求出椭圆c的方程；

(2)(团)取P4的中点为M，连接。M,易得。M〃P4i，设尸(判,乃)，42(x3,y3)>代入椭圆方程中，

利用点差法即可求出自­的的值；

(ii)因为P,Q在%轴的两侧，对直线PQ平行x轴和直线PQ斜率存在分别进行讨论，设直线「<?为％=

ty+m,将直线方程与椭圆方程联立，结合(i)中所求得到B的表达式，结合韦达定理以及P,

Q在%轴的两侧，求出加的值，